WEBVTT

00:00:00.720 --> 00:00:03.926
这里，我们有一个三角形 ABC，看着像一个直角三角形。

00:00:03.926 --> 00:00:05.300
我们知道，它是一个直角三角形，

00:00:05.300 --> 00:00:08.720
因为 3的平方加上4 的平方等于 5 的平方。

00:00:08.720 --> 00:00:10.450
题目要求我们求出

00:00:10.450 --> 00:00:12.970
角ABC 的2倍的余弦是什么。

00:00:12.970 --> 00:00:16.620
这是角 ABC，

00:00:16.620 --> 00:00:18.850
我们不能马上给出它的值，

00:00:18.850 --> 00:00:22.400
但是我们知道角ABC 的余弦是什么，

00:00:22.400 --> 00:00:27.810
我们知道，角ABC 的余弦--

00:00:27.810 --> 00:00:29.680
余弦就是邻边除以斜边，

00:00:29.680 --> 00:00:32.159
它就等于 3/5。

00:00:32.159 --> 00:00:39.700
类似，我们知道角ABC的正弦是什么，

00:00:39.700 --> 00:00:41.530
它是对边除以斜边，

00:00:41.530 --> 00:00:43.310
它就是4/5。

00:00:43.310 --> 00:00:46.200
如果我们能把它分解为角 ABC 的余弦

00:00:46.200 --> 00:00:49.120
和正弦，那我们就能得到它的值。

00:00:49.120 --> 00:00:52.340
幸运的是，我们有一个三角恒等式

00:00:52.340 --> 00:00:55.410
正好能解决问题。

00:00:55.410 --> 00:01:00.310
我们知道一个角的2倍的余弦

00:01:00.310 --> 00:01:03.390
等于这个角的余弦的平方

00:01:03.390 --> 00:01:05.560
减去这个角的正弦的平方。

00:01:05.560 --> 00:01:07.710
我们在另一个视频中已经对它进行了证明。

00:01:07.710 --> 00:01:10.040
但是这里，它对我们很有帮助。

00:01:10.040 --> 00:01:13.545
因为现在我们知道它的余弦--

00:01:13.545 --> 00:01:15.560
我们用不同的颜色。

00:01:15.560 --> 00:01:21.460
现在我们知道角 ABC 的余弦

00:01:21.460 --> 00:01:23.670
应该是--奥， 对不起，

00:01:23.670 --> 00:01:25.810
它是 2倍的 角ABC，

00:01:25.810 --> 00:01:27.360
这是我们所要关注的，

00:01:27.360 --> 00:01:30.310
2 乘以角ABC就

00:01:30.310 --> 00:01:36.280
等于 cos(角ABC) 的平方 减去

00:01:36.280 --> 00:01:45.770
sin(角ABC) 的平方。

00:01:45.770 --> 00:01:47.740
我们知道这几项的值。

00:01:47.740 --> 00:01:52.060
这里这一项

00:01:52.060 --> 00:01:55.470
就等于 3/5 的平方，

00:01:55.470 --> 00:01:57.320
cos(角ABC) 是 3/5，

00:01:57.320 --> 00:01:58.640
我们取它的平方。

00:01:58.640 --> 00:02:01.740
这一项是 4/5 的平方，

00:02:01.740 --> 00:02:05.590
它就是减去 4/5的平方。

00:02:05.590 --> 00:02:14.120
它就简化为 9/25 - 16/25。

00:02:14.120 --> 00:02:21.340
它等于 7/25。

00:02:21.340 --> 00:02:22.015
对不起，

00:02:22.015 --> 00:02:23.021
应该是负值，

00:02:23.021 --> 00:02:24.020
这里要小心。

00:02:24.020 --> 00:02:27.010
16 大于 9 ，

00:02:27.010 --> 00:02:29.299
负的 7/25。

00:02:29.299 --> 00:02:30.840
现在， 你们会有疑问，

00:02:30.840 --> 00:02:33.370
这里我为什么会得到一个负值呢？

00:02:33.370 --> 00:02:36.260
我把这个角扩大2倍，为什么得到负值呢？

00:02:36.260 --> 00:02:38.852
而这个余弦很清楚是个正值。

00:02:38.852 --> 00:02:41.310
这里，你需要考虑一个单位圆--

00:02:41.310 --> 00:02:45.910
我们知道，三角函数中的单位圆定义是

00:02:45.910 --> 00:02:49.080
SOHCAHTOA 定义的扩展，

00:02:49.080 --> 00:02:49.830
X 轴，

00:02:49.830 --> 00:02:50.740
Y 轴

00:02:50.740 --> 00:02:52.830
在这里画一个单位圆，

00:02:52.830 --> 00:02:54.430
我尽可能画好一些。

00:02:54.430 --> 00:02:57.340
这是我的单位圆，

00:02:57.340 --> 00:03:04.380
这里的这个角就是这样的，

00:03:04.380 --> 00:03:06.610
你看到，它的 x 坐标--

00:03:06.610 --> 00:03:08.940
就是这个角的余弦--看着是正的。

00:03:08.940 --> 00:03:11.640
但是，你如果把这个角乘以 2，

00:03:11.640 --> 00:03:15.965
它就到了这个地方，

00:03:15.965 --> 00:03:18.090
这样，你看，根据单位圆的定义，

00:03:18.090 --> 00:03:21.850
它的x 坐标是在第二象限，

00:03:21.850 --> 00:03:23.520
x坐标就是负值。

00:03:23.520 --> 00:03:26.667
这就是在这个题目中实际发生的事实。