1
00:00:00,720 --> 00:00:03,926
这里。我们有一个三角形 ABC，看着像一个直角三角形。

2
00:00:03,926 --> 00:00:05,300
我们知道，它是一个直角三角形，

3
00:00:05,300 --> 00:00:08,720
因为 3的平方加上4 的平方等于 5 的平方。

4
00:00:08,720 --> 00:00:10,450
题目要求我们求出

5
00:00:10,450 --> 00:00:12,970
角ABC 的2倍的余弦是什么。

6
00:00:12,970 --> 00:00:16,620
这是角 ABC，

7
00:00:16,620 --> 00:00:18,850
我们不能马上给出它的值，

8
00:00:18,850 --> 00:00:22,400
但是我们知道角ABC 的余弦是什么，

9
00:00:22,400 --> 00:00:27,810
我们知道，角ABC 的余弦--

10
00:00:27,810 --> 00:00:29,680
余弦就是邻边除以斜边。

11
00:00:29,680 --> 00:00:32,159
它就等于 3/5。

12
00:00:32,159 --> 00:00:39,700
类似，我们知道角ABC的正弦是什么，

13
00:00:39,700 --> 00:00:41,530
它是对边除以斜边，

14
00:00:41,530 --> 00:00:43,310
它就是4/5。

15
00:00:43,310 --> 00:00:46,200
如果我们能把它分解为角 ABC 的余弦

16
00:00:46,200 --> 00:00:49,120
和正弦，那我们就能得到它的值。

17
00:00:49,120 --> 00:00:52,340
幸运的是，我们有一个三角恒等式

18
00:00:52,340 --> 00:00:55,410
正好能解决问题。

19
00:00:55,410 --> 00:01:00,310
我们知道一个角的2倍的余弦

20
00:01:00,310 --> 00:01:03,390
等于这个角的余弦的平方

21
00:01:03,390 --> 00:01:05,560
减去这个角的正弦的平方。

22
00:01:05,560 --> 00:01:07,710
我们在另一个视频中已经对它进行了证明。

23
00:01:07,710 --> 00:01:10,040
但是这里，它对我们很有帮助。

24
00:01:10,040 --> 00:01:13,545
因为现在我们知道它的余弦--

25
00:01:13,545 --> 00:01:15,560
我们用不同的颜色。

26
00:01:15,560 --> 00:01:21,460
现在我们知道角 ABC 的余弦

27
00:01:21,460 --> 00:01:23,670
应该是--奥， 对不起，

28
00:01:23,670 --> 00:01:25,810
它是 2倍的 角ABC，

29
00:01:25,810 --> 00:01:27,360
这是我们所要关注的，

30
00:01:27,360 --> 00:01:30,310
2 乘以角ABC就

31
00:01:30,310 --> 00:01:40,480
等于 cos(角ABC) 的平方 减去

32
00:01:40,480 --> 00:01:45,770
sin(角ABC) 的平方。

33
00:01:45,770 --> 00:01:47,740
我们知道这几项的值。

34
00:01:47,740 --> 00:01:52,060
这里这一项

35
00:01:52,060 --> 00:01:55,470
就等于 3/5 的平方，

36
00:01:55,470 --> 00:01:57,320
cos(角ABC) 是 3/5，

37
00:01:57,320 --> 00:01:58,640
我们取它的平方。

38
00:01:58,640 --> 00:02:01,740
这一项是 4/5 的平方，

39
00:02:01,740 --> 00:02:05,590
它就是负的 4/5的平方。

40
00:02:05,590 --> 00:02:14,120
它就简化为 9/25 - 16/25。

41
00:02:14,120 --> 00:02:21,340
它等于 7/25。

42
00:02:21,515 --> 00:02:22,015
对不起，

43
00:02:22,015 --> 00:02:23,021
应该是负值，

44
00:02:23,021 --> 00:02:24,020
这里要小心。

45
00:02:24,020 --> 00:02:27,010
16 大于 9 ，

46
00:02:27,010 --> 00:02:29,299
负的 7/25。

47
00:02:29,299 --> 00:02:30,840
现在， 你们会有疑问，

48
00:02:30,840 --> 00:02:33,370
这里我为什么会得到一个负值呢？

49
00:02:33,370 --> 00:02:36,260
我把这个角扩大2倍，为什么得到负值呢？

50
00:02:36,260 --> 00:02:38,852
而这个余弦很清楚是个正值。

51
00:02:38,852 --> 00:02:41,310
这里，你需要考虑一个单位圆--

52
00:02:41,310 --> 00:02:45,910
我们知道，三角函数中的单位圆定义是

53
00:02:45,910 --> 00:02:49,080
SOHCAHTOA 定义的扩展，

54
00:02:49,080 --> 00:02:49,830
X 轴，

55
00:02:49,830 --> 00:02:50,740
Y 轴

56
00:02:50,740 --> 00:02:52,830
在这里画一个单位圆，

57
00:02:52,830 --> 00:02:54,430
我能做到的最好的单位圆。

58
00:02:54,430 --> 00:02:57,340
这是我的单位圆，

59
00:02:57,340 --> 00:03:01,775
这里的这个角就是这样的，

60
00:03:04,380 --> 00:03:06,610
你看到，它的 x 坐标--

61
00:03:06,610 --> 00:03:08,940
就是这个角的余弦--看着是正的。

62
00:03:08,940 --> 00:03:11,640
但是，你如果把这个角乘以 2，

63
00:03:11,640 --> 00:03:15,965
它就到了这个地方，

64
00:03:15,965 --> 00:03:18,090
这样，你看，根据单位圆的定义，

65
00:03:18,090 --> 00:03:21,850
它的x 坐标是在第二象限，

66
00:03:21,850 --> 00:03:23,520
x坐标可以是负值。

67
00:03:23,520 --> 00:03:26,667
这就是在这个题目中实际发生的事实。