0:00:00.720,0:00:03.926
这里。我们有一个三角形 ABC，看着像一个直角三角形。

0:00:03.926,0:00:05.300
我们知道，它是一个直角三角形，

0:00:05.300,0:00:08.720
因为 3的平方加上4 的平方等于 5 的平方。

0:00:08.720,0:00:10.450
题目要求我们求出

0:00:10.450,0:00:12.970
角ABC 的2倍的余弦是什么。

0:00:12.970,0:00:16.620
这是角 ABC，

0:00:16.620,0:00:18.850
我们不能马上给出它的值，

0:00:18.850,0:00:22.400
但是我们知道角ABC 的余弦是什么，

0:00:22.400,0:00:27.810
我们知道，角ABC 的余弦--

0:00:27.810,0:00:29.680
余弦就是邻边除以斜边。

0:00:29.680,0:00:32.159
它就等于 3/5。

0:00:32.159,0:00:39.700
类似，我们知道角ABC的正弦是什么，

0:00:39.700,0:00:41.530
它是对边除以斜边，

0:00:41.530,0:00:43.310
它就是4/5。

0:00:43.310,0:00:46.200
如果我们能把它分解为角 ABC 的余弦

0:00:46.200,0:00:49.120
和正弦，那我们就能得到它的值。

0:00:49.120,0:00:52.340
幸运的是，我们有一个三角恒等式

0:00:52.340,0:00:55.410
正好能解决问题。

0:00:55.410,0:01:00.310
我们知道一个角的2倍的余弦

0:01:00.310,0:01:03.390
等于这个角的余弦的平方

0:01:03.390,0:01:05.560
减去这个角的正弦的平方。

0:01:05.560,0:01:07.710
我们在另一个视频中已经对它进行了证明。

0:01:07.710,0:01:10.040
但是这里，它对我们很有帮助。

0:01:10.040,0:01:13.545
因为现在我们知道它的余弦--

0:01:13.545,0:01:15.560
我们用不同的颜色。

0:01:15.560,0:01:21.460
现在我们知道角 ABC 的余弦

0:01:21.460,0:01:23.670
应该是--奥， 对不起，

0:01:23.670,0:01:25.810
它是 2倍的 角ABC，

0:01:25.810,0:01:27.360
这是我们所要关注的，

0:01:27.360,0:01:30.310
2 乘以角ABC就

0:01:30.310,0:01:40.480
等于 cos(角ABC) 的平方 减去

0:01:40.480,0:01:45.770
sin(角ABC) 的平方。

0:01:45.770,0:01:47.740
我们知道这几项的值。

0:01:47.740,0:01:52.060
这里这一项

0:01:52.060,0:01:55.470
就等于 3/5 的平方，

0:01:55.470,0:01:57.320
cos(角ABC) 是 3/5，

0:01:57.320,0:01:58.640
我们取它的平方。

0:01:58.640,0:02:01.740
这一项是 4/5 的平方，

0:02:01.740,0:02:05.590
它就是负的 4/5的平方。

0:02:05.590,0:02:14.120
它就简化为 9/25 - 16/25。

0:02:14.120,0:02:21.340
它等于 7/25。

0:02:21.515,0:02:22.015
对不起，

0:02:22.015,0:02:23.021
应该是负值，

0:02:23.021,0:02:24.020
这里要小心。

0:02:24.020,0:02:27.010
16 大于 9 ，

0:02:27.010,0:02:29.299
负的 7/25。

0:02:29.299,0:02:30.840
现在， 你们会有疑问，

0:02:30.840,0:02:33.370
这里我为什么会得到一个负值呢？

0:02:33.370,0:02:36.260
我把这个角扩大2倍，为什么得到负值呢？

0:02:36.260,0:02:38.852
而这个余弦很清楚是个正值。

0:02:38.852,0:02:41.310
这里，你需要考虑一个单位圆--

0:02:41.310,0:02:45.910
我们知道，三角函数中的单位圆定义是

0:02:45.910,0:02:49.080
SOHCAHTOA 定义的扩展，

0:02:49.080,0:02:49.830
X 轴，

0:02:49.830,0:02:50.740
Y 轴

0:02:50.740,0:02:52.830
在这里画一个单位圆，

0:02:52.830,0:02:54.430
我能做到的最好的单位圆。

0:02:54.430,0:02:57.340
这是我的单位圆，

0:02:57.340,0:03:01.775
这里的这个角就是这样的，

0:03:04.380,0:03:06.610
你看到，它的 x 坐标--

0:03:06.610,0:03:08.940
就是这个角的余弦--看着是正的。

0:03:08.940,0:03:11.640
但是，你如果把这个角乘以 2，

0:03:11.640,0:03:15.965
它就到了这个地方，

0:03:15.965,0:03:18.090
这样，你看，根据单位圆的定义，

0:03:18.090,0:03:21.850
它的x 坐标是在第二象限，

0:03:21.850,0:03:23.520
x坐标可以是负值。

0:03:23.520,0:03:26.667
这就是在这个题目中实际发生的事实。