0:00:00.000,0:00:00.720


0:00:00.720,0:00:03.926
Itt van ez az ABC háromszög, ami derékszögűnek tűnik.

0:00:03.926,0:00:05.300
Tudjuk is, hogy derékszögű,

0:00:05.300,0:00:08.720
mivel 3 a négyzeten plusz 4 a négyzeten egyenlő 5 a négyzetennel.

0:00:08.720,0:00:10.740
Ki szeretnénk számolni, hogy mennyi az

0:00:10.820,0:00:12.960
ABC szög kétszeresének koszinusza.

0:00:12.970,0:00:16.620
Ez az ABC szög.

0:00:16.620,0:00:18.850
Nos, ezt nem tudjuk egyből kiszámolni,

0:00:18.850,0:00:22.300
viszont azt igen, hogy mennyi az ABC szög koszinusza.

0:00:22.300,0:00:27.360
Tudjuk, hogy az ABC szög koszinusza

0:00:27.360,0:00:29.680
a szög melletti befogó osztva az átfogóval,

0:00:29.680,0:00:32.159
ez egyenlő 3/5-del.

0:00:32.160,0:00:39.700
Ehhez hasonlóan az ABC szög szinuszát is ki tudjuk számolni,

0:00:39.700,0:00:41.780
ez a szöggel szemközti befogó osztva az átfogóval,

0:00:41.780,0:00:43.300
azaz 4/5.

0:00:43.300,0:00:47.860
Ha ezt a kifejezést vissza tudnánk vezetni ABC szinuszára és koszinuszára,

0:00:47.860,0:00:49.120
akkor ki tudnánk számolni.

0:00:49.120,0:00:52.340
Szerencsére rendelkezésünkre áll egy trigonometrikus azonosság,

0:00:52.340,0:00:54.360
ami pontosan ezt csinálja.

0:00:54.360,0:01:00.300
Tudjuk, hogy egy szög kétszeresének a koszinusza

0:01:00.310,0:01:03.390
egyenlő a szög koszinuszának a négyzete

0:01:03.390,0:01:05.560
mínusz a szög szinuszának négyzete.

0:01:05.560,0:01:07.710
Ezt egy másik videóban bizonyítottuk,

0:01:07.710,0:01:10.040
viszont most sokat segíthet nekünk.

0:01:10.040,0:01:13.540
Tudjuk, hogy az ABC szög ‒

0:01:13.545,0:01:15.560
inkább egy másik színt használok ‒

0:01:15.560,0:01:21.460
szóval tudjuk, hogy az ABC szög koszinusza

0:01:21.460,0:01:23.670
egyenlő lesz ‒ elnézést,

0:01:23.670,0:01:27.360
az ABC szög kétszeresének koszinuszáról beszélünk ‒

0:01:27.360,0:01:30.310
az ABC szög kétszeresének koszinusza

0:01:30.310,0:01:45.700
egyenlő az ABC szög koszinuszának a négyzete mínusz a szinuszának a négyzete.

0:01:45.760,0:01:47.740
Ezeknek az értékét pedig pontosan tudjuk.

0:01:49.600,0:01:55.520
Ez itt egyenlő lesz 3/5-nek a négyzetével,

0:01:55.520,0:01:57.320
mivel az ABC szög koszinusza 3/5,

0:01:57.320,0:01:58.640
és ezt emeljük négyzetre.

0:01:58.640,0:02:01.740
Ez pedig 4/5-nek a négyzete lesz,

0:02:01.740,0:02:05.590
tehát ez itt mínusz 4/5 a négyzeten.

0:02:05.590,0:02:14.120
Egyszerűsítve 9/25 mínusz 16/25,

0:02:14.120,0:02:19.260
ami egyenlő 7/25-del.

0:02:21.520,0:02:23.080
Elnézést, itt van egy mínusz.

0:02:23.080,0:02:24.140
Erre vigyázzunk,

0:02:24.140,0:02:27.000
mert 16 nagyobb mint 9,

0:02:27.010,0:02:29.299
ezért ez -7/25.

0:02:29.300,0:02:33.340
Meglepő lehet, hogy negatív számot kaptunk,

0:02:33.360,0:02:36.260
amikor megkettőztük a szöget,

0:02:36.260,0:02:38.852
hiszen az eredeti szög koszinusza pozitív szám volt.

0:02:38.852,0:02:41.310
Ilyenkor az egységkörre kell gondolnunk

0:02:41.310,0:02:45.620
– ismerjük már a szögfüggvények egységkörös definícióját,

0:02:45.620,0:02:48.800
ami a hegyesszögek szögfüggvényeinek a kiterjesztése.

0:02:48.800,0:02:49.820
x tengely,

0:02:49.830,0:02:50.740
y tengely,

0:02:50.740,0:02:52.830
rajzolok ide egy egységkört,

0:02:52.830,0:02:54.430
ilyet tudok csak.

0:02:54.430,0:02:57.340
Ez tehát az egységkörünk.

0:02:57.340,0:03:02.960
Az ABC szög valahogy így néz ki.

0:03:04.380,0:03:06.610
Most látható, hogy az x koordináta,

0:03:06.610,0:03:08.940
ami a szög koszinusza, pozitív.

0:03:08.940,0:03:11.640
Viszont, ha megkettőzzük ezt a szöget,

0:03:11.640,0:03:15.965
akkor az valahogy így fog kinézni.

0:03:15.965,0:03:19.020
Ekkor láthatjuk, hogy az x koordináta

0:03:19.020,0:03:21.840
– mivel most a második síknegyedben vagyunk –

0:03:21.850,0:03:23.520
negatív lesz.

0:03:23.520,0:03:26.667
Ebben a példában pedig éppen ez történt.

0:03:26.667,0:03:27.167