Máme zde trojúhelník ABC, který vypadá jako pravoúhlý.
A my víme, že je pravoúhlý,
protože 3 na druhou plus 4 na druhou je rovno 5 na druhou.
A nyní se po nás chce, abychom zjistili, kolik je kosinus (2 krát úhel ABC).
Jedná se o tento úhel u vrcholu B - ABC.
Nemůžeme to rovnou vypočítat,
ale víme, kolik je kosinus úhlu ABC.
Víme, že kosinus ABC...
...kosinus je přilehlá ku přeponě.
Bude to tedy rovno 3 lomeno 5.
A podobně víme, kolik je sinus úhlu ABC.
To je protilehlá ku přeponě.
Tedy po dosazení 4 lomeno 5.
Takže pokud bychom zadaný výraz zvládli rozložit na sinus a kosinus úhlu ABC,
mohli bychom to i vypočítat.
Naštěstí pro nás máme šikovný vzorec, který přesně toto dělá.
Víme, že kosinus dvojnásobného úhlu je roven
kosinu úhlu na druhou minus sinus úhlu na druhou.
To jsme si již dokázali v předchozích videích,
ale nyní se nám to velice hodí.
Protože nyní víme, že kosinus...
...udělám to v jiné barvě...
...víme, že kosinus úhlu ABC bude roven...
...pardon, je to kosinus 2 krát úhel ABC.
To je to, co nás zajímá.
2 krát úhel ABC je roven kosinu úhlu ABC na druhou minus sinus úhlu ABC na druhou.
A my víme, kolik to je.
Tahle věc zde je rovna (3 lomeno 5) na druhou.
Kosinus úhlu ABC jsou 3 pětiny.
Takže to umocníme.
A tohle zde jsou (4 lomeno 5) na druhou.
Takže minus 4 pětiny na druhou.
Po umocnění je to 9 lomeno 25 minus 16 lomeno 25.
Což je rovno 7 lomeno 25.
...omlouvám se, je to záporné.
Musíme být opatrní.
16 je větší než 9.
Tedy výsledek je minus 7 lomeno 25.
Možná je vám divné, proč jsem dostal zápornou hodnotu,
když jsem zdvojnásobil úhel.
Protože kosinus úhlu byl očividně kladný.
Pro odpověď si musíte vzpomenout na jednotkovou kružnici.
Už víme, že definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice,
je jen rozšířením základních definic.
Osa X.
Osa Y.
Nakreslím jednotkovou kružnici.
Tentokrát se mi povedla.
Tak, to je jednotková kružnice.
Úhel, který nás zajímá, vypadá nějak takhle.
Z toho vidíme, že souřadnice na ose X, která určuje kosinus úhlu, je kladná.
Ale v případě, že úhel zdvojnásobíte,
zaneste vás to někam sem.
A v tu chvíli vidíte, že jsme se přehoupli do druhého kvadrantu.
Souřadnice na ose X tedy může být záporná.
A to je vlastně to, co se stalo v tomto příkladu.