WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.738
Khi ta học những kiến thức về chuỗi lũy thừa,

00:00:02.738 --> 00:00:04.416
ta có thể muốn lấy đạo hàm,

00:00:04.416 --> 00:00:06.209
hoặc tích phân của chúng.

00:00:06.209 --> 00:00:09.183
Nói chung, ta có thể làm như vậy theo từng số hạng.

00:00:09.183 --> 00:00:10.468
Ý của mình khi nói vậy là gì?

00:00:10.468 --> 00:00:13.180
Chà, nó nghĩa là đạo hàm của f,

00:00:13.180 --> 00:00:16.203
f phẩy x, chính là đạo hàm của,

00:00:16.203 --> 00:00:17.778
từng số hạng này.

00:00:17.778 --> 00:00:21.615
Vậy nó sẽ là tổng từ n bằng 1 cho tới vô cực.

00:00:21.615 --> 00:00:24.000
Xem nào, đạo hàm của x mũ n,

00:00:24.000 --> 00:00:26.683
là n nhân với x mũ n trừ đi 1.

00:00:26.683 --> 00:00:29.785
Vậy mình có thể viết cái này là n nhân x mũ n trừ 1,

00:00:29.785 --> 00:00:32.128
tất cả chia cho n.

00:00:32.128 --> 00:00:34.093
Và rồi n sẽ bị triệt tiêu hết,

00:00:34.093 --> 00:00:36.427
vậy ta còn lại,

00:00:36.427 --> 00:00:40.081
nó sẽ bằng với, x mũ n trừ 1.

00:00:40.081 --> 00:00:43.230
Vậy cái này là đang lấy đạo hàm theo biến x.

00:00:43.230 --> 00:00:45.170
Tương tự, ta có thể lấy tích phân,

00:00:45.170 --> 00:00:49.045
ta có thế lấy tích phân và tính nó,

00:00:49.045 --> 00:00:52.962
ta có thể tính tích phân của f(x), dx,

00:00:54.184 --> 00:00:57.785
và nó sẽ bằng một hằng số, cộng với,

00:00:57.785 --> 00:01:00.618
nếu ta tính tích phân của nó theo từng số hạng.

00:01:01.812 --> 00:01:03.580
Nó sẽ bằng tổng,

00:01:03.580 --> 00:01:05.949
từ n bằng 1 cho tới vô cực.

00:01:05.949 --> 00:01:07.660
Xem nào, ta tăng số mũ lên,

00:01:07.660 --> 00:01:10.833
là x mũ n cộng 1, và rồi chia cho cái số mũ đó.

00:01:10.833 --> 00:01:15.165
Vậy là nhân n cộng 1 nhân n ở ngay đây.

00:01:15.165 --> 00:01:18.425
Đây là một phương pháp thông thường,

00:01:18.425 --> 00:01:20.179
mà bạn sẽ thấy khi làm các bài về chuỗi lũy thừa.

00:01:20.179 --> 00:01:22.296
Giờ ta đi vào chi tiết một chút,

00:01:22.296 --> 00:01:25.038
vì bạn chỉ có thể làm điều này với những giá trị x,

00:01:25.038 --> 00:01:29.122
nằm trong khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.

00:01:29.122 --> 00:01:31.958
Như ta đã thấy, khoảng hội tụ,

00:01:31.958 --> 00:01:36.148
của những chuỗi khác nhau thì sẽ khác nhau một chút.

00:01:36.148 --> 00:01:37.872
Khoảng thì sẽ khá giống nhau,

00:01:37.872 --> 00:01:40.866
nhưng đầu mút thì sẽ khác nhau.

00:01:40.866 --> 00:01:43.192
Mình khuyên bạn hãy dừng video lại,

00:01:43.192 --> 00:01:45.886
và thử tự tìm khoảng hội tụ,

00:01:45.886 --> 00:01:48.066
của từng chuỗi này.

00:01:48.066 --> 00:01:50.614
Đây là tích phân của chuỗi ban đầu ta có,

00:01:50.614 --> 00:01:53.750
còn cái nay là đạo hàm của chuỗi ban đầu.

00:01:53.750 --> 00:01:55.732
Hãy bắt đầu từ chuỗi ban đầu nhé.

00:01:55.732 --> 00:01:58.734
Hãy đi tìm khoảng hội tụ.

00:01:58.734 --> 00:02:01.378
Mình có thể sử dụng phép thử tỉ lệ.

00:02:01.378 --> 00:02:04.573
Với phép thử tỉ lệ, ta muốn tìm giới hạn,

00:02:04.573 --> 00:02:08.740
giới hạn khi n tiến tới vô cực của a_(n+1),

00:02:10.295 --> 00:02:14.761
nghĩa là x mũ n cộng 1 chia cho n cộng 1,

00:02:14.761 --> 00:02:19.248
chia cho a_n, là x mũ n chia cho n.

00:02:19.248 --> 00:02:21.217
Và ta muốn lấy giá trị tuyệt đối của nó.

00:02:21.217 --> 00:02:25.384
Đó chính là giới hạn khi n tiến tới vô cực.

00:02:26.279 --> 00:02:29.147
Xem nào, nếu bạn chia cái này, và cả cái này,

00:02:29.147 --> 00:02:31.922
cho x mũ n, đó sẽ là 1,

00:02:31.922 --> 00:02:34.487
và rồi ở đây sẽ chỉ là x,

00:02:34.487 --> 00:02:36.650
rồi n sẽ ở phía trên.

00:02:36.650 --> 00:02:40.150
Vậy ta có xn chia cho n cộng 1.

00:02:41.672 --> 00:02:46.527
Và nó bằng với giới hạn khi n tiến tới vô cực,

00:02:46.527 --> 00:02:49.374
xem nào, nếu ta đem chia cả tử và mẫu,

00:02:49.374 --> 00:02:50.374
cho 1 chia,

00:02:51.929 --> 00:02:54.492
chà, chia cả tử và mẫu cho n đi,

00:02:54.492 --> 00:02:58.325
ta sẽ có x chia 1 cộng 1 chia n.

00:02:59.533 --> 00:03:01.745
Vậy nó sẽ bằng gì?

00:03:01.745 --> 00:03:04.008
Chà, số hạng này sẽ là 0,

00:03:04.008 --> 00:03:08.035
vậy cái này sẽ bằng trị tuyệt đối của x.

00:03:08.035 --> 00:03:11.553
Vậy phép thử tỉ lệ cho ta thấy chuỗi này sẽ hội tụ,

00:03:11.553 --> 00:03:15.138
nếu cái này ở đây nhỏ hơn 1,

00:03:15.138 --> 00:03:18.075
còn chuỗi sẽ phân kì nếu giá trị ở đây lớn hơn 1,

00:03:18.075 --> 00:03:20.702
và nếu bằng 1 thì sẽ là không kết luận được nhé.

00:03:20.702 --> 00:03:22.682
Vậy ta biết, để mình viết xuống.

00:03:22.682 --> 00:03:25.849
Ta biết nó sẽ hội tụ, hội tụ,

00:03:27.313 --> 00:03:28.480
sẽ hội tụ khi,

00:03:29.781 --> 00:03:34.201
trị tuyệt đối của x nhỏ hơn 1,

00:03:34.201 --> 00:03:36.254
khi nó nhỏ hơn 1.

00:03:36.254 --> 00:03:39.216
Và chuỗi sẽ phân kì,

00:03:39.216 --> 00:03:42.706
khi cái này lớn hơn 1,

00:03:42.706 --> 00:03:45.096
khi trị tuyệt đối của x, lớn hơn 1.

00:03:45.096 --> 00:03:48.621
Vậy còn khi trị tuyệt đối bằng 1 thì sao?

00:03:48.621 --> 00:03:50.163
Đó là lúc phép thử tỉ lệ không có tác dụng,

00:03:50.163 --> 00:03:52.320
và ta sẽ phải giải riêng ra.

00:03:52.320 --> 00:03:55.148
Vậy hãy xét trường hợp,

00:03:55.148 --> 00:03:56.648
khi x bằng với 1.

00:03:57.650 --> 00:04:01.567
Khi x bằng 1, chuỗi này là tổng,

00:04:02.655 --> 00:04:06.763
đi từ n bằng 1 cho tới vô cực, của 1 mũ n chia cho n.

00:04:06.763 --> 00:04:08.796
Chà, nó bằng với 1 chia cho n.

00:04:08.796 --> 00:04:12.050
Đây chính là chuỗi điều hòa, hay p-chuỗi,

00:04:12.050 --> 00:04:13.684
khi p bằng 1.

00:04:13.684 --> 00:04:17.290
Và ta đã thấy ở những video khác khi cái này phân kì.

00:04:17.290 --> 00:04:19.632
Vậy khi x bằng 1, chuỗi phần kì.

00:04:19.632 --> 00:04:21.888
Vậy khi x là -1 thì sao?

00:04:21.888 --> 00:04:25.795
Khi x bằng -1, cái này sẽ là tổng,

00:04:25.795 --> 00:04:28.878
từ n bằng 1 cho tới vô cực,

00:04:28.878 --> 00:04:32.161
của -1 mũ n chia cho n.

00:04:32.161 --> 00:04:35.883
Cái này thường được gọi là chuỗi điều hòa đan dấu.

00:04:35.883 --> 00:04:38.404
Và với phép thử của chuỗi đan dấu,

00:04:38.404 --> 00:04:39.766
ta thấy chuỗi này hội tụ.

00:04:39.766 --> 00:04:42.430
Và ta đã gặp dạng này nhiều ở những video khác.

00:04:42.430 --> 00:04:45.224
Vậy ta có khoảng hội tụ,

00:04:45.224 --> 00:04:47.244
cho chuỗi ban đầu ở đây,

00:04:47.244 --> 00:04:49.350
khoảng hội tụ,

00:04:49.350 --> 00:04:51.350
khoảng hội tụ của ta,

00:04:55.078 --> 00:04:56.425
hội tụ ở đây,

00:04:56.425 --> 00:04:58.342
ta có thể, x có thể,

00:04:59.886 --> 00:05:02.083
giá trị của x,

00:05:02.083 --> 00:05:03.949
lớn hơn hoặc bằng với -1,

00:05:03.949 --> 00:05:06.311
hoặc mình có thể nói -1 nhỏ hơn hoặc bằng x,

00:05:06.311 --> 00:05:09.864
vì nếu x là -1, chuỗi vẫn hội tụ,

00:05:09.864 --> 00:05:12.844
và rồi x phải nhỏ hơn 1,

00:05:12.844 --> 00:05:14.796
vì khi x bằng 1 ta phân kì,

00:05:14.796 --> 00:05:17.029
nên không thể nói là nhỏ hơn hoặc bằng.

00:05:17.029 --> 00:05:18.676
Vậy đây là khoảng hội tụ,

00:05:18.676 --> 00:05:20.066
của hàm số ban đầu.

00:05:20.066 --> 00:05:22.182
Vậy còn khoảng hội tụ của cái này,

00:05:22.182 --> 00:05:24.708
đạo hàm ở đây này?

00:05:24.708 --> 00:05:27.287
Chà, khi ta lấy đạo hàm,

00:05:27.287 --> 00:05:31.454
cái này sẽ bằng với x mũ 0,

00:05:34.586 --> 00:05:36.503
cộng x mũ 1,

00:05:37.421 --> 00:05:39.382
cộng x mũ 2,

00:05:39.382 --> 00:05:41.179
và rồi ta cứ thế đi tiếp.

00:05:41.179 --> 00:05:42.381
Giờ có thể bạn đã nhận ra,

00:05:42.381 --> 00:05:46.340
đây là chuỗi cấp số nhân với công bội là x.

00:05:46.340 --> 00:05:47.173
Cấp số nhân,

00:05:49.297 --> 00:05:50.130
chuỗi,

00:05:51.660 --> 00:05:54.147
khi công bội là,

00:05:54.147 --> 00:05:57.232
thường kí hiệu là r, bằng với x.

00:05:57.232 --> 00:05:59.556
Ta biết rằng chuỗi cấp số nhân sẽ hội tụ,

00:05:59.556 --> 00:06:02.761
chỉ trong trường hợp,

00:06:02.761 --> 00:06:04.933
mà công bội, trị tuyệt đối,

00:06:04.933 --> 00:06:06.849
của công bội,

00:06:06.849 --> 00:06:08.849
nó sẽ hội tụ,

00:06:10.896 --> 00:06:13.294
khi trị tuyệt đối,

00:06:13.294 --> 00:06:16.212
của công bội nhỏ hơn 1.

00:06:16.212 --> 00:06:18.390
Vậy trong trường hợp này, khi ta lấy đạo hàm,

00:06:18.390 --> 00:06:21.150
f phẩy x, khoảng hội tụ,

00:06:21.150 --> 00:06:22.768
là gần giống nhau.

00:06:22.768 --> 00:06:25.685
Vậy ở đây khoảng hội tụ,

00:06:28.623 --> 00:06:32.092
sẽ là, x sẽ nằm giữa,

00:06:32.092 --> 00:06:34.161
-1 và 1,

00:06:34.161 --> 00:06:36.112
nhưng nó không thể bằng -1.

00:06:36.112 --> 00:06:38.795
Tại -1 chuỗi sẽ phân kì,

00:06:38.795 --> 00:06:40.385
và tại 1 nó cũng phân kì.

00:06:40.385 --> 00:06:42.742
Bạn để ý nhé, chúng trông gần giống nhau.

00:06:42.742 --> 00:06:46.869
Nếu ta xem chúng là chuỗi có tâm là 0,

00:06:46.869 --> 00:06:50.191
bán kính hội tụ sẽ là giống nhau.

00:06:50.191 --> 00:06:54.116
Ta có thể đi lên trên một, xuống dưới một, lên trên một, xuống dưới một.

00:06:54.116 --> 00:06:55.578
Đó là tính chất tổng quát.

00:06:55.578 --> 00:06:57.061
Ta có thể xem đạo hàm cũng như tích phân,

00:06:57.061 --> 00:06:58.894
nhưng đầu mút,

00:06:58.894 --> 00:07:00.758
của khoảng hội tụ sẽ là khác nhau.

00:07:00.758 --> 00:07:02.693
Và tiếp theo,

00:07:02.693 --> 00:07:05.808
mình khuyên bạn hãy sử dụng phép thử tỉ lệ,

00:07:05.808 --> 00:07:08.391
để tìm ra 1, tìm xem,

00:07:10.401 --> 00:07:13.969
chà, phải dùng phép thử tỉ lệ lẫn điều kiện giới hạn,

00:07:13.969 --> 00:07:18.126
để tìm xem khoảng hội tụ,

00:07:18.126 --> 00:07:20.477
cuả nguyên hàm, hay tính phân này sẽ là gì.

00:07:20.477 --> 00:07:21.778
Và bạn sẽ thấy,

00:07:21.778 --> 00:07:23.994
bán kính hội tụ sẽ như nhau.

00:07:23.994 --> 00:07:26.877
Ta có thể đi lên trên số 0 một và dưới số 0 một.

00:07:26.877 --> 00:07:27.969
Ta phải ở trong khoảng đó.

00:07:27.969 --> 00:07:30.521
Nhưng bạn sẽ thấy, cái này sẽ hội tụ,

00:07:30.521 --> 00:07:34.857
tại x bằng -1 hoặc x bằng 1.

00:07:34.857 --> 00:07:36.402
Mình sẽ dừng ở đây.

00:07:36.402 --> 00:07:40.427
Vậy, khoảng hội tụ, để mình dùng màu vàng.

00:07:40.427 --> 00:07:44.594
Khoảng hội tụ, cho cái phái trên này,

00:07:46.348 --> 00:07:49.934
nó sẽ hội tụ tại -1 nhỏ hơn x,

00:07:49.934 --> 00:07:52.172
và x nhỏ hơn hoặc bằng 1.

00:07:52.172 --> 00:07:54.628
Bạn hãy để ý, chúng có cùng bán kính hội tụ,

00:07:54.628 --> 00:07:58.757
nhưng khoảng hội tụ, lại có các đầu mút khác nhau.

00:07:58.757 --> 00:08:01.207
Và nếu bạn muốn tự chứng minh điều này,

00:08:01.207 --> 00:08:03.399
mình khuyên bạn hãy sử dụng phương pháp,

00:08:03.399 --> 00:08:05.266
giống với phương pháp ta đã dụng cho hàm số gốc.

00:08:05.266 --> 00:08:09.421
Sử dụng phép thử tỉ lệ, bạn sẽ đi đến kết luận,

00:08:09.421 --> 00:08:11.565
ở đây, và rồi thử các trường hợp,

00:08:11.565 --> 00:08:15.346
khi x bằng 1 và x bằng -1.

00:08:15.346 --> 00:08:17.549
Và bạn sẽ thấy khi x bằng -1,

00:08:17.549 --> 00:08:20.431
bạn có chuỗi điều hòa, và nó sẽ hội tụ.

00:08:20.431 --> 00:08:23.151
Còn khi x bằng 1, bạn sẽ có chuỗi điều hòa,

00:08:23.151 --> 00:08:26.820
mà mẫu số có bậc lớn hơn 1,

00:08:26.820 --> 00:08:28.597
nó giống với p-chuỗi.

00:08:28.597 --> 00:08:30.973
Và bạn sẽ thấy nó cũng hội tụ,

00:08:30.973 --> 00:08:33.056
trong trường hợp đó.