WEBVTT

00:00:02.011 --> 00:00:05.150
欧拉继续研究数字的属性

00:00:05.150 --> 00:00:09.007
特别是素数的分布

00:00:09.007 --> 00:00:10.919
他定义了一个重要的函数

00:00:10.919 --> 00:00:12.733
叫做“phi函数”

00:00:12.733 --> 00:00:15.885
它衡量了一个数字的可分解性

00:00:15.885 --> 00:00:17.879
因此，给定一个数字，'n'

00:00:17.879 --> 00:00:21.439
phi(n) 表示有多少个数字小于或者等于n

00:00:21.439 --> 00:00:24.921
并且与n没有任何公因子

00:00:24.921 --> 00:00:28.375
例如，如果我们想得到phi(8)的值

00:00:28.375 --> 00:00:30.868
我们查看从1到8的所有数字

00:00:30.883 --> 00:00:32.983
然后统计有多少个数字

00:00:32.983 --> 00:00:35.954
和8没有大于1的公因子

00:00:35.954 --> 00:00:37.371
注意，6并不算在其中

00:00:37.371 --> 00:00:39.302
因为6和8有公因子2

00:00:39.302 --> 00:00:42.002
1，3，5和7却都算在其中

00:00:42.002 --> 00:00:44.528
因为它们与8只有公因子1

00:00:44.528 --> 00:00:48.855
所以，phi(8) = 4

00:00:48.855 --> 00:00:50.271
有趣的是

00:00:50.271 --> 00:00:54.523
计算Phi函数非常复杂，但是有一个例外

00:00:54.523 --> 00:00:56.061
看这张图

00:00:56.061 --> 00:01:01.307
它描绘了从1到1000的phi值

00:01:01.307 --> 00:01:04.891
现在，发现任何可预测的模式了吗？

00:01:04.891 --> 00:01:07.749
最上沿直线上的点

00:01:07.749 --> 00:01:11.016
表示所有的素数（以及它们相应的phi值）

00:01:11.016 --> 00:01:14.463
因为素数没有大于1的公因子

00:01:14.463 --> 00:01:19.991
任何素数'p'的phi值就是 p-1

00:01:19.991 --> 00:01:22.616
为计算素数7的phi值

00:01:22.616 --> 00:01:24.984
我们记数除7以外的所有整数

00:01:24.984 --> 00:01:27.575
因为它们中没有一个数和7有（大于1）的公因子

00:01:27.575 --> 00:01:31.536
7的phi值就是6

00:01:31.536 --> 00:01:37.905
如果你要计算素数21,377的phi值

00:01:37.905 --> 00:01:41.356
你只需要把该值减1得到答案

00:01:41.356 --> 00:01:44.132
21,376

00:01:44.132 --> 00:01:48.090
任何素数的phi值非常容易计算

00:01:48.090 --> 00:01:50.766
这就导出了一个非常有趣的结果，

00:01:50.766 --> 00:01:53.875
基于以下事实：phi函数同时也是积性函数

00:01:53.875 --> 00:02:00.899
也就是说，phi(A x B)=phi(A) x phi(B)

00:02:00.899 --> 00:02:02.792
如果我们知道某个数，N

00:02:02.792 --> 00:02:06.666
可以分解成两个素数的乘积，P1和P2

00:02:06.666 --> 00:02:09.627
N的phi值就是

00:02:09.627 --> 00:02:13.434
各个素数的phi值的乘积

00:02:13.434 --> 00:02:17.057
也就是(P1 - 1) x (P2 - 1)