0:00:02.011,0:00:05.150
欧拉继续研究数字的属性

0:00:05.150,0:00:09.007
特别是素数的分布

0:00:09.007,0:00:10.919
他定义了一个重要的函数

0:00:10.919,0:00:12.733
叫做“phi函数”

0:00:12.733,0:00:15.885
它衡量了一个数字的可分解性

0:00:15.885,0:00:17.879
因此，给定一个数字，'n'

0:00:17.879,0:00:21.439
phi(n) 表示有多少个数字小于或者等于n

0:00:21.439,0:00:24.921
并且与n没有任何公因子

0:00:24.921,0:00:28.375
例如，如果我们想得到phi(8)的值

0:00:28.375,0:00:30.868
我们查看从1到8的所有数字

0:00:30.883,0:00:32.983
然后统计有多少个数字

0:00:32.983,0:00:35.954
和8没有大于1的公因子

0:00:35.954,0:00:37.371
注意，6并不算在其中

0:00:37.371,0:00:39.302
因为6和8有公因子2

0:00:39.302,0:00:42.002
1，3，5和7却都算在其中

0:00:42.002,0:00:44.528
因为它们与8只有公因子1

0:00:44.528,0:00:48.855
所以，phi(8) = 4

0:00:48.855,0:00:50.271
有趣的是

0:00:50.271,0:00:54.523
计算Phi函数非常复杂，但是有一个例外

0:00:54.523,0:00:56.061
看这张图

0:00:56.061,0:01:01.307
它描绘了从1到1000的phi值

0:01:01.307,0:01:04.891
现在，发现任何可预测的模式了吗？

0:01:04.891,0:01:07.749
最上沿直线上的点

0:01:07.749,0:01:11.016
表示所有的素数（以及它们相应的phi值）

0:01:11.016,0:01:14.463
因为素数没有大于1的公因子

0:01:14.463,0:01:19.991
任何素数'p'的phi值就是 p-1

0:01:19.991,0:01:22.616
为计算素数7的phi值

0:01:22.616,0:01:24.984
我们记数除7以外的所有整数

0:01:24.984,0:01:27.575
因为它们中没有一个数和7有（大于1）的公因子

0:01:27.575,0:01:31.536
7的phi值就是6

0:01:31.536,0:01:37.905
如果你要计算素数21,377的phi值

0:01:37.905,0:01:41.356
你只需要把该值减1得到答案

0:01:41.356,0:01:44.132
21,376

0:01:44.132,0:01:48.090
任何素数的phi值非常容易计算

0:01:48.090,0:01:50.766
这就导出了一个非常有趣的结果，

0:01:50.766,0:01:53.875
基于以下事实：phi函数同时也是积性函数

0:01:53.875,0:02:00.899
也就是说，phi(A x B)=phi(A) x phi(B)

0:02:00.899,0:02:02.792
如果我们知道某个数，N

0:02:02.792,0:02:06.666
可以分解成两个素数的乘积，P1和P2

0:02:06.666,0:02:09.627
N的phi值就是

0:02:09.627,0:02:13.434
各个素数的phi值的乘积

0:02:13.434,0:02:17.057
也就是(P1 - 1) x (P2 - 1)