WEBVTT

00:00:02.011 --> 00:00:05.150
O Euler continuou a investigar as propriedades dos numeros

00:00:05.150 --> 00:00:09.007
especificamente a distribuição de números primos.

00:00:09.007 --> 00:00:10.919
Uma função importante que ele definiu

00:00:10.919 --> 00:00:12.733
é chamada função phi.

00:00:12.733 --> 00:00:15.885
Mede a divisibilidade de um numero.

00:00:15.885 --> 00:00:17.879
Dado um numero, 'n' por exemplo

00:00:17.879 --> 00:00:21.439
o resultado é o numero de inteiros menores ou iguais a 'n'

00:00:21.439 --> 00:00:24.921
que não partilham um factor comum com 'n'.

00:00:24.921 --> 00:00:28.375
Por exemplo, se quisermos encontrar o phi de 8,

00:00:28.375 --> 00:00:30.868
olhamos para todos os valores de 1 a 8,

00:00:30.883 --> 00:00:32.983
depois contamos com quantos inteiros

00:00:32.983 --> 00:00:35.954
o 8 não partilha um factor maior que 1.

00:00:35.954 --> 00:00:37.371
Note que o 6 não é contado,

00:00:37.371 --> 00:00:39.302
porque 6 e 8 partilham factor 2,

00:00:39.302 --> 00:00:42.002
enquanto 1,3,5 e 7 são todos contados,

00:00:42.002 --> 00:00:44.528
porque apenas partilham o factor 1.

00:00:44.528 --> 00:00:48.855
Logo, phi(8) = 4.

00:00:48.855 --> 00:00:50.271
O que é interessante é que

00:00:50.271 --> 00:00:54.523
calcular a função Phi é complicado, excepto num caso.

00:00:54.523 --> 00:00:56.061
Olhe para este gráfico.

00:00:56.061 --> 00:01:01.307
Representa os valores de phi de inteiros de 1 a 1000.

00:01:01.307 --> 00:01:04.891
Reparou em algum padrão?

00:01:04.891 --> 00:01:07.749
A linha recta de pontos no topo

00:01:07.749 --> 00:01:11.016
representa todos os números primos.

00:01:11.016 --> 00:01:14.463
Já que os números primos não têm factores maiores que 1,

00:01:14.463 --> 00:01:19.991
o phi de qualquer numero, 'p', é simplesmente p-1.

00:01:19.991 --> 00:01:22.616
Para calcular o phi de 7 - um numero primo -

00:01:22.616 --> 00:01:24.984
contamos todos os inteiros excepto 7 -

00:01:24.984 --> 00:01:27.575
já que nenhum partilha um factor com 7.

00:01:27.575 --> 00:01:31.536
Phi de 7 = 6.

00:01:31.536 --> 00:01:37.905
Então se perguntar pelo phi de 21,377, um numero primo,

00:01:37.905 --> 00:01:41.356
apenas teria de subtrair 1 para achar a solução -

00:01:41.356 --> 00:01:44.132
21,376.

00:01:44.132 --> 00:01:48.090
Phi de qualquer primo é fácil de computar.

00:01:48.090 --> 00:01:50.766
Isto leva a um resultado interessante, baseado no facto

00:01:50.766 --> 00:01:53.875
da função phi ser multiplicativa.

00:01:53.875 --> 00:02:00.899
Ou seja, phi(A x B) = phi(A) x phi(B).

00:02:00.899 --> 00:02:02.792
Se soubermos que o numero 'N',

00:02:02.792 --> 00:02:06.666
é o resultado do produto de dois primos, 'P1' e 'P2',

00:02:06.666 --> 00:02:09.627
então phi de N é o valor

00:02:09.627 --> 00:02:13.434
da multiplicação do phi de cada primo, -

00:02:13.434 --> 00:02:17.057
ou (P1 - 1) x (P2 - 1)