1
00:00:02,011 --> 00:00:05,150
Euler zajmował się między innymi właściwościami liczb -

2
00:00:05,150 --> 00:00:09,007
w szczególności rozmieszczeniem liczb pierwszych.

3
00:00:09,007 --> 00:00:10,919
Istotną funkcją, którą wprowadził

4
00:00:10,919 --> 00:00:12,733
jest funkcja 'fi' Eulera.

5
00:00:12,733 --> 00:00:15,885
Mierzy ona jak bardzo dana liczba da się rozkładać.

6
00:00:15,885 --> 00:00:17,879
Dla danej liczby n,

7
00:00:17,879 --> 00:00:21,439
zwraca ile mamy liczb naturalnych mniejszych lub równych liczbie n,

8
00:00:21,439 --> 00:00:24,921
które nie mają z nią żadnych wspólnych dzielników.

9
00:00:24,921 --> 00:00:28,375
Dla przykładu, jeśli chcemy policzyć fi(8),

10
00:00:28,375 --> 00:00:30,868
to patrzymy na wszystkie liczby od 1 do 8,

11
00:00:30,883 --> 00:00:32,983
i liczymy ile z nich,

12
00:00:32,983 --> 00:00:35,954
nie posiada wspólnego dzielnika z 8 większego od 1.

13
00:00:35,954 --> 00:00:37,371
Zauważmy, że 6 nie jest wliczane,

14
00:00:37,371 --> 00:00:39,302
ponieważ 6 oraz 8 mają wspólny dzielnik równy 2,

15
00:00:39,302 --> 00:00:42,002
podczas gdy 1, 3, 5 oraz 7 się wliczają,

16
00:00:42,002 --> 00:00:44,528
ponieważ każda z nich posiada największy wspólny dzielnik z 8 równy 1.

17
00:00:44,528 --> 00:00:48,855
Stąd, fi(8) jest równe 4.

18
00:00:48,855 --> 00:00:50,271
Interesującym faktem jest, że

19
00:00:50,271 --> 00:00:54,523
obliczanie funkcji fi jest trudne, za wyjątkiem jednego przypadku.

20
00:00:54,523 --> 00:00:56,061
Spójrz na ten wykres.

21
00:00:56,061 --> 00:01:01,307
Jest to wykres wartości funkcji fi dla liczb naturalnych od 1 do 1000.

22
00:01:01,307 --> 00:01:04,891
Zauważasz pewien schemat?

23
00:01:04,891 --> 00:01:07,749
Prosta linia punktów na górze,

24
00:01:07,749 --> 00:01:11,016
reprezentuje wartości dla liczb pierwszych.

25
00:01:11,016 --> 00:01:14,463
Liczby pierwsze nie mają wspólnych dzielników większych od 1, z liczbami od siebie mniejszymi,

26
00:01:14,463 --> 00:01:19,991
więc fi od liczby pierwszej p wynosi po prostu p-1.

27
00:01:19,991 --> 00:01:22,616
Aby obliczyć fi(7) - która jest liczbą pierwszą -

28
00:01:22,616 --> 00:01:24,984
liczymy wszystkie liczby mniejsze od 7,

29
00:01:24,984 --> 00:01:27,575
ponieważ żadna z nich nie ma wspólnego dzielnika z 7, większego od 1.

30
00:01:27,575 --> 00:01:31,536
stąd fi(7) = 6

31
00:01:31,536 --> 00:01:37,905
Więc jeśli ktoś zapyta ile wynosi fi(21377), czyli od liczby pierwszej,

32
00:01:37,905 --> 00:01:41,356
należy tylko od niej odjąć 1, aby dostać odpowiedź,

33
00:01:41,356 --> 00:01:44,132
w tym przypadku jest to 21 376.

34
00:01:44,132 --> 00:01:48,090
fi od dowolnej liczby pierwszej jest łatwo obliczyć,

35
00:01:48,090 --> 00:01:50,766
co prowadzi do innego ciekawego wyniku, że

36
00:01:50,766 --> 00:01:53,875
funkcja fi jest 'multiplikatywna'.

37
00:01:53,875 --> 00:02:00,899
Co znaczy, że fi(A x B) = phi(A) x phi(B), gdzie NWD(A,B) = 1.

38
00:02:00,899 --> 00:02:02,792
Jeśli znamy jakąś liczbę N,

39
00:02:02,792 --> 00:02:06,666
która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych P1 oraz P2,

40
00:02:06,666 --> 00:02:09,627
to fi(N) jest po prostu wynikiem,

41
00:02:09,627 --> 00:02:13,434
iloczynu fi od każdej z tych liczb.

42
00:02:13,434 --> 00:02:17,057
czyli (P1 - 1) x (P2 - 1).