0:00:02.011,0:00:05.150
Euler zajmował się między innymi właściwościami liczb -

0:00:05.150,0:00:09.007
w szczególności rozmieszczeniem liczb pierwszych.

0:00:09.007,0:00:10.919
Istotną funkcją, którą wprowadził

0:00:10.919,0:00:12.733
jest funkcja 'fi' Eulera.

0:00:12.733,0:00:15.885
Mierzy ona jak bardzo dana liczba da się rozkładać.

0:00:15.885,0:00:17.879
Dla danej liczby n,

0:00:17.879,0:00:21.439
zwraca ile mamy liczb naturalnych mniejszych lub równych liczbie n,

0:00:21.439,0:00:24.921
które nie mają z nią żadnych wspólnych dzielników.

0:00:24.921,0:00:28.375
Dla przykładu, jeśli chcemy policzyć fi(8),

0:00:28.375,0:00:30.868
to patrzymy na wszystkie liczby od 1 do 8,

0:00:30.883,0:00:32.983
i liczymy ile z nich,

0:00:32.983,0:00:35.954
nie posiada wspólnego dzielnika z 8 większego od 1.

0:00:35.954,0:00:37.371
Zauważmy, że 6 nie jest wliczane,

0:00:37.371,0:00:39.302
ponieważ 6 oraz 8 mają wspólny dzielnik równy 2,

0:00:39.302,0:00:42.002
podczas gdy 1, 3, 5 oraz 7 się wliczają,

0:00:42.002,0:00:44.528
ponieważ każda z nich posiada największy wspólny dzielnik z 8 równy 1.

0:00:44.528,0:00:48.855
Stąd, fi(8) jest równe 4.

0:00:48.855,0:00:50.271
Interesującym faktem jest, że

0:00:50.271,0:00:54.523
obliczanie funkcji fi jest trudne, za wyjątkiem jednego przypadku.

0:00:54.523,0:00:56.061
Spójrz na ten wykres.

0:00:56.061,0:01:01.307
Jest to wykres wartości funkcji fi dla liczb naturalnych od 1 do 1000.

0:01:01.307,0:01:04.891
Zauważasz pewien schemat?

0:01:04.891,0:01:07.749
Prosta linia punktów na górze,

0:01:07.749,0:01:11.016
reprezentuje wartości dla liczb pierwszych.

0:01:11.016,0:01:14.463
Liczby pierwsze nie mają wspólnych dzielników większych od 1, z liczbami od siebie mniejszymi,

0:01:14.463,0:01:19.991
więc fi od liczby pierwszej p wynosi po prostu p-1.

0:01:19.991,0:01:22.616
Aby obliczyć fi(7) - która jest liczbą pierwszą -

0:01:22.616,0:01:24.984
liczymy wszystkie liczby mniejsze od 7,

0:01:24.984,0:01:27.575
ponieważ żadna z nich nie ma wspólnego dzielnika z 7, większego od 1.

0:01:27.575,0:01:31.536
stąd fi(7) = 6

0:01:31.536,0:01:37.905
Więc jeśli ktoś zapyta ile wynosi fi(21377), czyli od liczby pierwszej,

0:01:37.905,0:01:41.356
należy tylko od niej odjąć 1, aby dostać odpowiedź,

0:01:41.356,0:01:44.132
w tym przypadku jest to 21 376.

0:01:44.132,0:01:48.090
fi od dowolnej liczby pierwszej jest łatwo obliczyć,

0:01:48.090,0:01:50.766
co prowadzi do innego ciekawego wyniku, że

0:01:50.766,0:01:53.875
funkcja fi jest 'multiplikatywna'.

0:01:53.875,0:02:00.899
Co znaczy, że fi(A x B) = phi(A) x phi(B), gdzie NWD(A,B) = 1.

0:02:00.899,0:02:02.792
Jeśli znamy jakąś liczbę N,

0:02:02.792,0:02:06.666
która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych P1 oraz P2,

0:02:06.666,0:02:09.627
to fi(N) jest po prostu wynikiem,

0:02:09.627,0:02:13.434
iloczynu fi od każdej z tych liczb.

0:02:13.434,0:02:17.057
czyli (P1 - 1) x (P2 - 1).