WEBVTT

00:00:02.000 --> 00:00:05.000
オイラーは、数の性質（特に素数の分布）を

00:00:05.000 --> 00:00:09.000
調査し続けました。

00:00:09.000 --> 00:00:10.000
彼の扱った重要な関数の１つに

00:00:10.000 --> 00:00:12.000
φ（ファイ）関数があります。

00:00:12.000 --> 00:00:15.000
φ関数は、数字の分割性を示します。

00:00:15.000 --> 00:00:17.000
例えば Nという数が与えられた時、

00:00:17.000 --> 00:00:21.000
φ関数では N 以下の数のうち、

00:00:21.000 --> 00:00:24.000
Nと公約数を持たない数の個数が解となります。

00:00:24.000 --> 00:00:28.000
例えば、８のφを見てみましょう。

00:00:28.000 --> 00:00:30.000
まず１から８までの数を並べます。

00:00:30.000 --> 00:00:32.000
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。

00:00:32.000 --> 00:00:35.000
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。

00:00:35.000 --> 00:00:37.000
たとえば６は数えることができません。

00:00:37.000 --> 00:00:39.000
８と６は共に２で割ることができるからです。

00:00:39.000 --> 00:00:42.000
一方、１、３、５、７は数えることができます。

00:00:42.000 --> 00:00:44.000
これらは、８との公約数を１以外で持たないからです。

00:00:44.000 --> 00:00:48.000
よって、 φ（８）＝４ です。

00:00:48.000 --> 00:00:50.000
φ関数の面白いところは、

00:00:50.000 --> 00:00:54.000
ある特別な場合に
簡単に計算ができることです。

00:00:54.000 --> 00:00:56.000
このグラフは、

00:00:56.000 --> 00:01:01.000
１から１０００までの整数の
φ（N）の値を図にしたものです。

00:01:01.000 --> 00:01:04.000
さて、なにか予測可能なパターンに気づくでしょうか？

00:01:04.000 --> 00:01:07.000
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。

00:01:07.000 --> 00:01:11.000
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。

00:01:11.000 --> 00:01:14.000
素数は１以外に公約数を持たないので、

00:01:14.000 --> 00:01:19.000
どんな素数（P）でも φ関数の値は（P-1）となります。

00:01:19.000 --> 00:01:22.000
φ（７）を計算してみましょう。

00:01:22.000 --> 00:01:24.000
７は素数なので、７以外の数は数えることができます。

00:01:24.000 --> 00:01:27.000
７以外は公約数がないですからね。

00:01:27.000 --> 00:01:31.000
φ（７）＝６になります。

00:01:31.000 --> 00:01:37.000
だから、もし素数である21377のφを求めよ
といわれたら、

00:01:37.000 --> 00:01:41.000
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。

00:01:41.000 --> 00:01:44.000
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。

00:01:44.000 --> 00:01:48.000
どんな素数でもφを計算することは簡単です。

00:01:48.000 --> 00:01:50.000
他にも、応用可能な面白い性質があります。

00:01:50.000 --> 00:01:53.000
それはφ関数はかけ算もできるということです。

00:01:53.000 --> 00:02:00.000
つまりは、φ（A×B）＝φ（A)×φ（B）という関係です。

00:02:00.000 --> 00:02:02.000
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、

00:02:02.000 --> 00:02:06.000
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、

00:02:06.000 --> 00:02:09.000
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。

00:02:09.000 --> 00:02:13.000
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。

00:02:13.000 --> 00:02:17.000
つまり、（P１−１）×（P２−１）です。