オイラーは、数の性質（特に素数の分布）を
調査し続けました。
彼の扱った重要な関数の１つに
φ（ファイ）関数があります。
φ関数は、数字の分割性を示します。
例えば Nという数が与えられた時、
φ関数では N 以下の数のうち、
Nと公約数を持たない数の個数が解となります。
例えば、８のφを見てみましょう。
まず１から８までの数を並べます。
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。
たとえば６は数えることができません。
８と６は共に２で割ることができるからです。
一方、１、３、５、７は数えることができます。
これらは、８との公約数を１以外で持たないからです。
よって、 φ（８）＝４ です。
φ関数の面白いところは、
ある特別な場合に 簡単に計算ができることです。
このグラフは、
１から１０００までの整数の φ（N）の値を図にしたものです。
さて、なにか予測可能なパターンに気づくでしょうか？
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。
素数は１以外に公約数を持たないので、
どんな素数（P）でも φ関数の値は（P-1）となります。
φ（７）を計算してみましょう。
７は素数なので、７以外の数は数えることができます。
７以外は公約数がないですからね。
φ（７）＝６になります。
だから、もし素数である21377のφを求めよ といわれたら、
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。 つまり、21376 です。
どんな素数でもφを計算することは簡単です。
他にも、応用可能な面白い性質があります。
それはφ関数はかけ算もできるということです。
つまりは、φ（A×B）＝φ（A)×φ（B）という関係です。
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で あらわされることが分かっている時、
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。
つまり、（P１−１）×（P２−１）です。