1
00:00:02,000 --> 00:00:05,000
オイラーは、数の性質（特に素数の分布）を

2
00:00:05,000 --> 00:00:09,000
調査し続けました。

3
00:00:09,000 --> 00:00:10,000
彼の扱った重要な関数の１つに

4
00:00:10,000 --> 00:00:12,000
φ（ファイ）関数があります。

5
00:00:12,000 --> 00:00:15,000
φ関数は、数字の分割性を示します。

6
00:00:15,000 --> 00:00:17,000
例えば Nという数が与えられた時、

7
00:00:17,000 --> 00:00:21,000
φ関数では N 以下の数のうち、

8
00:00:21,000 --> 00:00:24,000
Nと公約数を持たない数の個数が解となります。

9
00:00:24,000 --> 00:00:28,000
例えば、８のφを見てみましょう。

10
00:00:28,000 --> 00:00:30,000
まず１から８までの数を並べます。

11
00:00:30,000 --> 00:00:32,000
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。

12
00:00:32,000 --> 00:00:35,000
そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。

13
00:00:35,000 --> 00:00:37,000
たとえば６は数えることができません。

14
00:00:37,000 --> 00:00:39,000
８と６は共に２で割ることができるからです。

15
00:00:39,000 --> 00:00:42,000
一方、１、３、５、７は数えることができます。

16
00:00:42,000 --> 00:00:44,000
これらは、８との公約数を１以外で持たないからです。

17
00:00:44,000 --> 00:00:48,000
よって、 φ（８）＝４ です。

18
00:00:48,000 --> 00:00:50,000
φ関数の面白いところは、

19
00:00:50,000 --> 00:00:54,000
ある特別な場合に
簡単に計算ができることです。

20
00:00:54,000 --> 00:00:56,000
このグラフは、

21
00:00:56,000 --> 00:01:01,000
１から１０００までの整数の
φ（N）の値を図にしたものです。

22
00:01:01,000 --> 00:01:04,000
さて、なにか予測可能なパターンに気づくでしょうか？

23
00:01:04,000 --> 00:01:07,000
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。

24
00:01:07,000 --> 00:01:11,000
直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。

25
00:01:11,000 --> 00:01:14,000
素数は１以外に公約数を持たないので、

26
00:01:14,000 --> 00:01:19,000
どんな素数（P）でも φ関数の値は（P-1）となります。

27
00:01:19,000 --> 00:01:22,000
φ（７）を計算してみましょう。

28
00:01:22,000 --> 00:01:24,000
７は素数なので、７以外の数は数えることができます。

29
00:01:24,000 --> 00:01:27,000
７以外は公約数がないですからね。

30
00:01:27,000 --> 00:01:31,000
φ（７）＝６になります。

31
00:01:31,000 --> 00:01:37,000
だから、もし素数である21377のφを求めよ
といわれたら、

32
00:01:37,000 --> 00:01:41,000
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。

33
00:01:41,000 --> 00:01:44,000
ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。

34
00:01:44,000 --> 00:01:48,000
どんな素数でもφを計算することは簡単です。

35
00:01:48,000 --> 00:01:50,000
他にも、応用可能な面白い性質があります。

36
00:01:50,000 --> 00:01:53,000
それはφ関数はかけ算もできるということです。

37
00:01:53,000 --> 00:02:00,000
つまりは、φ（A×B）＝φ（A)×φ（B）という関係です。

38
00:02:00,000 --> 00:02:02,000
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、

39
00:02:02,000 --> 00:02:06,000
もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、

40
00:02:06,000 --> 00:02:09,000
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。

41
00:02:09,000 --> 00:02:13,000
φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。

42
00:02:13,000 --> 00:02:17,000
つまり、（P１−１）×（P２−１）です。