WEBVTT

00:00:01.131 --> 00:00:04.800
Eulero studiava le proprietà di numeri

00:00:04.800 --> 00:00:08.883
in particolare la distribution dei numeri primi.

00:00:08.883 --> 00:00:10.919
Un'importante funzione che definì

00:00:10.919 --> 00:00:13.243
si chiama la funzione Φ (fi), o totiente.

00:00:13.243 --> 00:00:15.885
Misura la divisibilità di un numero.

00:00:15.885 --> 00:00:17.879
Ossia, dato un numero 'n'

00:00:17.879 --> 00:00:21.439
produce il numero di interi ≤ n

00:00:21.439 --> 00:00:24.921
che non hanno nessun divisore comune a n.

00:00:24.921 --> 00:00:28.375
Per esempio, se vogliamo trovare il totiente di 8,

00:00:28.375 --> 00:00:30.868
controlliamo tutti i valori fra 1 e 8,

00:00:30.883 --> 00:00:32.983
e contiamo quanti di questi interi

00:00:32.983 --> 00:00:35.864
non hanno in comune nessun divisore >1.

00:00:35.864 --> 00:00:37.371
Nota che 6 non viene contato

00:00:37.371 --> 00:00:39.302
perché 6 e 8 hanno in comune il divisore 2,

00:00:39.302 --> 00:00:42.002
mentre 1, 3, 5 e 7 vengono contati

00:00:42.002 --> 00:00:44.528
perché hanno solo in comune il divisore 1.

00:00:44.528 --> 00:00:48.285
Perciò, Φ(8) = 4.

00:00:48.285 --> 00:00:50.271
La cosa interessante da notare

00:00:50.271 --> 00:00:54.313
è che calcolare Φ è difficile, eccetto in un caso.

00:00:54.313 --> 00:00:56.061
Guardo questo grafico.

00:00:56.061 --> 00:01:01.307
Traccia i valori di Φ per gli interi da 1 a 1000.

00:01:01.307 --> 00:01:04.891
Vedi un modello prevedibile?

00:01:04.891 --> 00:01:07.749
La linea diritta in alto

00:01:07.749 --> 00:01:11.016
rappresenta tutti i numeri primi.

00:01:11.016 --> 00:01:14.463
Visto che numeri primi non hanno un divisore maggiore a 1,

00:01:14.463 --> 00:01:19.661
la Φ di ogni numero primo 'p' è semplicemente p-1.

00:01:19.661 --> 00:01:22.616
Per calcolare Φ(7), un numero primo,

00:01:22.616 --> 00:01:24.984
contiamo tutti gli interi eccetto 7

00:01:24.984 --> 00:01:28.195
visto che nessuno di questi ha un divisore comune a 7.

00:01:28.195 --> 00:01:31.536
Φ(7) = 6.

00:01:31.536 --> 00:01:37.905
Quindi se ti viene chiesto di trovare Φ(21 377), un numero primo,

00:01:37.905 --> 00:01:41.356
devi solo sottrarre 1 per ottenere la soluzione,

00:01:41.356 --> 00:01:44.132
21 376.

00:01:44.132 --> 00:01:48.090
Φ di qualsiasi numero primo è facile da calcolare.

00:01:48.090 --> 00:01:50.766
Questo ci porta ad un'interessante risultato, basato sul fatto che

00:01:50.766 --> 00:01:53.875
la funzione φ è anche 'moltiplicativa'.

00:01:53.875 --> 00:02:00.899
Ossia, Φ(A x B) = Φ(A) x Φ(B).

00:02:00.899 --> 00:02:02.792
Se sappiamo che un numero, N,

00:02:02.792 --> 00:02:06.666
è il prodotto di due numeri primi, P1 e P2,

00:02:06.666 --> 00:02:09.627
allora Φ(N) è semplicemente

00:02:09.627 --> 00:02:13.434
il valore Φ di ogni numero primo moltiplicato insieme.

00:02:13.434 --> 00:02:17.057
ossia (P1 - 1) x (P2 - 1).