1
00:00:01,131 --> 00:00:04,800
Eulero studiava le proprietà di numeri

2
00:00:04,800 --> 00:00:08,883
in particolare la distribution dei numeri primi.

3
00:00:08,883 --> 00:00:10,919
Un'importante funzione che definì

4
00:00:10,919 --> 00:00:13,243
si chiama la funzione Φ (fi), o totiente.

5
00:00:13,243 --> 00:00:15,885
Misura la divisibilità di un numero.

6
00:00:15,885 --> 00:00:17,879
Ossia, dato un numero 'n'

7
00:00:17,879 --> 00:00:21,439
produce il numero di interi ≤ n

8
00:00:21,439 --> 00:00:24,921
che non hanno nessun divisore comune a n.

9
00:00:24,921 --> 00:00:28,375
Per esempio, se vogliamo trovare il totiente di 8,

10
00:00:28,375 --> 00:00:30,868
controlliamo tutti i valori fra 1 e 8,

11
00:00:30,883 --> 00:00:32,983
e contiamo quanti di questi interi

12
00:00:32,983 --> 00:00:35,864
non hanno in comune nessun divisore >1.

13
00:00:35,864 --> 00:00:37,371
Nota che 6 non viene contato

14
00:00:37,371 --> 00:00:39,302
perché 6 e 8 hanno in comune il divisore 2,

15
00:00:39,302 --> 00:00:42,002
mentre 1, 3, 5 e 7 vengono contati

16
00:00:42,002 --> 00:00:44,528
perché hanno solo in comune il divisore 1.

17
00:00:44,528 --> 00:00:48,285
Perciò, Φ(8) = 4.

18
00:00:48,285 --> 00:00:50,271
La cosa interessante da notare

19
00:00:50,271 --> 00:00:54,313
è che calcolare Φ è difficile, eccetto in un caso.

20
00:00:54,313 --> 00:00:56,061
Guardo questo grafico.

21
00:00:56,061 --> 00:01:01,307
Traccia i valori di Φ per gli interi da 1 a 1000.

22
00:01:01,307 --> 00:01:04,891
Vedi un modello prevedibile?

23
00:01:04,891 --> 00:01:07,749
La linea diritta in alto

24
00:01:07,749 --> 00:01:11,016
rappresenta tutti i numeri primi.

25
00:01:11,016 --> 00:01:14,463
Visto che numeri primi non hanno un divisore maggiore a 1,

26
00:01:14,463 --> 00:01:19,661
la Φ di ogni numero primo 'p' è semplicemente p-1.

27
00:01:19,661 --> 00:01:22,616
Per calcolare Φ(7), un numero primo,

28
00:01:22,616 --> 00:01:24,984
contiamo tutti gli interi eccetto 7

29
00:01:24,984 --> 00:01:28,195
visto che nessuno di questi ha un divisore comune a 7.

30
00:01:28,195 --> 00:01:31,536
Φ(7) = 6.

31
00:01:31,536 --> 00:01:37,905
Quindi se ti viene chiesto di trovare Φ(21 377), un numero primo,

32
00:01:37,905 --> 00:01:41,356
devi solo sottrarre 1 per ottenere la soluzione,

33
00:01:41,356 --> 00:01:44,132
21 376.

34
00:01:44,132 --> 00:01:48,090
Φ di qualsiasi numero primo è facile da calcolare.

35
00:01:48,090 --> 00:01:50,766
Questo ci porta ad un'interessante risultato, basato sul fatto che

36
00:01:50,766 --> 00:01:53,875
la funzione φ è anche 'moltiplicativa'.

37
00:01:53,875 --> 00:02:00,899
Ossia, Φ(A x B) = Φ(A) x Φ(B).

38
00:02:00,899 --> 00:02:02,792
Se sappiamo che un numero, N,

39
00:02:02,792 --> 00:02:06,666
è il prodotto di due numeri primi, P1 e P2,

40
00:02:06,666 --> 00:02:09,627
allora Φ(N) è semplicemente

41
00:02:09,627 --> 00:02:13,434
il valore Φ di ogni numero primo moltiplicato insieme.

42
00:02:13,434 --> 00:02:17,057
ossia (P1 - 1) x (P2 - 1).