0:00:01.131,0:00:04.800
Eulero studiava le proprietà di numeri

0:00:04.800,0:00:08.883
in particolare la distribution dei numeri primi.

0:00:08.883,0:00:10.919
Un'importante funzione che definì

0:00:10.919,0:00:13.243
si chiama la funzione Φ (fi), o totiente.

0:00:13.243,0:00:15.885
Misura la divisibilità di un numero.

0:00:15.885,0:00:17.879
Ossia, dato un numero 'n'

0:00:17.879,0:00:21.439
produce il numero di interi ≤ n

0:00:21.439,0:00:24.921
che non hanno nessun divisore comune a n.

0:00:24.921,0:00:28.375
Per esempio, se vogliamo trovare il totiente di 8,

0:00:28.375,0:00:30.868
controlliamo tutti i valori fra 1 e 8,

0:00:30.883,0:00:32.983
e contiamo quanti di questi interi

0:00:32.983,0:00:35.864
non hanno in comune nessun divisore >1.

0:00:35.864,0:00:37.371
Nota che 6 non viene contato

0:00:37.371,0:00:39.302
perché 6 e 8 hanno in comune il divisore 2,

0:00:39.302,0:00:42.002
mentre 1, 3, 5 e 7 vengono contati

0:00:42.002,0:00:44.528
perché hanno solo in comune il divisore 1.

0:00:44.528,0:00:48.285
Perciò, Φ(8) = 4.

0:00:48.285,0:00:50.271
La cosa interessante da notare

0:00:50.271,0:00:54.313
è che calcolare Φ è difficile, eccetto in un caso.

0:00:54.313,0:00:56.061
Guardo questo grafico.

0:00:56.061,0:01:01.307
Traccia i valori di Φ per gli interi da 1 a 1000.

0:01:01.307,0:01:04.891
Vedi un modello prevedibile?

0:01:04.891,0:01:07.749
La linea diritta in alto

0:01:07.749,0:01:11.016
rappresenta tutti i numeri primi.

0:01:11.016,0:01:14.463
Visto che numeri primi non hanno un divisore maggiore a 1,

0:01:14.463,0:01:19.661
la Φ di ogni numero primo 'p' è semplicemente p-1.

0:01:19.661,0:01:22.616
Per calcolare Φ(7), un numero primo,

0:01:22.616,0:01:24.984
contiamo tutti gli interi eccetto 7

0:01:24.984,0:01:28.195
visto che nessuno di questi ha un divisore comune a 7.

0:01:28.195,0:01:31.536
Φ(7) = 6.

0:01:31.536,0:01:37.905
Quindi se ti viene chiesto di trovare Φ(21 377), un numero primo,

0:01:37.905,0:01:41.356
devi solo sottrarre 1 per ottenere la soluzione,

0:01:41.356,0:01:44.132
21 376.

0:01:44.132,0:01:48.090
Φ di qualsiasi numero primo è facile da calcolare.

0:01:48.090,0:01:50.766
Questo ci porta ad un'interessante risultato, basato sul fatto che

0:01:50.766,0:01:53.875
la funzione φ è anche 'moltiplicativa'.

0:01:53.875,0:02:00.899
Ossia, Φ(A x B) = Φ(A) x Φ(B).

0:02:00.899,0:02:02.792
Se sappiamo che un numero, N,

0:02:02.792,0:02:06.666
è il prodotto di due numeri primi, P1 e P2,

0:02:06.666,0:02:09.627
allora Φ(N) è semplicemente

0:02:09.627,0:02:13.434
il valore Φ di ogni numero primo moltiplicato insieme.

0:02:13.434,0:02:17.057
ossia (P1 - 1) x (P2 - 1).