Eular تحقیق درباره ویژگیهای اعداد را ادامه داد مخصوصا توزیع اعداد اول یک تابع بسیار مهمی که او تعریف کرد تابع 'Phi' نام دارد این تابع شکنندگی یک عدد را اندازه میگیرد پس، با داشتن عددی، مثلا n این تابع تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی n را نشان میدهد که هیچ عامل مشترکی با n ندارند به طور مثال، برای phi ۸ به تمام اعداد ۱ تا ۸ نگاه میکنیم و میشمریم که ۸ با چند عدد صحیح عامل مشترک بزرگتر از ۱ ندارد دقت کنید، ۶ شمرده نمیشوند زیرا ۶ و ۸ عامل مشترک ۲ را دارند درحالیکه ۱، ۳، ۵ و ۷ همه شمرده میشوند زیرا آنها فقط عامل ۱ را مشترک دارند در نتیجه، Phi(8)=4 جالب این است که محاسبه تابع phi به جز در یک مورد سخت است به این گراف نمودار نگاه کنید نمودار مقادیر phi برای اعداد ۱ تا ۱۰۰۰ است آیا الگوی قابل پیشبینی می بینید؟ خط صاف نقاط در بالا اعداد اول را نشان میدهد چون اعداد اول هیچ عاملی مشترکی غیر از ۱ ندارند phi هر عدد اول'p' به سادگی 'p-1' است برای محاسبه phi ۷، یک عدد اول، همه ی اعداد طبیعی غیر از ۷ را میشمریم زیرا هیچ کدام عامل مشترکی با ۷ ندارند phi 7 = 6 پس اگر از شما phi ۲۱۳۷۷ ،یک عدد اول، خواسته شد فقط لازم است از آن ۱ را کم کنید ۲۱۳۷۶ phi هر عدد اول به سادگی حساب میشود این به یک نتیجه جالب منتهی میشود با توجه به این اصل که تابع phi ضربی است به این معنی که، (phi(ab) = phi(a) phi(b اگر بدانیم که یک عدد ,N, ضرب دو عدد اول است پس phi N مقدار ضرب phi هر دو عدد اول است یا (p1-1) *(p2-1)