0:00:02.011,0:00:05.150
Ο Euler συνέχισε να ερευνά τις ιδιότητες των αριθμών-

0:00:05.150,0:00:09.007
ειδικά την κατανομή των πρώτων αριθμών.

0:00:09.007,0:00:10.919
Μια σημαντική συνάρτηση που όρισε

0:00:10.919,0:00:12.733
ονομάζεται "συνάρτηση του Φ".

0:00:12.733,0:00:15.885
Μετράει τη δυνατότητα εύρεσης παραγώντων δυο αριθμών.

0:00:15.885,0:00:17.879
Οπότε, δοθέντως ενός αριθμού, έστω, 'ν',

0:00:17.879,0:00:21.439
επιστρέφει πόσοι ακέραιοι που είναι μικρότεροι ή ίσοι από το ν

0:00:21.439,0:00:24.921
δεν έχουν κοινούς παράγοντες με το ν.

0:00:24.921,0:00:28.375
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το Φ του 8,

0:00:28.375,0:00:30.868
παίρνουμε όλες τις τιμές από το 1 έως το 8,

0:00:30.883,0:00:32.983
και μετά μετράμε με πόσους ακεραίους

0:00:32.983,0:00:35.954
το 8 δεν έχει κοινό παράγοντα μεγαλύτερο του 1.

0:00:35.954,0:00:37.371
Παρατηρούμε, ότι το 6 δεν το μετράμε,

0:00:37.371,0:00:39.302
γιατί το 6 και το 8 έχουν κοινό τον παράγοντα 2,

0:00:39.302,0:00:42.002
ενώ τα 1, 3, 5 και 7 τα μετράμε,

0:00:42.002,0:00:44.528
γιατί έχουν κοινό μόνο τον παράγοντα 1.

0:00:44.528,0:00:48.855
Επομένως, Φ(8)=4.

0:00:48.855,0:00:50.271
Αυτό που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι ότι

0:00:50.271,0:00:54.523
ο υπολογισμός της συνάρτησης Φ είναι δύσκολος, με εξαίρεση μια περίπτωση.

0:00:54.523,0:00:56.061
Κοιτάξτε αυτό το γράφημα.

0:00:56.061,0:01:01.307
Είναι ένα σχέδιο των τιμών του Φ για ακεραίους από το 1 έως το 1000.

0:01:01.307,0:01:04.891
Τώρα, παρατηρείτε κάποιο προβλέψιμο μοτίβο;

0:01:04.891,0:01:07.749
Η ευθεία που ενώνει τα πάνω σημεία

0:01:07.749,0:01:11.016
παριστάνει όλους τους πρώτους αριθμούς.

0:01:11.016,0:01:14.463
Αφού οι πρώτοι αριθμοί δεν έχουν παράγοντες μεγαλύτερους του 1,

0:01:14.463,0:01:19.991
το Φ κάθε πρώτου αριθμού, "ρ", είναι απλά ρ-1.

0:01:19.991,0:01:22.616
Για να υπολογίσουμε το Φ του 7 - ενός πρώτου αριθμού -

0:01:22.616,0:01:24.984
μετράμε όλους τους ακεραίους εκτός από το 7 -

0:01:24.984,0:01:27.575
αφού κανένας από αυτούς δεν μοιράζεται έναν παράγοντα με το 7.

0:01:27.575,0:01:31.536
Φ(7)=6

0:01:31.536,0:01:37.905


0:01:37.905,0:01:41.356


0:01:41.356,0:01:44.132


0:01:44.132,0:01:48.090


0:01:48.090,0:01:50.766


0:01:50.766,0:01:53.875


0:01:53.875,0:02:00.899


0:02:00.899,0:02:02.792


0:02:02.792,0:02:06.666


0:02:06.666,0:02:09.627


0:02:09.627,0:02:13.434


0:02:13.434,0:02:17.057