1
00:00:02,000 --> 00:00:05,200
Euler pokračoval ve zkoumání
vlastností čísel.

2
00:00:05,220 --> 00:00:08,960
Zvláště se věnoval rozložení prvočísel.

3
00:00:09,020 --> 00:00:12,900
Definoval jednu důležitou funkci,
které se říká "funkce Fí".

4
00:00:12,940 --> 00:00:15,980
Tato funkce je mírou
rozpadnutelnosti čísla.

5
00:00:16,020 --> 00:00:17,880
Vezmeme-li například číslo 'N',

6
00:00:17,940 --> 00:00:21,760
tak funkce vrátí počet celých čísel,
které jsou menší nebo rovna 'N'

7
00:00:21,800 --> 00:00:25,080
a nemají společného prvočíselného dělitele s 'N'.

8
00:00:25,120 --> 00:00:28,500
Pokud budeme chtít vědět,
kolik je například Fí(8),

9
00:00:28,540 --> 00:00:30,900
tak se podíváme na všechny
hodnoty čísel od 1 do 8

10
00:00:30,960 --> 00:00:32,980
a spočítáme počet celých čísel,

11
00:00:33,060 --> 00:00:36,080
se kterými nemá 8 společného
dělitele většího než 1.

12
00:00:36,120 --> 00:00:39,300
Vynecháme 6, neboť 6 a 8
mají společného dělitele 2,

13
00:00:39,300 --> 00:00:42,000
ale 1, 3, 5 a 7 se započítají,

14
00:00:42,000 --> 00:00:44,520
protože společným dělitelem je pouze 1.

15
00:00:44,520 --> 00:00:48,850
Proto platí Fí(8) = 4.

16
00:00:48,910 --> 00:00:50,270
Zajímavé je,

17
00:00:50,270 --> 00:00:54,520
že výpočet funkce Fí je složitý
až na jediný případ.

18
00:00:54,520 --> 00:00:56,060
Podívejte se na tento graf,

19
00:00:56,060 --> 00:01:01,300
kde jsou vyneseny hodnoty Fí
pro celá čísla od 1 do 1000.

20
00:01:01,300 --> 00:01:04,910
Vidíte nějaký předvídatelný vzor?

21
00:01:05,010 --> 00:01:10,880
Rovná čára bodů kolem vrcholu
představuje všechna prvočísla.

22
00:01:10,880 --> 00:01:14,580
Prvočísla nemají žádného společného
dělitele, kromě čísla 1,

23
00:01:14,600 --> 00:01:20,120
takže Fí jakéhokoliv prvočísla 'p'
je (p mínus 1).

24
00:01:20,140 --> 00:01:22,790
Abychom spočetli Fí(7),
což je prvočíslo,

25
00:01:22,790 --> 00:01:24,980
tak spočítáme všechna
celá čísla kromě 7,

26
00:01:24,980 --> 00:01:27,570
protože žádné nemá společného
prvočíselného dělitele se 7.

27
00:01:27,570 --> 00:01:31,700
Fí(7) = 6.

28
00:01:31,700 --> 00:01:38,030
Takže když máte najít Fí(21 377),
což je prvočíslo,

29
00:01:38,030 --> 00:01:44,200
tak pouze odečtete 1
a máte výsledek: 21 376.

30
00:01:44,200 --> 00:01:48,250
Fí jakéhokoliv prvočísla
je jednoduché spočítat.

31
00:01:48,270 --> 00:01:50,630
To má zajímavé důsledky díky faktu,

32
00:01:50,650 --> 00:01:53,970
že funkce Fí je 'multiplikativní'.

33
00:01:53,970 --> 00:02:01,010
To znamená, že
Fí(A krát B) = Fí(A) krát Fí(B).

34
00:02:01,030 --> 00:02:06,660
Pokud víme, že nějaké číslo 'N'
je součinem dvou prvočísel P1 a P2,

35
00:02:06,660 --> 00:02:12,820
tak Fí(N) je jen součin hodnot Fí
daných prvočísel

36
00:02:12,820 --> 00:02:17,050
neboli (P1 mínus 1) krát (P2 mínus 1).