إستمر "إيولر" في التحقيق في خواص الأرقام
تحديدا، توزيع الأعداد الاولية
عرّف اقترانا واحدا مهما
يسمي باقتران فاي
و يعني قابلية الرقم للتجزئة
إذا، لنفرض رقما، لنسمه n
تنتج كم من الأعداد الصحيحة هي أقل أو مساوية لـn
و التي لا تشارك أي العوامل مع n
على سبيل المثال، إن أردنا ان نجد فاي لرقم 8
سننظر إلى كافة القيم من 1 إلى 8
و من ثم نعد كم من الأرقام الصحيحة
التي لا تشاركها الثمانية في أي رقم أكبر من 1
للملاحظة 6 و 4 غير محسوبين
لأن 8 و 6 تتشاركان في الرقم 2
بينما 1، 3، 5 و 7 محسوبة
لأنها تتشارك في الرقم 1 فقط
و بالتالي فإن Phi(8)= 4
المهم في ذلك
حساب اقتران فاي صعب إلا في حالة واحدة
أنظر إلى الرسم البياني
إنها رسم لقيم فاي للأعداد الصحيحة من 1 و حتى 1000
الآن لاحظ، هل هنالك من أنماط متوقعة؟
الخط المستقيم المكون من النقاط في الأعلى
يمثل كافة الأعداد الأولية
بما أن الأعداد الأولية لا تتشارك إلا في الرقم 1
فاي أي من الأعداد الأولية p هو و ببساطة p-1
كي نحسب فاي 7 - و الذي هو عدد أولي-
سنعد كافة الأعداد الصحيحة عدا 7
و بما أن ليس هنالك ما يشارك الرقم 7 بالعوامل
Phi 7 = 6
إذا إن طُلب أن تجد فاي للعدد الأولي 21,377
فالحل هو أن تطرح 1 كي تجد الإجابة
21,376
من السهل أن تجد فاي لاي عدد أولي
هذا يقودنا إلى نتيجة مثيرة للإهتمام، بناء عرى حقيقة أن
اقتران فاي قابل لضرب
أي أن (phi(A x B)=phi(A) x Phi(B
إن علمنا عددا يسمى N
هو حاصل ضرب عددين أوليين P1 و P2
إذا فاي N هو فقط قيمة
فاي لكل من الأعداد الأولية المضروبة مع
أو (P1 - 1) x (P2 - 1).