WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:07.917
Policzmy całkę nieoznaczoną z pierwiastka kwadratowego z 7x+9 dx.

00:00:07.917 --> 00:00:14.166
Moje pierwsze pytanie brzmi: czy to dobry przykład na całkowanie przez podstawienie?

00:00:14.166 --> 00:00:21.002
Jeśli tu popatrzycie, możecie pomyśleć, że naturalnym pomysłem będzie oznaczenie jako u 7x+9

00:00:21.002 --> 00:00:24.671
ale czy widać gdzieś tu pochodną tego wyrażenia?

00:00:24.671 --> 00:00:33.504
Zobaczmy, oznaczamy u jako 7x+9, jaka będzie pochodna u względem x?

00:00:33.504 --> 00:00:37.219
Pochodna u względem x to po prostu będzie 7.

00:00:37.219 --> 00:00:44.001
Pochodna 7x to 7, pochodna 9 to 0. Czy zatem widzimy gdzieś tu siódemkę?

00:00:44.001 --> 00:00:53.482
Cóż, niezbyt. Ale co moglibyśmy zrobić, żeby siódemka się pojawiła, ale wartość całki się nie zmieniła?

00:00:53.482 --> 00:00:57.250
Cóż, fajną rzeczą - i widywaną wiele razy, kiedy liczymy całki

00:00:57.250 --> 00:01:01.336
liczby mogą bardzo łatwo wchodzić lub wychodzić spod całki.

00:01:01.336 --> 00:01:05.648
Przypominam, że jeśli mamy całkę z

00:01:05.648 --> 00:01:12.585
powiedzmy jakiaś liczba a razy jakaś funkcja f(x) dx, to jest to samo co

00:01:12.585 --> 00:01:20.085
a razy całka z f(x)dx. Całka z liczby razy funkcja jest równe

00:01:20.085 --> 00:01:25.182
liczba razy całka z funkcji. Zostawię to tu z boku.

00:01:25.182 --> 00:01:31.372
Wiedząc to, czy możemy przez coś pomnożyć i podzielić, żeby pokazało się 7?

00:01:31.372 --> 00:01:39.578
Cóż, możemy pomnożyć i podzielić przez 7. Wyobraźcie to sobie teraz. Przepiszmy naszą wyjściową całkę

00:01:39.578 --> 00:01:42.578
narysuję strzałkę, żeby nie wchodzić na to, co już napisałem.

00:01:42.578 --> 00:01:46.224
Możemy przepisać naszą wyjściową całkę jako równą całce

00:01:46.224 --> 00:01:57.976
z 1/7 razy 7 razy pierwiastek z 7x+9 dx

00:01:57.976 --> 00:02:01.312
I jeśli chcemy, możemy wyciągnąć 1/7 przed całkę

00:02:01.312 --> 00:02:03.105
nie musimy, ale możemy to przepisać jako

00:02:03.105 --> 00:02:12.180
1/7 razy całka z 7 razy pierwiastek kwadratowy z 7x+9 dx.

00:02:12.180 --> 00:02:16.981
Zatem, gdybyśmy powiedzieli "u jest równe 7x+9", czy widać gdzieś tu jego pochodną?

00:02:16.981 --> 00:02:23.114
Pewnie! 7 jest tutaj. Wiemy, że du, jeśli chcemy to zapisać w formie różniczkowej

00:02:23.114 --> 00:02:35.849
du jest równe 7 razy dx. Czyli du jest równe 7 dx. Ta część tutaj jest równa du

00:02:35.849 --> 00:02:40.180
i widzimy gdzie jest nasze u, będzie to po prostu 7x+9.

00:02:40.180 --> 00:02:45.504
To jest nasze u. Przepiszmy więc naszą całkę jako wyrażenie od u.

00:02:45.504 --> 00:02:53.191
Będzie ona równa 1/7 razy całka z

00:02:53.191 --> 00:02:56.270
i przerzucę 7 na koniec, żebyśmy mogli po prostu napisać

00:02:56.283 --> 00:03:05.912
pierwiastek z u du. 7 razy dx to du.

00:03:05.963 --> 00:03:11.316
I, jeśli chcemy, możemy to przepisać jako u do potęgi 1/2, łatwiej nam wtedy zobaczyć

00:03:11.316 --> 00:03:16.879
że tak naprawdę całkujemy funkcję potęgową, co umiemy robić. Przepisujemy to zatem

00:03:16.879 --> 00:03:25.030
1/7 razy całka z u do potęgi 1/2 du. I postaram się teraz wyjaśnić.

00:03:25.030 --> 00:03:30.952
To u mogłem napisać na biało. Chcę ten sam kolor du, bo jest to to samo du, co tutaj.

00:03:30.952 --> 00:03:35.641
Więc, jaka jest całka z u do potęgi 1/2?

00:03:35.641 --> 00:03:40.581
Cóż, zwiększamy wykładnik o 1, więc będzie to równe

00:03:40.581 --> 00:03:43.237
i nie mogę zapomnieć o 1/7 na początku.

00:03:43.237 --> 00:03:49.462
Czyli będzie to 1/7 razy, jeśli zwiększymy wykładnik o 1, będzie to równe

00:03:49.462 --> 00:04:06.318
u do potęgi 3/2 (1/2 plus 1 to półtora, czyli 3/2) i musimy pomnożyć to nowe wyrażenie przez odwrotność 3/2

00:04:06.318 --> 00:04:14.835
czyli 2/3. I zachęcam was, byście sprawdzili, że pochodna 2/3 razy u do 3/2 to istotnie u do potęgi 1/2.

00:04:14.835 --> 00:04:19.380
Mamy już to i skoro mnożymy to wszystko przez 1/7

00:04:19.380 --> 00:04:23.350
możemy tu jeszcze dorzucić plus C, które może być pewną stałą

00:04:23.350 --> 00:04:36.130
i jeśli chcemy, możemy pomnożyć nawias przez 1/7. Dostaniemy wtedy 1/7 razy 2/3 to 2/21 razy u^(3/2)

00:04:36.130 --> 00:04:40.243
i 1/7 razy stała, co da nam po prostu jakąś inną stałą

00:04:40.243 --> 00:04:44.539
mogę zatem napisać tu stałą. Tamtą mogę nazwać C1, zaś tą mogę nazwać C2

00:04:44.539 --> 00:04:48.972
ale tak naprawdę to po prostu jakaś stała. I gotowe, och, właściwie to jeszcze nie.

00:04:48.972 --> 00:04:54.789
Mamy odpowiedź, ale jako wyrażenie od u. Musimy jeszcze odwrócić podstawienie.

00:04:54.789 --> 00:05:03.760
Będzie to zatem 2/21 razy u do (3/2), a wiemy, czemu jest równe u,

00:05:03.760 --> 00:05:08.779
u jest równe 7x+9. Użyję nowego koloru, żeby złagodzić trochę monotonię.

00:05:08.779 --> 00:05:22.453
Czyli będzie to równe 2/21 razy 7x+9 do potęgi 3/2 plus C.

00:05:22.453 --> 00:05:26.478
I gotowe! Jesteśmy w stanie wziąć dość brzydko wyglądającą całkę i zdać sobie sprawę

00:05:26.478 --> 00:05:30.478
iż, mimo że to nie było od początku tak oczywiste, całkowanie przez podstawienie tutaj działa.