[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:07.92,Default,,0000,0000,0000,,Policzmy całkę nieoznaczoną z pierwiastka kwadratowego z 7x+9 dx.
Dialogue: 0,0:00:07.92,0:00:14.17,Default,,0000,0000,0000,,Moje pierwsze pytanie brzmi: czy to dobry przykład na całkowanie przez podstawienie?
Dialogue: 0,0:00:14.17,0:00:21.00,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli tu popatrzycie, możecie pomyśleć, że naturalnym pomysłem będzie oznaczenie jako u 7x+9
Dialogue: 0,0:00:21.00,0:00:24.67,Default,,0000,0000,0000,,ale czy widać gdzieś tu pochodną tego wyrażenia?
Dialogue: 0,0:00:24.67,0:00:33.50,Default,,0000,0000,0000,,Zobaczmy, oznaczamy u jako 7x+9, jaka będzie pochodna u względem x?
Dialogue: 0,0:00:33.50,0:00:37.22,Default,,0000,0000,0000,,Pochodna u względem x to po prostu będzie 7.
Dialogue: 0,0:00:37.22,0:00:44.00,Default,,0000,0000,0000,,Pochodna 7x to 7, pochodna 9 to 0. Czy zatem widzimy gdzieś tu siódemkę?
Dialogue: 0,0:00:44.00,0:00:53.48,Default,,0000,0000,0000,,Cóż, niezbyt. Ale co moglibyśmy zrobić, żeby siódemka się pojawiła, ale wartość całki się nie zmieniła?
Dialogue: 0,0:00:53.48,0:00:57.25,Default,,0000,0000,0000,,Cóż, fajną rzeczą - i widywaną wiele razy, kiedy liczymy całki
Dialogue: 0,0:00:57.25,0:01:01.34,Default,,0000,0000,0000,,liczby mogą bardzo łatwo wchodzić lub wychodzić spod całki.
Dialogue: 0,0:01:01.34,0:01:05.65,Default,,0000,0000,0000,,Przypominam, że jeśli mamy całkę z
Dialogue: 0,0:01:05.65,0:01:12.58,Default,,0000,0000,0000,,powiedzmy jakiaś liczba a razy jakaś funkcja f(x) dx, to jest to samo co
Dialogue: 0,0:01:12.58,0:01:20.08,Default,,0000,0000,0000,,a razy całka z f(x)dx. Całka z liczby razy funkcja jest równe
Dialogue: 0,0:01:20.08,0:01:25.18,Default,,0000,0000,0000,,liczba razy całka z funkcji. Zostawię to tu z boku.
Dialogue: 0,0:01:25.18,0:01:31.37,Default,,0000,0000,0000,,Wiedząc to, czy możemy przez coś pomnożyć i podzielić, żeby pokazało się 7?
Dialogue: 0,0:01:31.37,0:01:39.58,Default,,0000,0000,0000,,Cóż, możemy pomnożyć i podzielić przez 7. Wyobraźcie to sobie teraz. Przepiszmy naszą wyjściową całkę
Dialogue: 0,0:01:39.58,0:01:42.58,Default,,0000,0000,0000,,narysuję strzałkę, żeby nie wchodzić na to, co już napisałem.
Dialogue: 0,0:01:42.58,0:01:46.22,Default,,0000,0000,0000,,Możemy przepisać naszą wyjściową całkę jako równą całce
Dialogue: 0,0:01:46.22,0:01:57.98,Default,,0000,0000,0000,,z 1/7 razy 7 razy pierwiastek z 7x+9 dx
Dialogue: 0,0:01:57.98,0:02:01.31,Default,,0000,0000,0000,,I jeśli chcemy, możemy wyciągnąć 1/7 przed całkę
Dialogue: 0,0:02:01.31,0:02:03.10,Default,,0000,0000,0000,,nie musimy, ale możemy to przepisać jako
Dialogue: 0,0:02:03.10,0:02:12.18,Default,,0000,0000,0000,,1/7 razy całka z 7 razy pierwiastek kwadratowy z 7x+9 dx.
Dialogue: 0,0:02:12.18,0:02:16.98,Default,,0000,0000,0000,,Zatem, gdybyśmy powiedzieli "u jest równe 7x+9", czy widać gdzieś tu jego pochodną?
Dialogue: 0,0:02:16.98,0:02:23.11,Default,,0000,0000,0000,,Pewnie! 7 jest tutaj. Wiemy, że du, jeśli chcemy to zapisać w formie różniczkowej
Dialogue: 0,0:02:23.11,0:02:35.85,Default,,0000,0000,0000,,du jest równe 7 razy dx. Czyli du jest równe 7 dx. Ta część tutaj jest równa du
Dialogue: 0,0:02:35.85,0:02:40.18,Default,,0000,0000,0000,,i widzimy gdzie jest nasze u, będzie to po prostu 7x+9.
Dialogue: 0,0:02:40.18,0:02:45.50,Default,,0000,0000,0000,,To jest nasze u. Przepiszmy więc naszą całkę jako wyrażenie od u.
Dialogue: 0,0:02:45.50,0:02:53.19,Default,,0000,0000,0000,,Będzie ona równa 1/7 razy całka z
Dialogue: 0,0:02:53.19,0:02:56.27,Default,,0000,0000,0000,,i przerzucę 7 na koniec, żebyśmy mogli po prostu napisać
Dialogue: 0,0:02:56.28,0:03:05.91,Default,,0000,0000,0000,,pierwiastek z u du. 7 razy dx to du.
Dialogue: 0,0:03:05.96,0:03:11.32,Default,,0000,0000,0000,,I, jeśli chcemy, możemy to przepisać jako u do potęgi 1/2, łatwiej nam wtedy zobaczyć
Dialogue: 0,0:03:11.32,0:03:16.88,Default,,0000,0000,0000,,że tak naprawdę całkujemy funkcję potęgową, co umiemy robić. Przepisujemy to zatem
Dialogue: 0,0:03:16.88,0:03:25.03,Default,,0000,0000,0000,,1/7 razy całka z u do potęgi 1/2 du. I postaram się teraz wyjaśnić.
Dialogue: 0,0:03:25.03,0:03:30.95,Default,,0000,0000,0000,,To u mogłem napisać na biało. Chcę ten sam kolor du, bo jest to to samo du, co tutaj.
Dialogue: 0,0:03:30.95,0:03:35.64,Default,,0000,0000,0000,,Więc, jaka jest całka z u do potęgi 1/2?
Dialogue: 0,0:03:35.64,0:03:40.58,Default,,0000,0000,0000,,Cóż, zwiększamy wykładnik o 1, więc będzie to równe
Dialogue: 0,0:03:40.58,0:03:43.24,Default,,0000,0000,0000,,i nie mogę zapomnieć o 1/7 na początku.
Dialogue: 0,0:03:43.24,0:03:49.46,Default,,0000,0000,0000,,Czyli będzie to 1/7 razy, jeśli zwiększymy wykładnik o 1, będzie to równe
Dialogue: 0,0:03:49.46,0:04:06.32,Default,,0000,0000,0000,,u do potęgi 3/2 (1/2 plus 1 to półtora, czyli 3/2) i musimy pomnożyć to nowe wyrażenie przez odwrotność 3/2
Dialogue: 0,0:04:06.32,0:04:14.84,Default,,0000,0000,0000,,czyli 2/3. I zachęcam was, byście sprawdzili, że pochodna 2/3 razy u do 3/2 to istotnie u do potęgi 1/2.
Dialogue: 0,0:04:14.84,0:04:19.38,Default,,0000,0000,0000,,Mamy już to i skoro mnożymy to wszystko przez 1/7
Dialogue: 0,0:04:19.38,0:04:23.35,Default,,0000,0000,0000,,możemy tu jeszcze dorzucić plus C, które może być pewną stałą
Dialogue: 0,0:04:23.35,0:04:36.13,Default,,0000,0000,0000,,i jeśli chcemy, możemy pomnożyć nawias przez 1/7. Dostaniemy wtedy 1/7 razy 2/3 to 2/21 razy u^(3/2)
Dialogue: 0,0:04:36.13,0:04:40.24,Default,,0000,0000,0000,,i 1/7 razy stała, co da nam po prostu jakąś inną stałą
Dialogue: 0,0:04:40.24,0:04:44.54,Default,,0000,0000,0000,,mogę zatem napisać tu stałą. Tamtą mogę nazwać C1, zaś tą mogę nazwać C2
Dialogue: 0,0:04:44.54,0:04:48.97,Default,,0000,0000,0000,,ale tak naprawdę to po prostu jakaś stała. I gotowe, och, właściwie to jeszcze nie.
Dialogue: 0,0:04:48.97,0:04:54.79,Default,,0000,0000,0000,,Mamy odpowiedź, ale jako wyrażenie od u. Musimy jeszcze odwrócić podstawienie.
Dialogue: 0,0:04:54.79,0:05:03.76,Default,,0000,0000,0000,,Będzie to zatem 2/21 razy u do (3/2), a wiemy, czemu jest równe u,
Dialogue: 0,0:05:03.76,0:05:08.78,Default,,0000,0000,0000,,u jest równe 7x+9. Użyję nowego koloru, żeby złagodzić trochę monotonię.
Dialogue: 0,0:05:08.78,0:05:22.45,Default,,0000,0000,0000,,Czyli będzie to równe 2/21 razy 7x+9 do potęgi 3/2 plus C.
Dialogue: 0,0:05:22.45,0:05:26.48,Default,,0000,0000,0000,,I gotowe! Jesteśmy w stanie wziąć dość brzydko wyglądającą całkę i zdać sobie sprawę
Dialogue: 0,0:05:26.48,0:05:30.48,Default,,0000,0000,0000,,iż, mimo że to nie było od początku tak oczywiste, całkowanie przez podstawienie tutaj działa.