Policzmy całkę nieoznaczoną z pierwiastka kwadratowego z 7x+9 dx.
Moje pierwsze pytanie brzmi: czy to dobry przykład na całkowanie przez podstawienie?
Jeśli tu popatrzycie, możecie pomyśleć, że naturalnym pomysłem będzie oznaczenie jako u 7x+9
ale czy widać gdzieś tu pochodną tego wyrażenia?
Zobaczmy, oznaczamy u jako 7x+9, jaka będzie pochodna u względem x?
Pochodna u względem x to po prostu będzie 7.
Pochodna 7x to 7, pochodna 9 to 0. Czy zatem widzimy gdzieś tu siódemkę?
Cóż, niezbyt. Ale co moglibyśmy zrobić, żeby siódemka się pojawiła, ale wartość całki się nie zmieniła?
Cóż, fajną rzeczą - i widywaną wiele razy, kiedy liczymy całki
liczby mogą bardzo łatwo wchodzić lub wychodzić spod całki.
Przypominam, że jeśli mamy całkę z
powiedzmy jakiaś liczba a razy jakaś funkcja f(x) dx, to jest to samo co
a razy całka z f(x)dx. Całka z liczby razy funkcja jest równe
liczba razy całka z funkcji. Zostawię to tu z boku.
Wiedząc to, czy możemy przez coś pomnożyć i podzielić, żeby pokazało się 7?
Cóż, możemy pomnożyć i podzielić przez 7. Wyobraźcie to sobie teraz. Przepiszmy naszą wyjściową całkę
narysuję strzałkę, żeby nie wchodzić na to, co już napisałem.
Możemy przepisać naszą wyjściową całkę jako równą całce
z 1/7 razy 7 razy pierwiastek z 7x+9 dx
I jeśli chcemy, możemy wyciągnąć 1/7 przed całkę
nie musimy, ale możemy to przepisać jako
1/7 razy całka z 7 razy pierwiastek kwadratowy z 7x+9 dx.
Zatem, gdybyśmy powiedzieli "u jest równe 7x+9", czy widać gdzieś tu jego pochodną?
Pewnie! 7 jest tutaj. Wiemy, że du, jeśli chcemy to zapisać w formie różniczkowej
du jest równe 7 razy dx. Czyli du jest równe 7 dx. Ta część tutaj jest równa du
i widzimy gdzie jest nasze u, będzie to po prostu 7x+9.
To jest nasze u. Przepiszmy więc naszą całkę jako wyrażenie od u.
Będzie ona równa 1/7 razy całka z
i przerzucę 7 na koniec, żebyśmy mogli po prostu napisać
pierwiastek z u du. 7 razy dx to du.
I, jeśli chcemy, możemy to przepisać jako u do potęgi 1/2, łatwiej nam wtedy zobaczyć
że tak naprawdę całkujemy funkcję potęgową, co umiemy robić. Przepisujemy to zatem
1/7 razy całka z u do potęgi 1/2 du. I postaram się teraz wyjaśnić.
To u mogłem napisać na biało. Chcę ten sam kolor du, bo jest to to samo du, co tutaj.
Więc, jaka jest całka z u do potęgi 1/2?
Cóż, zwiększamy wykładnik o 1, więc będzie to równe
i nie mogę zapomnieć o 1/7 na początku.
Czyli będzie to 1/7 razy, jeśli zwiększymy wykładnik o 1, będzie to równe
u do potęgi 3/2 (1/2 plus 1 to półtora, czyli 3/2) i musimy pomnożyć to nowe wyrażenie przez odwrotność 3/2
czyli 2/3. I zachęcam was, byście sprawdzili, że pochodna 2/3 razy u do 3/2 to istotnie u do potęgi 1/2.
Mamy już to i skoro mnożymy to wszystko przez 1/7
możemy tu jeszcze dorzucić plus C, które może być pewną stałą
i jeśli chcemy, możemy pomnożyć nawias przez 1/7. Dostaniemy wtedy 1/7 razy 2/3 to 2/21 razy u^(3/2)
i 1/7 razy stała, co da nam po prostu jakąś inną stałą
mogę zatem napisać tu stałą. Tamtą mogę nazwać C1, zaś tą mogę nazwać C2
ale tak naprawdę to po prostu jakaś stała. I gotowe, och, właściwie to jeszcze nie.
Mamy odpowiedź, ale jako wyrażenie od u. Musimy jeszcze odwrócić podstawienie.
Będzie to zatem 2/21 razy u do (3/2), a wiemy, czemu jest równe u,
u jest równe 7x+9. Użyję nowego koloru, żeby złagodzić trochę monotonię.
Czyli będzie to równe 2/21 razy 7x+9 do potęgi 3/2 plus C.
I gotowe! Jesteśmy w stanie wziąć dość brzydko wyglądającą całkę i zdać sobie sprawę
iż, mimo że to nie było od początku tak oczywiste, całkowanie przez podstawienie tutaj działa.