1
00:00:00,000 --> 00:00:07,917
Policzmy całkę nieoznaczoną z pierwiastka kwadratowego z 7x+9 dx.

2
00:00:07,917 --> 00:00:14,166
Moje pierwsze pytanie brzmi: czy to dobry przykład na całkowanie przez podstawienie?

3
00:00:14,166 --> 00:00:21,002
Jeśli tu popatrzycie, możecie pomyśleć, że naturalnym pomysłem będzie oznaczenie jako u 7x+9

4
00:00:21,002 --> 00:00:24,671
ale czy widać gdzieś tu pochodną tego wyrażenia?

5
00:00:24,671 --> 00:00:33,504
Zobaczmy, oznaczamy u jako 7x+9, jaka będzie pochodna u względem x?

6
00:00:33,504 --> 00:00:37,219
Pochodna u względem x to po prostu będzie 7.

7
00:00:37,219 --> 00:00:44,001
Pochodna 7x to 7, pochodna 9 to 0. Czy zatem widzimy gdzieś tu siódemkę?

8
00:00:44,001 --> 00:00:53,482
Cóż, niezbyt. Ale co moglibyśmy zrobić, żeby siódemka się pojawiła, ale wartość całki się nie zmieniła?

9
00:00:53,482 --> 00:00:57,250
Cóż, fajną rzeczą - i widywaną wiele razy, kiedy liczymy całki

10
00:00:57,250 --> 00:01:01,336
liczby mogą bardzo łatwo wchodzić lub wychodzić spod całki.

11
00:01:01,336 --> 00:01:05,648
Przypominam, że jeśli mamy całkę z

12
00:01:05,648 --> 00:01:12,585
powiedzmy jakiaś liczba a razy jakaś funkcja f(x) dx, to jest to samo co

13
00:01:12,585 --> 00:01:20,085
a razy całka z f(x)dx. Całka z liczby razy funkcja jest równe

14
00:01:20,085 --> 00:01:25,182
liczba razy całka z funkcji. Zostawię to tu z boku.

15
00:01:25,182 --> 00:01:31,372
Wiedząc to, czy możemy przez coś pomnożyć i podzielić, żeby pokazało się 7?

16
00:01:31,372 --> 00:01:39,578
Cóż, możemy pomnożyć i podzielić przez 7. Wyobraźcie to sobie teraz. Przepiszmy naszą wyjściową całkę

17
00:01:39,578 --> 00:01:42,578
narysuję strzałkę, żeby nie wchodzić na to, co już napisałem.

18
00:01:42,578 --> 00:01:46,224
Możemy przepisać naszą wyjściową całkę jako równą całce

19
00:01:46,224 --> 00:01:57,976
z 1/7 razy 7 razy pierwiastek z 7x+9 dx

20
00:01:57,976 --> 00:02:01,312
I jeśli chcemy, możemy wyciągnąć 1/7 przed całkę

21
00:02:01,312 --> 00:02:03,105
nie musimy, ale możemy to przepisać jako

22
00:02:03,105 --> 00:02:12,180
1/7 razy całka z 7 razy pierwiastek kwadratowy z 7x+9 dx.

23
00:02:12,180 --> 00:02:16,981
Zatem, gdybyśmy powiedzieli "u jest równe 7x+9", czy widać gdzieś tu jego pochodną?

24
00:02:16,981 --> 00:02:23,114
Pewnie! 7 jest tutaj. Wiemy, że du, jeśli chcemy to zapisać w formie różniczkowej

25
00:02:23,114 --> 00:02:35,849
du jest równe 7 razy dx. Czyli du jest równe 7 dx. Ta część tutaj jest równa du

26
00:02:35,849 --> 00:02:40,180
i widzimy gdzie jest nasze u, będzie to po prostu 7x+9.

27
00:02:40,180 --> 00:02:45,504
To jest nasze u. Przepiszmy więc naszą całkę jako wyrażenie od u.

28
00:02:45,504 --> 00:02:53,191
Będzie ona równa 1/7 razy całka z

29
00:02:53,191 --> 00:02:56,270
i przerzucę 7 na koniec, żebyśmy mogli po prostu napisać

30
00:02:56,283 --> 00:03:05,912
pierwiastek z u du. 7 razy dx to du.

31
00:03:05,963 --> 00:03:11,316
I, jeśli chcemy, możemy to przepisać jako u do potęgi 1/2, łatwiej nam wtedy zobaczyć

32
00:03:11,316 --> 00:03:16,879
że tak naprawdę całkujemy funkcję potęgową, co umiemy robić. Przepisujemy to zatem

33
00:03:16,879 --> 00:03:25,030
1/7 razy całka z u do potęgi 1/2 du. I postaram się teraz wyjaśnić.

34
00:03:25,030 --> 00:03:30,952
To u mogłem napisać na biało. Chcę ten sam kolor du, bo jest to to samo du, co tutaj.

35
00:03:30,952 --> 00:03:35,641
Więc, jaka jest całka z u do potęgi 1/2?

36
00:03:35,641 --> 00:03:40,581
Cóż, zwiększamy wykładnik o 1, więc będzie to równe

37
00:03:40,581 --> 00:03:43,237
i nie mogę zapomnieć o 1/7 na początku.

38
00:03:43,237 --> 00:03:49,462
Czyli będzie to 1/7 razy, jeśli zwiększymy wykładnik o 1, będzie to równe

39
00:03:49,462 --> 00:04:06,318
u do potęgi 3/2 (1/2 plus 1 to półtora, czyli 3/2) i musimy pomnożyć to nowe wyrażenie przez odwrotność 3/2

40
00:04:06,318 --> 00:04:14,835
czyli 2/3. I zachęcam was, byście sprawdzili, że pochodna 2/3 razy u do 3/2 to istotnie u do potęgi 1/2.

41
00:04:14,835 --> 00:04:19,380
Mamy już to i skoro mnożymy to wszystko przez 1/7

42
00:04:19,380 --> 00:04:23,350
możemy tu jeszcze dorzucić plus C, które może być pewną stałą

43
00:04:23,350 --> 00:04:36,130
i jeśli chcemy, możemy pomnożyć nawias przez 1/7. Dostaniemy wtedy 1/7 razy 2/3 to 2/21 razy u^(3/2)

44
00:04:36,130 --> 00:04:40,243
i 1/7 razy stała, co da nam po prostu jakąś inną stałą

45
00:04:40,243 --> 00:04:44,539
mogę zatem napisać tu stałą. Tamtą mogę nazwać C1, zaś tą mogę nazwać C2

46
00:04:44,539 --> 00:04:48,972
ale tak naprawdę to po prostu jakaś stała. I gotowe, och, właściwie to jeszcze nie.

47
00:04:48,972 --> 00:04:54,789
Mamy odpowiedź, ale jako wyrażenie od u. Musimy jeszcze odwrócić podstawienie.

48
00:04:54,789 --> 00:05:03,760
Będzie to zatem 2/21 razy u do (3/2), a wiemy, czemu jest równe u,

49
00:05:03,760 --> 00:05:08,779
u jest równe 7x+9. Użyję nowego koloru, żeby złagodzić trochę monotonię.

50
00:05:08,779 --> 00:05:22,453
Czyli będzie to równe 2/21 razy 7x+9 do potęgi 3/2 plus C.

51
00:05:22,453 --> 00:05:26,478
I gotowe! Jesteśmy w stanie wziąć dość brzydko wyglądającą całkę i zdać sobie sprawę

52
00:05:26,478 --> 00:05:30,478
iż, mimo że to nie było od początku tak oczywiste, całkowanie przez podstawienie tutaj działa.