0:00:00.000,0:00:07.917
Policzmy całkę nieoznaczoną z pierwiastka kwadratowego z 7x+9 dx.

0:00:07.917,0:00:14.166
Moje pierwsze pytanie brzmi: czy to dobry przykład na całkowanie przez podstawienie?

0:00:14.166,0:00:21.002
Jeśli tu popatrzycie, możecie pomyśleć, że naturalnym pomysłem będzie oznaczenie jako u 7x+9

0:00:21.002,0:00:24.671
ale czy widać gdzieś tu pochodną tego wyrażenia?

0:00:24.671,0:00:33.504
Zobaczmy, oznaczamy u jako 7x+9, jaka będzie pochodna u względem x?

0:00:33.504,0:00:37.219
Pochodna u względem x to po prostu będzie 7.

0:00:37.219,0:00:44.001
Pochodna 7x to 7, pochodna 9 to 0. Czy zatem widzimy gdzieś tu siódemkę?

0:00:44.001,0:00:53.482
Cóż, niezbyt. Ale co moglibyśmy zrobić, żeby siódemka się pojawiła, ale wartość całki się nie zmieniła?

0:00:53.482,0:00:57.250
Cóż, fajną rzeczą - i widywaną wiele razy, kiedy liczymy całki

0:00:57.250,0:01:01.336
liczby mogą bardzo łatwo wchodzić lub wychodzić spod całki.

0:01:01.336,0:01:05.648
Przypominam, że jeśli mamy całkę z

0:01:05.648,0:01:12.585
powiedzmy jakiaś liczba a razy jakaś funkcja f(x) dx, to jest to samo co

0:01:12.585,0:01:20.085
a razy całka z f(x)dx. Całka z liczby razy funkcja jest równe

0:01:20.085,0:01:25.182
liczba razy całka z funkcji. Zostawię to tu z boku.

0:01:25.182,0:01:31.372
Wiedząc to, czy możemy przez coś pomnożyć i podzielić, żeby pokazało się 7?

0:01:31.372,0:01:39.578
Cóż, możemy pomnożyć i podzielić przez 7. Wyobraźcie to sobie teraz. Przepiszmy naszą wyjściową całkę

0:01:39.578,0:01:42.578
narysuję strzałkę, żeby nie wchodzić na to, co już napisałem.

0:01:42.578,0:01:46.224
Możemy przepisać naszą wyjściową całkę jako równą całce

0:01:46.224,0:01:57.976
z 1/7 razy 7 razy pierwiastek z 7x+9 dx

0:01:57.976,0:02:01.312
I jeśli chcemy, możemy wyciągnąć 1/7 przed całkę

0:02:01.312,0:02:03.105
nie musimy, ale możemy to przepisać jako

0:02:03.105,0:02:12.180
1/7 razy całka z 7 razy pierwiastek kwadratowy z 7x+9 dx.

0:02:12.180,0:02:16.981
Zatem, gdybyśmy powiedzieli "u jest równe 7x+9", czy widać gdzieś tu jego pochodną?

0:02:16.981,0:02:23.114
Pewnie! 7 jest tutaj. Wiemy, że du, jeśli chcemy to zapisać w formie różniczkowej

0:02:23.114,0:02:35.849
du jest równe 7 razy dx. Czyli du jest równe 7 dx. Ta część tutaj jest równa du

0:02:35.849,0:02:40.180
i widzimy gdzie jest nasze u, będzie to po prostu 7x+9.

0:02:40.180,0:02:45.504
To jest nasze u. Przepiszmy więc naszą całkę jako wyrażenie od u.

0:02:45.504,0:02:53.191
Będzie ona równa 1/7 razy całka z

0:02:53.191,0:02:56.270
i przerzucę 7 na koniec, żebyśmy mogli po prostu napisać

0:02:56.283,0:03:05.912
pierwiastek z u du. 7 razy dx to du.

0:03:05.963,0:03:11.316
I, jeśli chcemy, możemy to przepisać jako u do potęgi 1/2, łatwiej nam wtedy zobaczyć

0:03:11.316,0:03:16.879
że tak naprawdę całkujemy funkcję potęgową, co umiemy robić. Przepisujemy to zatem

0:03:16.879,0:03:25.030
1/7 razy całka z u do potęgi 1/2 du. I postaram się teraz wyjaśnić.

0:03:25.030,0:03:30.952
To u mogłem napisać na biało. Chcę ten sam kolor du, bo jest to to samo du, co tutaj.

0:03:30.952,0:03:35.641
Więc, jaka jest całka z u do potęgi 1/2?

0:03:35.641,0:03:40.581
Cóż, zwiększamy wykładnik o 1, więc będzie to równe

0:03:40.581,0:03:43.237
i nie mogę zapomnieć o 1/7 na początku.

0:03:43.237,0:03:49.462
Czyli będzie to 1/7 razy, jeśli zwiększymy wykładnik o 1, będzie to równe

0:03:49.462,0:04:06.318
u do potęgi 3/2 (1/2 plus 1 to półtora, czyli 3/2) i musimy pomnożyć to nowe wyrażenie przez odwrotność 3/2

0:04:06.318,0:04:14.835
czyli 2/3. I zachęcam was, byście sprawdzili, że pochodna 2/3 razy u do 3/2 to istotnie u do potęgi 1/2.

0:04:14.835,0:04:19.380
Mamy już to i skoro mnożymy to wszystko przez 1/7

0:04:19.380,0:04:23.350
możemy tu jeszcze dorzucić plus C, które może być pewną stałą

0:04:23.350,0:04:36.130
i jeśli chcemy, możemy pomnożyć nawias przez 1/7. Dostaniemy wtedy 1/7 razy 2/3 to 2/21 razy u^(3/2)

0:04:36.130,0:04:40.243
i 1/7 razy stała, co da nam po prostu jakąś inną stałą

0:04:40.243,0:04:44.539
mogę zatem napisać tu stałą. Tamtą mogę nazwać C1, zaś tą mogę nazwać C2

0:04:44.539,0:04:48.972
ale tak naprawdę to po prostu jakaś stała. I gotowe, och, właściwie to jeszcze nie.

0:04:48.972,0:04:54.789
Mamy odpowiedź, ale jako wyrażenie od u. Musimy jeszcze odwrócić podstawienie.

0:04:54.789,0:05:03.760
Będzie to zatem 2/21 razy u do (3/2), a wiemy, czemu jest równe u,

0:05:03.760,0:05:08.779
u jest równe 7x+9. Użyję nowego koloru, żeby złagodzić trochę monotonię.

0:05:08.779,0:05:22.453
Czyli będzie to równe 2/21 razy 7x+9 do potęgi 3/2 plus C.

0:05:22.453,0:05:26.478
I gotowe! Jesteśmy w stanie wziąć dość brzydko wyglądającą całkę i zdać sobie sprawę

0:05:26.478,0:05:30.478
iż, mimo że to nie było od początku tak oczywiste, całkowanie przez podstawienie tutaj działa.