ในวิดีโอที่แล้ว เราเริ่มสำรวจแนวคิดเรื่อง
ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

อย่าสับสนกับค่าคาดหมายล่ะ

เพราะมันใช้สัญลักษณ์เดียวกัน

ตรงนี้ E คือความคลาดเคลื่อน

และเรายังคิดว่า

บางครั้ง มันเรียกว่าฟังก์ชันเศษเหลือ

และเราเห็นว่ามันก็แค่ผลต่าง

ผลต่างระหว่างฟังก์ชันกับค่าประมาณฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น ระยะนี่ตรงนี้ตรงนี้ 
นี่คือค่าคลาดเคลื่อน

นั่นคือค่าคลาดเคลื่อนที่ x เท่ากับ b

และสิ่งที่เราสนใจคือค่าสัมบูรณ์ของมัน

เพราะสักแห่งหนึ่ง f ของ x 
อาจมากกว่าพหุนาม

บางครั้ง พหุนามตรงนี้อาจมากกว่า f ของ x

สิ่งที่เราสนใจคือระยะสัมบูรณ์ระหว่างพวกมัน

และสิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ

พยายามหาขอบเขต พยายามหาขอบเขต
ของความคลาดเคลื่อนที่ b

หาขอบเขตค่าคลาดเคลื่อน

ว่ามันน้อยกว่าเท่ากับค่าคงที่ค่าหนึ่ง

พยายามหาขอบเขตที่ b สำหรับ b มากกว่า a

เราจะสมมุติว่า b มากกว่า a

และเราเห็นผลเย้ายวน เราได้ผลลัพธ์

ที่ดูเย้ายวน ว่าเราจะหาขอบเขตมันได้
ในวิดีโอที่แล้ว

เราเห็นว่าอนุพันธ์อันดับ n บวก 1 
ของความคลาดเคลื่อน

เท่ากับอนุพันธ์อันดับที่ n บวก 1 
ของฟังก์ชันเรา

หรือค่าสัมบูรณ์ของพวกมัน

ถ้าเราหาขอบอนุพันธ์อันดับ n บวก 1

ของฟังก์ชันเราบนช่วงได้ ช่วงที่เราสนใจ

ช่วงที่อาจมี b ในนั้น

แล้วอย่างน้อย เราก็หาขอบอนุพันธ์อันดับ n บวก 1
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อนได้

แล้ว เราอาจใช้การอินทิเกรต

เพื่อหาขอบเขตค่าคลาดเคลื่อนที่ค่า b ได้

ลองดูว่าเราทำได้ไหม

ลองสมมุติ ลองสมมุติว่าเราอยู่ในโลกที่

เรารู้อะไรบางอย่างเกี่ยวกับอนุพันธ์
อันดับ n บวก 1 ของ f ของ x

สมมุติว่าเรารู้ว่าตัวนี้

เราใช้สีที่ผมยังไม่ได้ใช้

ผมจะใช้สีขาวนะ

สมมุติว่าตัวนี่ตรงนี้เป็นแบบนั้น

นั่นคือ f อนุพันธ์อันดับ n บวก 1

อนุพันธ์อันดับ n บวก 1

และผมสนใจแค่ช่วงนี่ตรงนี้

ใครจะสนเทอมอื่น ผมแค่หาขอบบนช่วง

เพราะสุดท้าย ผมอยากได้ค่า b ตรงนี้

สมมุติว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวนี้

สมมุติว่าเรารู้

ขอผมเขียนมันตรงนี้นะ สมมุติว่าเรารู้

เรารู้ว่าค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์อันดับ n บวก 1
อันดับ n บวก 1

โทษที ผมเปลี่ยนไปมาระหว่าง N ใหญ่

กับ n เล็ก ผมทำอย่างนั้นไปในวิดีโอก่อน

ผมไม่ควรทำ แต่ตอนนี้คุณรู้แล้ว

ผมเผลอทำไป หวังว่าคุณคงไม่งงแล้วนะ

n บวก 1, แล้วสมมุติว่าเรารู้
อนุพันธ์อันดับ n บวก 1

ของ f ของ x, ค่าสัมบูรณ์ของมัน 
สมมุติว่ามันมีขอบเขต

สมมุติว่ามันน้อยกว่าเท่ากับ M

บนช่วงนั้น เพราะเราสนใจเฉพาะช่วงนั้น

มันอาจไม่มีขอบเขตโดยทั่วไป แต่ที่เรา

สนใจคือมันมีค่าสูงสุดในช่วงนี้

บนช่วง x ผมเขียนแบบนี้ได้

บนช่วง x เป็นสมาชิกระหว่าง a กับ b
มันจึงรวมสองตัวนี้ด้วย

มันเป็นช่วงปิด x เป็น a ได้

x เป็น b ได้ หรือ x เป็นอะไรตรงกลางก็ได้

และเราบอกได้ว่า โดยทั่วไป

อนุพันธ์นี้จะมีค่าสูงสุด

นี่คือ ค่าสัมบูรณ์ ค่าสูงสุด ค่าสูงสุด 
M แทน max

เรารู้ว่ามันจะมีค่าสูงสุด ถ้าตัวนี้ต่อเนื่อง

ย้ำอีกครั้ง เราจะสมมุติว่ามันต่อเนื่อง

และมันมีค่าสูงสุดบนช่วงนี่ตรงนี้

พจน์นี้ พจน์นี่ตรงนี้ เรารู้ว่า

เท่ากับอนุพันธ์อันดับ n บวก 1 
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

แล้วเรารู้ว่า จากนั้น มันสื่อว่า มันสื่อว่า

มันสื่อวา ใช้สีใหม่นะ 
ขอผมใช้สีฟ้า หรือสีเขียวนั่น

มันสื่อว่า อนุพันธ์อันดับ n บวก 1 
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

ค่าสัมบูรณ์ของมัน เนื่องจาก

มันเท่ากัน มันจะมีขอบเขตเป็น M

นั่นเป็นผลที่น่าสนใจ แต่มันไม่ได้พาเราไปไหน

มันอาจดูคล้ายกัน แต่นี่คืออนุพันธ์อันดับ n บวก 1
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

และ เราะจต้องคิดว่าเราหา M ได้อย่างไรต่อไป

เราสมมุติว่าเรารู้ค่ามันและ

เราจะทำตัวอย่างที่เราหาค่ามันจริงๆ

แต่นี่คืออนุพันธ์อันดับ n บวก 1

เราให้ขอบเขตค่าสัมบูรณ์ของมัน แต่เรา

อยากได้ขอบเขตค่าฟังก์ชันคลาดเคลื่อนจริงๆ

อนุพันธ์อันดับ 0 ก็คือตัวฟังก์ชันเอง

สิ่งที่เราลองทำได้ 
คืออินทิเกรตทั้งสองข้างแล้วดู

ว่าเราได้ E, ได้ E ของ x ไหม

ลองนำฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน หรือ
ฟังก์ชันเศษเหลือมาลองทำดู

ลองหาอินทิกรัล ลองหาอินทิกรัลทั้งสองข้างนี้

ทีนี้ อินทิกรัลทางซ้ายมือ มันน่าสนใจนิดหน่อย

เราหาอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์

มันจะง่ายว่าถ้าเราหาค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัล

โชคดี วิธีที่มันเป็น

ขอผมเขียนไว้ข้างๆ นะ

เรารู้โดยทั่วไปว่า ถ้าผมหา --
คุณควรลองคิดดู

ถ้าผมหา ถ้าผมมีตัวเลือกสองอย่าง ถ้าผมมี

ตัวเลือกสองย่าง อันนี้กับ 
ไม่รู้สิ พวกมันดูเหมือนกัน

ผมรู้ว่ามันดูเหมือนกันตอนนี้

ตรงนี้ ผมจะมีอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์

และตรงนี้ ผมจะมีค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัล

ตัวไหนจะ ตัวไหนจะมากกว่า?

คุณแค่ต้องคิดถึงกรณีต่างๆ

ถ้า f ของ x เป็นบวกบนช่วงที่

คุณอินทิเกรต พวกมันจะเท่ากัน

คุณจะได้ค่าบวก

หาค่าสัมบูรณ์ของค่าบวก

มันไม่ต่างกัน

มันจะต่างถ้า f ของ x เป็นลบ

ถ้า f ของ x, ถ้า f ของ x เป็นลบ

ตลอดเวลา แล้วถ้าแกน x ของเรา นั่นคือแกน y

ถ้า f ของ x เราเห็นว่าถ้ามันเป็นบวก

ตลอดเวลา คุณจะหาค่าสัมบูรณ์ของค่าบวก
ค่าสัมบูรณ์ของค่าบวก

มันจะไม่สำคัญ

สองตัวนี้จะเท่ากัน

ถ้า f ของ x เป็นลบตลอดเวลา แล้วคุณจะ

ได้ อินทิกรัลนี้จะหาค่าได้ค่าลบ

แล้วคุณหาค่าสัมบูรณ์ของมัน

แล้วตรงนี้ คุณจะได้ นี่คือ อินทิกรัลจะ

มีค่าบวก และมันยังเท่าเดิม

กรณีที่น่าสนใจคือเมื่อ f ของ x

มีทั้งบวกและลบ คุณนึกภาพกรณีแบบนี้ได้

ถ้า f ของ x เป็นแบบนั้น แล้ว

ค่านี่ตรงนี้ อินทิกรัล คุณจะได้บวก

อันนี้จะเป็นบวก แล้วอันนี้จะเป็นลบตรงนี้

แล้วพวกมันก็หักล้างกัน

อันนี้มีค่าน้อยลงกว่า

ถ้าคุณหาอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์

อินทิกรัล ค่าสัมบูรณ์ของ f จะเป็นแบบนี้

พื้นที่ทั้งหมดจะเป็น ถ้าคุณมอง

อินทิกรัล ถ้าคุณมองอันนี้ มันจะ

เป็นอินทิกรัลจำกัดเขตแน่นอน

พื้นที่ทั้งหมด พื้นที่ทั้งหมดจะเป็นบวก

คุณก็จะ คุณจะได้

ค่ามากกว่า ตอนคุณหาอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์

คุณจะได้ค่ามากกว่า ยิ่งถ้า f ของ x

มีค่าทั้งบวกและลบบนช่วง

เทียบกับตอนที่คุณหาอินทิกรัลก่อน
แล้วค่อยหาค่าสัมบูรณ์

เพราะ ย้ำอีกที ถ้าคุณหาอินทิกรัลก่อน 
สำหรับฟังก์ชันแบบนี้

คุณจะได้ค่าน้อยลงเพราะตัวนี้จะหักล้าง

จะหักล้างกับตัวนี่ตรงนี้ แล้วคุณ

หาค่าสัมบูรณ์ของค่าน้อย 
จำนวนที่มีขนาดน้อยลง

และโดยทั่วไป อินทิกรัล

อินทิกรัล โทษที ค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัล

จะน้อยกว่าเท่ากับอินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์

เราจึงบอกได้ว่า ค่านี่ตรงนี้คืออินทิกรัลของ

ค่าสัมบูรณ์ ซึ่งมากกว่าเท่ากับ

สิ่งที่เราเขียนตรงนี้ก็แค่ตัวนี้

มันจะมากกว่าเท่ากับ และคุณจะเห็น

ว่าทำไมผมถึงทำอันนี้เร็วๆ นี้

มากกว่าเท่ากับค่าสัมบูรณ์ ค่าสัมบูรณ์

ของอินทิกรัลของ ของอนุพันธ์อันดับ n บวก 1

อนุพันธ์อันดับ n บวก 1 ของ x, dx

สาเหตุที่มันมีประโยชน์ คือว่า เรายังเก็บ

อสมการนั้นไว้ได้ น้อยกว่าเท่ากับค่านี้

แต่ตอนนี้ มันเป็นอินทิกรัลที่หาค่าได้ตรงๆ แล้ว

ปฏิยานุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ n บวก 1

จะเท่ากับอนุพันธ์อันดับที่ n

ตัวนี้ ตรงนี้

จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n

ค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n 
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

ผมพูดว่าค่าคาดหมายไปหรือเปล่า?

ผมไม่ควรพูดนะ

เห็นไหม ผมยังงงเลย

นี่คือฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

ผมควรใช้ R, R แทน remainder เศษเหลือ

แต่นี่ก็คือค่าคลาดเคลื่อน

ไม่เกี่ยวกับความน่าจะเป็น 
หรือค่าคาดหมายในวิดีโอนี้

นี่คือ

E แทนค่าคลาดเคลื่อน

เอาล่ะ มันจะเท่ากับ อนุพันธ์อันดับที่ n ของ

ฟังก์ชันคลาดเคลื่อน ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับค่านี้

ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับปฏิยานุพันธ์ของ M

นั่นคือค่าคงที่

มันจะเท่ากับ Mx, Mx

เพราะเราหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

เราอย่าลืมว่าเรามีค่าคงที่ตรงนี้

และโดยทั่วไป เวลาคุณพยายามหาขอบบน

คุณอยากให้มันเป็นขอบบน
ที่น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้

เราอยากให้ค่าน้อยที่สุด เราอยากให้
ค่าคงที่นี้น้อยที่สุด

โชคดี เรารู้ ว่าฟังก์ชันนี้

คืออะไร ค่าฟังก์ชันนี้เป็นเท่าใดตรงจุดนั้น

เรารู้ว่าอนุพันธ์อันดับ n 
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อนที่ a เท่ากับ 0

ผมว่าผมเขียนมันตรงนี้นะ

อนุพันธ์อันดับ n ที่ a เท่ากับ 0

และนั่นเป็นเพราะอนุพันธ์อันดับ n 
ของฟังก์ชันและ

ค่าประมาณที่ a จะเท่ากันพอดี

แล้ว ถ้าเราหาค่าทั้งสองข้างนี้ที่ a ผมจะ

ทำตรงนี้ข้างๆ เรารู้ค่าสัมบูรณ์นั้น

เรารู้ค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์อันดับ n ที่ a เรารู้

ว่าตัวนี้จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ 0

ซึ่งก็คือ 0

ซึ่งต้องน้อยกว่าเท่ากับ เมื่อคุณหาค่านี้

ที่ a ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ Ma บวก c

แล้วคุณได้ ถ้าคุณดูส่วนนี้

ของอสมการ คุณลบ Ma จากทั้งสองด้าน

คุณจะได้ลบ Ma น้อยกว่าเท่ากับ c

ค่าคงที่ของเราตรงนี้ จากเงื่อนไข

ที่เราได้จากวิดีโอที่แล้ว

ค่าคงที่จะมากกว่าเท่ากับลบ Ma

ถ้าเราอยากให้ค่าคงที่น้อยที่สุด 
ถ้าเราอยากได้ขอบค่าน้อย

ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ 
เราก็เลือก c เท่ากับลบ Ma

นั่นคือ c ที่น้อยที่สุดที่

ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ที่เรารู้ว่าเป็นจริง

เราจะเลือก c ให้เป็นลบ Ma

แล้วเราเขียนทั้งหมดนี้ใหม่ได้เป็น

ค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

อนุพันธ์อันดับ n ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

ไม่ใช่ค่าคาดหมายนะ

ผมสงสัยว่าผมหลุดพูดว่า ค่าคาดหมายไป

แต่นี่คือฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

อนุพันธ์อันดับ n

ค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์อันดับ n ของ
ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

น้อยกว่าเท่ากับ M คูณ x ลบ a

ย้ำอีกครั้ง เงื่อนไขทุกอย่างเป็นจริง

อันนี้สำหรับ อันนี้สำหรับ x 
เป็นส่วนหนึ่งของช่วง

ช่วงปิดระหว่าง ช่วงปิดระหว่าง a กับ b

แต่ดูเหมือนว่าเราจะก้าวหน้าบ้างแล้ว

อย่างน้อยเราไปจากอนุพันธ์อันดับ n บวก 1
เป็นอนุพันธ์อันดับ n

ลองดูว่าเราทำต่อได้ไหม

แนวคิดทั่วไปเหมือนเดิม

ถ้าเรารู้อันนี้ แล้วเรารู้ว่า

เราหาอินทิกรัลทั้งสองข้างได้

เราหาอินทิกรัลทั้งสองข้าง

ปฏิยานุพันธ์ทั้งสองข้างได้

และเรารู้จากสิ่งที่เราไปบนนี้ว่า

มีสิ่งที่น้อยกว่าค่านี่ตรงนี้อีก

ค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลของค่าคาดหมาย

ทีนี้ [หัวเราะ] เห็นไหม ผมบอกแล้ว

ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน ไม่ใช่ค่าคาดหมาย

ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

อนุพันธ์อันดับ n 
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อนของ x

อนุพันธ์อันดับ n ของฟังก์ชัน
ค่าคลาดเคลื่อนของ x dx

เรารู้ว่าค่านี้น้อยกว่าเท่ากับ 
จากเหตุผลเดียวกันตรงนี้

และมันมีประโยชน์ เพราะมันจะเท่ากับ มันก็แค่

อนุพันธ์อันดับ n ลบ 1 
ของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อนของ x

และแน่นอน เรามีค่าสัมบูรณ์ข้างนอกมัน

ตอนนี้ ค่านี้จะน้อยกว่าเท่ากับ

มันน้อยกว่าเท่ากับค่านี้ ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ

ตัวนี้ ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับค่านี่ตรงนี้

ปฏิยานุพันธ์ของค่านี้ตรงนี้จะ

เท่ากับ M คูณ x ลบ a กำลังสองส่วน 2

คุณใช้การแทนที่ u ก็ได้ถ้าต้องการ 
หรือคุณบอกแค่ว่า ดูสิ

ฉันมีพจน์เล็กๆ ตรงนี้ อนุพันธ์ของมันเป็น 1

มันซ่อนอยู่ในนี้ ผมจะคิดว่ามันเป็น u ก็ได้

ยกกำลังค่าหนึ่ง แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังนั้น

เหมือนเดิม ผมกำลังหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

ผมจึงบอกว่าบวก c ตรงนี้

แต่ลองใช้เหตุผลเดียวกัน

ถ้าเราหาค่านี้ที่ a คุณจะได้

ถ้าคุณหาค่านี้ที่ ลองหาค่าทั้งสองนี้ที่ a

ทางซ้ายมือเมื่อหาค่าที่ a เรารู้ว่าจะเป็น 0

เราหาไปแล้ว ข้างบนนี้ ในวิดีโอที่แล้ว

คุณจึงได้ ผมจะทำตรงนี้นะ

คุณได้ 0 แล้วคุณหาค่าซ้ายมือของ a

ทางขวาของ a ถ้าคุณ ทางขวามือของ

ค่า a คุณจะได้ m คูณ a ลบ a กำลังสองส่วน 2

คุณจึงได้ 0 บวก c คุณจะได้ 
0 น้อยกว่าเท่ากับ c

เหมือนเดิม เราทำให้ค่านี้น้อยที่สุด

เราอยากให้ขอบบนตรงนี้น้อยที่สุด

เราอยากเลือกค่า c ที่น้อยที่สุด
ที่เรายังตรงตามเงื่อนไข

ค่า c น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ 
และตรงตามเงื่อนไขของเราคือ 0

แล้วแนวคิดทั่วไปตรงนี้คือว่า เราทำต่อได้

เราทำแบบเดียวกับที่เราทำไปเรื่อยๆ เรื่อยๆ

เราหาอินทิกรัลแบบเดิม แบบเดิมที่เรา

ทำมา และใช้สมบัติเดิมนี่ตรงนี้

จนกระทั่งเราได้ เราได้ขอบเขต
ค่าคลาดเคลื่อนของ x

คุณมองเป็นอนุพันธ์อันดับ 0 ก็ได้

คุณก็รู้ เราจะไปจนถึง

อนุพันธ์อันดับ 0 ซึ่งก็คือ
ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน

ขอบของฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อนของ x จะ

น้อยกว่าเท่ากับ มันจะเป็นเท่าใด?

คุณเห็นรูปแบบตรงนี้แล้ว

มันจะเท่ากับ M คูณ x ลบ a

และเลขยกกำลัง วิธีคิดคือว่า เลขชี้กำลังนี้

บวกอนุพันธ์นี้จะเท่ากับ n บวก 1

ทีนี้ อนุพันธ์นี้เป็น 0 
เลขชี้กำลังนี้จึงเป็น n บวก 1

และไม่ว่าเลขชี้กำลังนี้จะเป็นเท่าใด 
คุณจะได้ ผมควร

ทำอย่างนั้น คุณจะได้ 
n บวก 1 แฟคทอเรียลตรงนี้

แล้วคุณอาจบอกว่า เดี๋ยวก่อน n บวก 1
แฟคทอเรียลนี้มาจากไหน?

ผมมีแค่ 2 ตรงนี้

ลองคิดสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราอินทิเกรตพจน์นี้อีกที

คุณจะยกกำลังค่านี้ด้วย 3 แล้วหารด้วย 3

ตัวส่วนของคุณจึงมี 2 คูณ 3

แล้วเมื่อคุณอินทิเกรตอีกที คุณจะยก

กำลังสี่แล้วหารด้วย 4

แล้วตัวส่วนของคุณจะเป็น 2 คูณ 3 คูณ 4

4 แฟคทอเรียล

ไม่ว่าคุณยกกำลังเท่าไหร่

ตัวส่วนจะเท่ากับเลขกำลังนั้นแฟคทอเรียล

แต่สิ่งที่น่าสนใจจริงๆ ตอนนี้คือว่า ถ้าเรา

หาค่าสูงสุดของฟังก์ชันเราได้

ถ้าเราหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันตรงนี้ได้

ตอนนี้เรามีวิธีจำกัดค่าฟังก์ชันคลาดเคลื่อน

บนช่วงนั้น บนช่วงนั้นระหว่าง a กับ b

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อนที่ b

เราหาขีดจำกัดได้ถ้าเรารู้ว่า M คืออะไร

เราบอกได้ว่า ค่าคลาดเคลื่อนที่ b
จะน้อยกว่าเท่ากับ M คูณ

b ลบ a กำลัง n บวก 1 
ส่วน n บวก 1 แฟคทอเรียล

มันเป็นผลที่ทรงพลังจริงๆ

มีคณิตศาสตร์อยู่เบื้องหลัง

และตอนนี้เราสามารถยกตัวอย่างที่ใช้ผลนี้ได้