1
00:00:00,690 --> 00:00:04,360
В предходното видео започнахме
да разсъждаваме върху функция на грешката.

2
00:00:04,360 --> 00:00:06,120
Това не трябва да се бърка
с очаквана стойност,

3
00:00:06,120 --> 00:00:08,000
макар да се използва същия
начин на записване.

4
00:00:08,000 --> 00:00:09,810
Тук Е означава грешка (error).

5
00:00:09,810 --> 00:00:13,380
Можем също така да го срещнем
и като функция на остатъка.

6
00:00:13,380 --> 00:00:16,750
Всъщност това е просто 
разликата

7
00:00:16,750 --> 00:00:20,440
между функцията и 
апроксимацията на функцията.

8
00:00:20,440 --> 00:00:25,980
Например това разстояние
ето тук, това е нашата грешка.

9
00:00:25,980 --> 00:00:29,680
Това е грешката за x = b.

10
00:00:29,680 --> 00:00:32,340
Като ни интересува абсолютната
стойност на това.

11
00:00:32,340 --> 00:00:35,290
Защото в някои точки f(х) може да е 
по-голяма от стойността на полинома.

12
00:00:35,290 --> 00:00:37,500
А понякога полиномът може
да има по-голяма стойност от функцията.

13
00:00:37,500 --> 00:00:40,860
Интересува ни абсолютното
разстояние между тях.

14
00:00:40,860 --> 00:00:46,620
В това видео искам да опитаме
да намерим граница на грешката

15
00:00:46,620 --> 00:00:48,430
в някаква точка b.

16
00:00:48,430 --> 00:00:49,560
Да намерим граница на грешката.

17
00:00:49,560 --> 00:00:52,640
Да кажем, че е по-малка
или равна на някаква константа.

18
00:00:52,640 --> 00:00:55,840
Да намерим граница в точка b,
като b е по-голямо от а.

19
00:00:55,840 --> 00:00:58,070
Приемаме, че b е по-голямо от а.

20
00:00:58,070 --> 00:01:01,620
Стигнахме до един обещаващ
резултат,

21
00:01:01,620 --> 00:01:04,519
който подсказва, че е 
възможно да намерим граница.

22
00:01:04,519 --> 00:01:07,660
Видяхме, че (n + 1)-та производна
на функцията на грешката

23
00:01:07,660 --> 00:01:12,060
е равна на (n + 1)-та производна
на нашата функция.

24
00:01:12,060 --> 00:01:14,760
Или техните абсолютни стойности
също ще са равни.

25
00:01:14,760 --> 00:01:18,330
Ако можем някак да намерим
граница на (n + 1)-та производна

26
00:01:18,330 --> 00:01:22,240
на функцията в някакъв интервал,
който ни интересува,

27
00:01:22,240 --> 00:01:24,770
интервал, който съдържа b,

28
00:01:24,770 --> 00:01:29,980
тогава ще можем да намерим граница
поне за (n + 1)-та производна на функцията на грешката.

29
00:01:29,980 --> 00:01:31,390
И тогава може би ще можем

30
00:01:31,390 --> 00:01:36,120
да интегрираме, за да намерим границата
на грешката за някаква стойност на b.

31
00:01:36,120 --> 00:01:37,160
Да видим дали можем 
да го направим.

32
00:01:37,160 --> 00:01:40,060
Нека да приемем, че
имаме случай, в който

33
00:01:40,060 --> 00:01:44,300
знаем нещо за (n + 1)-та 
производна на f(х).

34
00:01:44,300 --> 00:01:46,420
Да кажем, че знаем...

35
00:01:46,420 --> 00:01:49,150
Ще използвам цвят,
който не съм използвал досега.

36
00:01:49,150 --> 00:01:50,580
Ще използвам бяло.

37
00:01:50,580 --> 00:01:55,400
Да кажем, че това тук
изглежда ето така.

38
00:01:55,400 --> 00:02:00,500
Това е (n + 1)-та производна на f.

39
00:02:00,500 --> 00:02:03,740
Тя ме интересува само
в този интервал.

40
00:02:03,740 --> 00:02:06,140
Не ме е грижа какво се случва после,
искам границата в този интервал,

41
00:02:06,140 --> 00:02:09,759
защото накрая искам просто
да знам границата за това b.

42
00:02:09,759 --> 00:02:12,750
Да кажем, че това е
абсолютната стойност на това.

43
00:02:12,750 --> 00:02:18,460
Да приемем, че знаем – 
ще го запиша –

44
00:02:19,160 --> 00:02:23,800
знаем абсолютната стойност
на (n + 1)-та производна.

45
00:02:23,800 --> 00:02:28,020
Извинявам се, преминавам от N и n, 
направих го и в миналото видео.

46
00:02:28,120 --> 00:02:29,690
Не трябваше, но 
си признавам и се надявам,

47
00:02:29,690 --> 00:02:32,078
че това не те е объркало.

48
00:02:32,080 --> 00:02:36,400
Да кажем, че знаем
(n + 1)-та производна

49
00:02:36,400 --> 00:02:40,100
на f(х), абсолютната ѝ стойност,
да кажем, че тя има граница.

50
00:02:40,110 --> 00:02:43,010
Да кажем, че е по-малка
или равна на някакво М

51
00:02:43,010 --> 00:02:45,160
в интервала, който
ни интересува.

52
00:02:45,160 --> 00:02:47,540
Може да няма граница по принцип,
но сега

53
00:02:47,540 --> 00:02:50,168
търсим някаква максимална
стойност в този интервал.

54
00:02:50,168 --> 00:02:57,190
В интервала х...
ще го напиша така:

55
00:02:57,190 --> 00:03:04,190
в интервала х принадлежи
между а и b, включително a и b.

56
00:03:04,190 --> 00:03:06,330
Това е затворен интервал,
х може да е а,

57
00:03:06,330 --> 00:03:09,940
може да е b, или х може
да е всяка стойност между тях.

58
00:03:09,940 --> 00:03:11,760
И можем да кажем, че
тази производна принципно

59
00:03:11,760 --> 00:03:15,230
ще има някаква 
максимална стойност.

60
00:03:15,230 --> 00:03:20,060
Това е нейната максимална
стойност, от тук М.

61
00:03:20,060 --> 00:03:23,980
Знаем, че ще има максимална стойност, 
ако функцията е непрекъсната.

62
00:03:23,980 --> 00:03:26,620
Отново, ще приемем, 
че е непрекъсната,

63
00:03:26,620 --> 00:03:30,710
и че има максимална стойност
в този интервал тук.

64
00:03:30,710 --> 00:03:34,796
Това тук, знаем, че това
е равно на

65
00:03:34,796 --> 00:03:38,978
(n + 1)-та производна 
на функцията на грешката.

66
00:03:38,980 --> 00:03:48,800
Знаем, че това означава, че...

67
00:03:48,800 --> 00:03:51,980
това е нов цвят, ще използвам синьо,
или това зелено.

68
00:03:51,980 --> 00:03:58,720
Това предполага, че (n + 1)-та производна на функцията на грешката,

69
00:03:58,720 --> 00:04:00,270
абсолютната стойност, защото

70
00:04:00,270 --> 00:04:04,570
те са едно и също, също
има граница М.

71
00:04:04,570 --> 00:04:07,500
Това е доста интересен резултат,
но все пак не стигаме доникъде.

72
00:04:07,500 --> 00:04:11,450
Изглежда подобно, но това е
(n + 1)-та производна на функцията на грешката.

73
00:04:11,450 --> 00:04:14,000
Трябва да измислим как
да намерим М след това.

74
00:04:14,000 --> 00:04:16,140
Да допуснем, че някак си
знаем, и може би

75
00:04:16,140 --> 00:04:18,589
можем да решим някакви
примери, за да я намерим.

76
00:04:18,589 --> 00:04:20,160
Но това е (М + 1)-та производна.

77
00:04:20,160 --> 00:04:21,750
Ограничихме абсолютната
ѝ стойност, но

78
00:04:21,750 --> 00:04:24,210
всъщност искаме да ограничим 
действителната функция на грешката.

79
00:04:24,210 --> 00:04:27,710
Производната е 0, можем
да кажем, че е самата функция.

80
00:04:27,710 --> 00:04:31,380
А ако опитаме да интегрираме
двете страни на това и да видим

81
00:04:31,380 --> 00:04:34,960
дали евентуално няма 
да получим Е(х).

82
00:04:34,960 --> 00:04:38,095
Да получим нашата функция на грешката или функция на остатъка, хайде да видим.

83
00:04:38,095 --> 00:04:44,050
Да интегрираме двете
страни на това.

84
00:04:44,050 --> 00:04:46,290
Интеграл от лявата страна,
това е интересно.

85
00:04:46,290 --> 00:04:47,930
Взимаме интеграл
от абсолютната стойност.

86
00:04:47,930 --> 00:04:51,570
Ще е по-лесно, ако вземем
абсолютната стойност на интеграла.

87
00:04:51,570 --> 00:04:54,220
За наш късмет, по начинът,
по който е съставен –

88
00:04:54,220 --> 00:04:56,480
ще го напиша тук отстрани.

89
00:04:56,480 --> 00:04:59,369
Принципно знаем, че ако вземем...
това е нещо, за което да помислиш.

90
00:04:59,369 --> 00:05:04,420
Ако взема – като тук
имам два варианта,

91
00:05:04,420 --> 00:05:10,360
този вариант спрямо този, и знам, че 
те в момента изглеждат еднакви.

92
00:05:10,520 --> 00:05:12,860
В този момент изглеждат
еднакви.

93
00:05:12,870 --> 00:05:15,810
Ето тук ще взема интеграл
от абсолютната стойност

94
00:05:15,810 --> 00:05:19,690
а тук ще взема абсолютната
стойност на интеграла.

95
00:05:19,690 --> 00:05:24,310
Кое от двете ще е по-голямо?

96
00:05:24,310 --> 00:05:26,790
Да разгледаме сценариите.

97
00:05:26,790 --> 00:05:30,170
Ако f(х) е винаги положителна
в интервала

98
00:05:30,170 --> 00:05:33,470
на интегриране, тогава
те ще са равни.

99
00:05:33,470 --> 00:05:34,990
Те ще имат положителни 
стойности,

100
00:05:34,990 --> 00:05:36,760
абсолютните стойности на
положителни стойности

101
00:05:36,760 --> 00:05:38,260
са същите като тях.

102
00:05:38,260 --> 00:05:40,990
Това има значение,
когато f(х) е отрицателна.

103
00:05:40,990 --> 00:05:44,660
Ако f(х) е отрицателна
през цялото време,

104
00:05:44,660 --> 00:05:48,170
ако това е оста х ,
това е оста у.

105
00:05:48,170 --> 00:05:51,070
Ако f(х), да видим, ако
е положителна през цялото време,

106
00:05:51,070 --> 00:05:55,310
взимаме абсолютната
стойност на нещо положително.

107
00:05:55,310 --> 00:05:57,680
Това няма значение,
тези двете са равни.

108
00:05:57,860 --> 00:06:00,800
Ако f(х) е отрицателна
през цялото време, тогава

109
00:06:00,800 --> 00:06:04,920
интегралът ще оценява
отрицателна стойност.

110
00:06:04,920 --> 00:06:07,440
Но тогава ще вземем
абсолютната стойност от него.

111
00:06:07,440 --> 00:06:10,090
И тогава тук интегралът ще има

112
00:06:10,090 --> 00:06:12,820
положителна стойност, и отново
ще бъдат равни.

113
00:06:12,820 --> 00:06:15,300
Интересният случай е,
когато f(х) е едновременно

114
00:06:15,300 --> 00:06:18,970
и положителна, и отрицателна,
можеш да си представиш това.

115
00:06:18,970 --> 00:06:22,580
Ако f(х) е нещо такова, тогава

116
00:06:22,580 --> 00:06:25,580
това тук, интегралът,
ще бъде положителен.

117
00:06:25,580 --> 00:06:28,560
Това тук ще е положително,
а това тук ще е отрицателно.

118
00:06:28,560 --> 00:06:30,810
И те ще се унищожат взаимно.

119
00:06:30,810 --> 00:06:32,230
Така че тази стойност ще е по-малка,

120
00:06:32,230 --> 00:06:35,580
ако вземем интеграл
от абсолютната стойност.

121
00:06:35,580 --> 00:06:39,470
Интегралът, абсолютната стойност
на f ще бъде нещо такова.

122
00:06:39,470 --> 00:06:42,960
Всички тези области ще бъдат,
ако ги разглеждаме като интеграл,

123
00:06:43,120 --> 00:06:44,730
това ще бъде определен интеграл.

124
00:06:44,730 --> 00:06:48,380
Всички тези области ще
бъдат положителни.

125
00:06:48,380 --> 00:06:49,750
Тогава ще получим

126
00:06:49,750 --> 00:06:53,210
по-голяма стойност, ако вземем 
интеграл от абсолютната стойност.

127
00:06:53,210 --> 00:06:54,791
Тогава, особено ако f (х)

128
00:06:54,791 --> 00:06:57,038
е едновременно и положителна,
и отрицателна в този интервал,

129
00:06:57,038 --> 00:07:02,005
тогава ако първо интегрираме,
а после вземем абсолютната стойност.

130
00:07:02,005 --> 00:07:04,090
Повтарям, ако първо интегрираме,
за нещо като това,

131
00:07:04,090 --> 00:07:07,020
ще получим по-малка стойност,
защото тези ще се унищожат,

132
00:07:07,020 --> 00:07:09,500
ще се унищожат с тези тук,
и тогава

133
00:07:09,500 --> 00:07:13,470
ако вземем абсолютната стойност,
тя ще е по-малка по големина.

134
00:07:13,470 --> 00:07:15,880
Принципно, интегралът,

135
00:07:15,880 --> 00:07:18,260
извинявам се, абсолютната
стойност на интеграла,

136
00:07:18,260 --> 00:07:22,870
ще бъде по-малка или равна
на интеграла от абсолютната стойност.

137
00:07:22,870 --> 00:07:24,670
Можем да кажем, че това тук
е интеграл от

138
00:07:24,670 --> 00:07:27,740
абсолютната стойност, който 
ще бъде по-голям или равен.

139
00:07:27,740 --> 00:07:29,840
Точно това написахме тук.

140
00:07:29,840 --> 00:07:31,910
Това ще е по-голямо или
равно на...

141
00:07:31,910 --> 00:07:34,550
само след секунда ще видиш
защо правя това.

142
00:07:34,550 --> 00:07:39,670
по-голямо или равно на 
абсолютната стойност на

143
00:07:39,670 --> 00:07:45,920
интеграл от (n + 1)-та производна.

144
00:07:45,920 --> 00:07:48,960
(n + 1)-та производна от х, dх.

145
00:07:48,960 --> 00:07:51,490
Причината това да е полезно,
е, че можем все пак

146
00:07:51,490 --> 00:07:55,090
да запазим знака за неравенство,
това по-малко или равно на това,

147
00:07:55,090 --> 00:07:58,700
но този интеграл 
се решава много лесно.

148
00:07:58,700 --> 00:08:02,220
Примитивната функция
на (n + 1)-та производна

149
00:08:02,220 --> 00:08:04,240
е равна на n-тата производна.

150
00:08:04,240 --> 00:08:06,510
Това нещо ето тук.

151
00:08:06,510 --> 00:08:10,980
Това е равно на абсолютната
стойност на n-тата производна,

152
00:08:11,140 --> 00:08:16,300
абсолютната стойност на
n-тата производна на функцията на грешката.

153
00:08:16,310 --> 00:08:17,640
Казах ли очакваната стойност?
Не трябва да го казвам.

154
00:08:17,720 --> 00:08:19,600
Даже и аз се обърквам.
Това е функция на грешката.

155
00:08:19,700 --> 00:08:21,900
Трябваше да използвам r
за остатък (remainder).

156
00:08:21,900 --> 00:08:22,660
Това навсякъде е грешка е.

157
00:08:22,660 --> 00:08:25,180
В това видео няма нищо
за вероятности и очаквана стойност.

158
00:08:25,420 --> 00:08:27,240
Това е "Е" за грешка (error).

159
00:08:27,250 --> 00:08:30,030
Значи това ще бъде
n-тата производна на

160
00:08:30,030 --> 00:08:32,880
функцията на грешката, която
ще бъде по-малка или равна на това.

161
00:08:32,880 --> 00:08:37,230
Която е по-малка или равна
на примитивната функция от М.

162
00:08:37,230 --> 00:08:38,760
Това е константа.

163
00:08:38,760 --> 00:08:42,630
Това ще бъде Мx.

164
00:08:42,630 --> 00:08:44,179
И понеже това е 
неопределен интеграл,

165
00:08:44,179 --> 00:08:48,220
не трябва да забравяме,
че тук имаме константа.

166
00:08:48,220 --> 00:08:49,840
Принципно, когато се опитваме
да намерим горна граница,

167
00:08:49,840 --> 00:08:52,220
искаме горната граница е
да е възможно най-ниска.

168
00:08:52,220 --> 00:08:56,640
Искаме да минимизираме
тази константа.

169
00:08:56,640 --> 00:09:00,180
За наш късмет
знаем колко е това,

170
00:09:00,180 --> 00:09:04,410
знаем стойността на
функцията в тази точка.

171
00:09:04,410 --> 00:09:08,430
Знаем, че n-тата производна
на функцията на грешката в а е 0.

172
00:09:08,430 --> 00:09:09,940
Мисля, че го записахме 
ето тук.

173
00:09:09,940 --> 00:09:12,480
n-тата производна
в а е равна на 0.

174
00:09:12,480 --> 00:09:15,370
Това е така, защото n-тата 
производна на функцията

175
00:09:15,370 --> 00:09:19,550
и апроксимацията съвпадат
в точка а..

176
00:09:19,550 --> 00:09:22,860
Ако сметнем двете
страни на това за а,

177
00:09:22,860 --> 00:09:28,100
ще го направя тук отстрани –
знаем абсолютната стойност

178
00:09:28,100 --> 00:09:31,560
знаем абсолютната стойност
на n-тата производна за а,

179
00:09:31,560 --> 00:09:34,670
че това нещо е равно
на абсолютната стойност от 0,

180
00:09:34,670 --> 00:09:35,400
което е нула.

181
00:09:35,400 --> 00:09:37,820
Което трябва да е по-малко или равно 
на това, което сметнем тук за а,

182
00:09:37,820 --> 00:09:43,420
което е по-малко или равно
на Ма + с.

183
00:09:43,420 --> 00:09:45,260
И сега можем, ако
погледнем тази част

184
00:09:45,260 --> 00:09:47,710
на неравенството, можем
да извадим М от двете страни.

185
00:09:47,710 --> 00:09:51,460
Получаваме – Ма е по-малко
от или равно на с.

186
00:09:51,460 --> 00:09:53,590
Значи нашата константа тук,
въз основа на това условие,

187
00:09:53,590 --> 00:09:56,310
което изведохме в 
предното видео,

188
00:09:56,310 --> 00:10:00,820
нашата константа е по-голяма
или равна на –Ма.

189
00:10:00,820 --> 00:10:03,880
Ако искаме да минимизираме
константата, ако искаме да е възможно най-малката

190
00:10:03,880 --> 00:10:08,090
граница, ще трябва да изберем
с да е равно на –Ма.

191
00:10:08,090 --> 00:10:10,250
Това е възможно най-малкото с,
което може

192
00:10:10,250 --> 00:10:13,170
да отговори на тези условия,
които знаем, че са изпълнени.

193
00:10:13,170 --> 00:10:16,969
Значи ще изберем с
да е равно на Ма.

194
00:10:16,969 --> 00:10:19,364
След това ще преработим
цялото това нещо,

195
00:10:19,364 --> 00:10:24,560
като абсолютната стойност на
n-тата производна на функцията на грешката,

196
00:10:24,640 --> 00:10:25,970
не очакваната стойност –

197
00:10:25,970 --> 00:10:28,010
имам странното подозрение, 
че може би казах очаквана стойност.

198
00:10:28,010 --> 00:10:29,790
Това е функция на грешката.

199
00:10:29,790 --> 00:10:30,440
n-тата производна.

200
00:10:30,440 --> 00:10:33,230
Абсолютната стойност на
n-тата производна на функцията на грешката

201
00:10:33,230 --> 00:10:38,600
е по-малка или равна на М по (х – а).

202
00:10:38,600 --> 00:10:40,820
И отново всички условия
са изпълнени.

203
00:10:40,820 --> 00:10:43,880
Това е за х, което
е част от този интервал,

204
00:10:43,880 --> 00:10:48,910
затворения интервал от а до b.

205
00:10:48,910 --> 00:10:50,220
Изглежда, че напредваме.

206
00:10:50,220 --> 00:10:52,910
Поне се придвижихме от (n +1)-та
производна до n-тата производна.

207
00:10:52,910 --> 00:10:55,170
Да видим дали можем 
да продължим.

208
00:10:55,170 --> 00:10:57,750
Принципът е същият.

209
00:10:57,750 --> 00:11:00,090
Ако знаем това, тогава знаем, че

210
00:11:00,090 --> 00:11:02,940
можем да интегрираме 
двете страни на това.

211
00:11:02,940 --> 00:11:06,020
Интегрираме двете страни на това,

212
00:11:06,280 --> 00:11:08,360
примитивните функции
на двете страни.

213
00:11:08,360 --> 00:11:10,740
И знаем от това, което
установихме тук горе,

214
00:11:10,740 --> 00:11:14,780
че нещо, което е даже
по-малко от това тук,

215
00:11:14,780 --> 00:11:19,820
е абсолютната стойност
на интеграла от очакваната стойност.

216
00:11:19,820 --> 00:11:21,070
Е, казах го, ха-ха-ха.

217
00:11:21,070 --> 00:11:22,900
От нашата функция на грешката,
не очакваната стойност.

218
00:11:22,900 --> 00:11:23,900
От нашата функция на грешката.

219
00:11:23,900 --> 00:11:29,860
n-тата производна
от функцията на грешката от х, dх.

220
00:11:29,940 --> 00:11:33,510
Знаем, че това е по-малко
или равно по същата логика.

221
00:11:33,510 --> 00:11:37,450
Това е полезно, защото
това ще бъде

222
00:11:37,450 --> 00:11:42,640
(n – 1)-та производна от функцията 
на грешката от х.

223
00:11:42,640 --> 00:11:45,160
И разбира се отвън
имаме знак за абсолютна стойност.

224
00:11:45,160 --> 00:11:47,500
Това ще бъде по-малко от
или равно на това,

225
00:11:47,500 --> 00:11:50,800
което е по-малко или равно на това,
което е по-малко или равно на това тук.

226
00:11:50,940 --> 00:11:53,340
Примитивната функция на това тук
ще бъде

227
00:11:53,340 --> 00:11:58,800
М по (х – а)^2 върху 2.

228
00:11:58,800 --> 00:12:01,410
Можем да интегрираме
със заместване или да кажем просто:

229
00:12:01,410 --> 00:12:03,820
Имаме този израз тук,
производната му е 1.

230
00:12:03,820 --> 00:12:06,480
Това е очевидно, така че
го приемам за нашето u.

231
00:12:06,480 --> 00:12:09,320
Повдигаме на степен и после
делим на степенния показател

232
00:12:09,320 --> 00:12:11,460
Повтарям, че това
е определен интеграл.

233
00:12:11,460 --> 00:12:14,350
Значи тук ще има + с.

234
00:12:14,350 --> 00:12:16,600
Ще използваме същата логика.

235
00:12:16,600 --> 00:12:19,130
Ако изчислим това за а,
ще го получим...

236
00:12:19,130 --> 00:12:22,250
Да сметнем двете страни за а.

237
00:12:22,250 --> 00:12:25,990
Лявата страна, сметната
за а, ще бъде 0.

238
00:12:25,990 --> 00:12:29,250
Установихме го тук горе,
в миналото видео.

239
00:12:29,250 --> 00:12:31,630
Сега ще го направим отдясно.

240
00:12:31,630 --> 00:12:34,130
Получаваме 0, когато 
изчисляваме лявата страна за а.

241
00:12:34,130 --> 00:12:36,820
Дясната страна за а, ако
я сметнем,

242
00:12:36,820 --> 00:12:39,850
ще получим М по (а – а)а^2 върху 2.

243
00:12:39,850 --> 00:12:45,220
Получаваме 0 плюс с, така че става 
0 е по-малко или равно на с.

244
00:12:45,220 --> 00:12:47,620
Повтарям – искаме 
да минимизираме константата,

245
00:12:47,620 --> 00:12:49,800
искаме да минимизираме
горната граница тук.

246
00:12:49,800 --> 00:12:52,930
Искаме да изберем най-малкото
възможно с при тези условия.

247
00:12:52,930 --> 00:12:57,440
Най-малкото възможно с,
което отговаря на условията, е 0.

248
00:12:57,440 --> 00:13:01,070
Основната идея тук е, че
ако продължим по този начин,

249
00:13:01,070 --> 00:13:07,270
ако правим същото това нещо
чак до...

250
00:13:07,270 --> 00:13:10,440
ако продължим да интегрираме
по същия начин, както го направихме,

251
00:13:10,440 --> 00:13:14,040
и използваме същото свойство,

252
00:13:14,040 --> 00:13:19,180
ако го правим, докато стигнем
границата на функцията за х.

253
00:13:19,180 --> 00:13:21,550
Можем да разглеждаме това
като 0-а производна.

254
00:13:21,550 --> 00:13:23,420
Ако го направим чак
до 0-та произодна,

255
00:13:23,420 --> 00:13:25,360
която е самата функция на грешката.

256
00:13:25,360 --> 00:13:27,620
Границата на функцията 
на грешката ще бъде

257
00:13:27,620 --> 00:13:29,660
по-малка или равна на...
на колко ще е равна?

258
00:13:29,660 --> 00:13:31,940
Сигурно вече забеляза
закономерност.

259
00:13:31,940 --> 00:13:36,270
Ще бъде М по (х – а),

260
00:13:36,270 --> 00:13:39,490
степенният показател, единият
начин да разсъждаваме за него, е

261
00:13:39,490 --> 00:13:42,950
плюс тази производна, ще бъде
равно на (n + 1).

262
00:13:42,950 --> 00:13:46,980
Производната е нула, така че 
степенният показател ще е n + 1.

263
00:13:46,980 --> 00:13:50,210
Какъвто и да е степенният показател,
ще имаме n-та, може би

264
00:13:50,210 --> 00:13:54,280
ще имаме (n + 1)! тук.

265
00:13:54,280 --> 00:13:56,950
Може да попиташ откъде
дойде този (n + 1)!

266
00:13:56,950 --> 00:13:58,370
тук имаше само 2.

267
00:13:58,370 --> 00:14:01,120
Спомни си какво се случва,
когато интегрираме отново това.

268
00:14:01,120 --> 00:14:04,700
ще повишим това на трета степен,
после ще разделим на три.

269
00:14:04,700 --> 00:14:07,050
Значи в знаменателя ще стане
2 по 3.

270
00:14:07,050 --> 00:14:08,540
Когато интегрираме отново,
ще повдигнем

271
00:14:08,540 --> 00:14:10,800
на четвърта степен и ще
разделим на четири.

272
00:14:10,800 --> 00:14:12,960
Тогава знаменателят
ще стане 2 по 3, по 4.

273
00:14:12,960 --> 00:14:14,140
Това е 4!.

274
00:14:14,140 --> 00:14:18,400
На каквато степен повдигаме, знаменателят 
става равен на същия факториел.

275
00:14:18,500 --> 00:14:21,240
Особено интересно тук е дали

276
00:14:21,240 --> 00:14:24,360
ще успеем да определим
максималната стойност на функцията.

277
00:14:24,360 --> 00:14:28,510
Можем ли да определим максималната
стойност на функцията тук.

278
00:14:28,510 --> 00:14:31,800
Сега можем да ограничим
нашата функция на грешката

279
00:14:31,800 --> 00:14:36,500
в този интервал между а и b.

280
00:14:36,500 --> 00:14:39,530
Например, функцията 
на грешката при b,

281
00:14:39,530 --> 00:14:42,040
можем да я ограничим, ако
знаем колко е М.

282
00:14:42,040 --> 00:14:48,640
Можем да кажем, че функцията на грешката 
за b е по-малка или равна на М

283
00:14:48,640 --> 00:14:57,180
по (b – а) на степен (n + 1) 
върху (n + 1)!

284
00:14:57,190 --> 00:15:00,030
Така получаваме страшно
полезен резултат,

285
00:15:00,030 --> 00:15:03,720
заради математиката
зад него.

286
00:15:03,720 --> 00:15:06,849
И после ще видим някои примери,
където ще го приложим.