1
00:00:00,120 --> 00:00:01,820
Ще напиша едно 
диференциално уравнение:

2
00:00:01,820 --> 00:00:04,880
производната на у спрямо х

3
00:00:04,880 --> 00:00:08,580
е равна на 4у върху х.

4
00:00:08,580 --> 00:00:11,100
В това видео 
ще покажа, че решението

5
00:00:11,100 --> 00:00:14,700
на едно диференциално уравнение
не е стойност или набор от стойности.

6
00:00:14,700 --> 00:00:17,520
То е функция или
набор от функции.

7
00:00:17,520 --> 00:00:20,020
Но преди реално да опитаме
да го решим,

8
00:00:20,020 --> 00:00:21,840
или да намерим всички решения,

9
00:00:21,840 --> 00:00:24,980
нека да проверим дали
определени равенства или функции

10
00:00:25,120 --> 00:00:28,280
са решения на това 
диференциално уравнение.

11
00:00:28,280 --> 00:00:33,220
Например, ако имам
у = 4х,

12
00:00:33,360 --> 00:00:37,020
дали това е решение на това
диференциално уравнение?

13
00:00:37,020 --> 00:00:40,010
Постави видеото на пауза
и опитай самостоятелно.

14
00:00:40,010 --> 00:00:41,940
За да проверим дали това
е решение,

15
00:00:41,940 --> 00:00:43,770
трябва да намерим 
производната на у

16
00:00:43,770 --> 00:00:46,400
по отношение на х
и да видим дали наистина

17
00:00:46,400 --> 00:00:48,540
е равна на 4у/х.

18
00:00:48,540 --> 00:00:51,530
Ще се опитам да изразя
всичко чрез х,

19
00:00:51,530 --> 00:00:53,670
за да видя дали наистина
имаме равенство.

20
00:00:53,670 --> 00:00:57,800
Първо да намерим 
производната на у спрямо х.

21
00:00:57,880 --> 00:01:00,000
Това ще бъде равно на четири.

22
00:01:00,000 --> 00:01:02,150
Правили сме го много 
пъти досега.

23
00:01:02,150 --> 00:01:03,820
За да направим проверка, трябва

24
00:01:03,820 --> 00:01:06,880
четири, производната на у
спрямо х

25
00:01:06,880 --> 00:01:10,550
да е равно на 4 по у,

26
00:01:10,550 --> 00:01:12,140
но нека да заместим у с 4х.

27
00:01:12,140 --> 00:01:14,620
Ще изразя всичко чрез х.

28
00:01:14,620 --> 00:01:15,960
Значи е равно на 4х...

29
00:01:15,960 --> 00:01:18,660
вместо 4у записвам
четири пъти по 4х,

30
00:01:18,660 --> 00:01:20,390
цялото върху х.

31
00:01:20,390 --> 00:01:21,900
Вярно ли е това?

32
00:01:21,900 --> 00:01:23,790
Това х се съкращава с това
и получавам:

33
00:01:23,790 --> 00:01:28,480
4 е равно на 16, което
очевидно не е вярно.

34
00:01:28,480 --> 00:01:31,170
Значи това не е решение.

35
00:01:31,170 --> 00:01:34,140
Не е решение на

36
00:01:34,140 --> 00:01:36,330
нашето диференциално уравнение.

37
00:01:36,330 --> 00:01:38,780
Сега да видим друго
уравнение.

38
00:01:38,780 --> 00:01:42,890
Например у = х^4.

39
00:01:42,890 --> 00:01:46,010
Постави на пауза и опитай
да провериш дали това е решение

40
00:01:46,010 --> 00:01:48,307
на нашето първоначално
диференциално уравнение.

41
00:01:48,307 --> 00:01:50,650
Ще направим същото нещо.

42
00:01:50,650 --> 00:01:54,150
Коя е производната
на у спрямо х?

43
00:01:54,150 --> 00:01:56,210
Това е равно на – използваме 
правилото за производна на степен –

44
00:01:56,210 --> 00:01:59,030
равно е на 4х на трета степен.

45
00:01:59,030 --> 00:02:02,940
За да проверим това,
дали това 4х^3,

46
00:02:03,060 --> 00:02:04,780
това е производната на у
спрямо х,

47
00:02:04,790 --> 00:02:08,010
е равно на 4у,

48
00:02:08,010 --> 00:02:10,230
навсякъде изразявам у
чрез х,

49
00:02:10,230 --> 00:02:13,280
значи е равно на 4х^4,

50
00:02:13,280 --> 00:02:15,810
защото х^4 е равно на у,

51
00:02:15,810 --> 00:02:18,600
делено на х?

52
00:02:18,600 --> 00:02:21,470
Да видим, х^4 делено на х,

53
00:02:21,470 --> 00:02:23,660
това става равно на х^3.

54
00:02:23,660 --> 00:02:27,340
Значи получаваме 4х^3
е равно на 4х^3.

55
00:02:27,500 --> 00:02:30,150
Значи това е решение.

56
00:02:30,150 --> 00:02:33,310
Това е решение.

57
00:02:33,310 --> 00:02:34,950
Не е задължително
да е единственото решение,

58
00:02:34,950 --> 00:02:38,940
но е решение на диференциалното
уравнение.

59
00:02:38,940 --> 00:02:41,190
Да видим друго
диференциално уравнение.

60
00:02:41,190 --> 00:02:43,650
Да кажем, че имаме...

61
00:02:43,650 --> 00:02:46,040
Ще го запиша по различен начин:

62
00:02:46,040 --> 00:02:52,400
f'(х) = f(х) – х.

63
00:02:52,540 --> 00:02:55,100
Първата функция, която
искам да проверя –

64
00:02:55,100 --> 00:02:59,620
да кажем, че имам f(х) = 2х.

65
00:02:59,620 --> 00:03:02,900
Това решение ли е на това
диференциално уравнение?

66
00:03:02,900 --> 00:03:05,900
Спри видеото отново и
провери самостоятелно.

67
00:03:05,900 --> 00:03:06,850
За да се установи това,

68
00:03:06,850 --> 00:03:09,620
трябва да намерим
колко е f'(х).

69
00:03:09,620 --> 00:03:14,220
f'(х) просто е равно на 2.

70
00:03:14,220 --> 00:03:16,300
И сега проверяваме
има ли равенство.

71
00:03:16,300 --> 00:03:20,740
Дали 2 е равно на f'(х), 
когато f'(х) е равно на f(х) - х при f'(х) = 2х, ,

72
00:03:20,740 --> 00:03:25,040
когато f'(х) е равно на 2х – х.

73
00:03:25,160 --> 00:03:30,160
Да видим, ще получим,
че 2 е равно на х.

74
00:03:30,250 --> 00:03:31,840
Тук може да се изкушиш да кажеш, че

75
00:03:31,840 --> 00:03:34,600
сме намерили х или нещо такова.

76
00:03:34,600 --> 00:03:37,670
Но това не е решение,

77
00:03:37,670 --> 00:03:40,853
защото трябва да е вярно
за всяко х,

78
00:03:40,853 --> 00:03:43,970
което е в дефиниционното
множество на тази функция.

79
00:03:43,970 --> 00:03:46,790
Затова просто ще сложа тук 
един кръст,

80
00:03:46,790 --> 00:03:50,320
или ще напиша неправилно,

81
00:03:50,320 --> 00:03:55,320
това не е решение.

82
00:03:55,460 --> 00:03:56,930
Искам да поясня отново,

83
00:03:56,930 --> 00:04:01,540
за да бъде една функция решение 
на диференциалното уравнение,

84
00:04:01,600 --> 00:04:03,480
това трябва да е вярно
за всяко х,

85
00:04:03,490 --> 00:04:05,510
което заместваме във функцията.

86
00:04:05,510 --> 00:04:06,940
Да видим друго уравнение.

87
00:04:06,940 --> 00:04:11,940
Нека да е f(х) = х + 1.

88
00:04:12,500 --> 00:04:15,140
Спри видеото и провери дали
това е решение

89
00:04:15,140 --> 00:04:17,280
на това диференциално уравнение.

90
00:04:17,280 --> 00:04:18,520
Същият метод.

91
00:04:18,520 --> 00:04:21,500
f'(х) ще бъде равно на 1.

92
00:04:21,500 --> 00:04:24,620
И трябва да проверим
дали f'(х) = 1,

93
00:04:24,620 --> 00:04:26,240
е равно на f'(х), когато
f'(х) = f(x) - x,

94
00:04:26,240 --> 00:04:30,220
при f(x) = х + 1,
т.е. когато f'(х) = х + 1 – х.

95
00:04:30,220 --> 00:04:32,940
Тук, независимо каква
е стойността на х,

96
00:04:32,940 --> 00:04:35,080
това равенство е изпълнено.

97
00:04:35,080 --> 00:04:37,530
Значи това е решение.

98
00:04:37,530 --> 00:04:40,960
Това е решение.

99
00:04:41,120 --> 00:04:43,160
Хайде да видим 
още няколко примера.

100
00:04:43,160 --> 00:04:47,620
Ще превъртя малко надолу,
за да има повече място,

101
00:04:47,800 --> 00:04:50,480
но искам все още да се вижда
първото диференциално уравнение.

102
00:04:50,480 --> 00:04:55,480
Да проверим дали...
ще използвам червено,

103
00:04:55,960 --> 00:04:59,100
да проверим дали f(х)

104
00:04:59,100 --> 00:05:03,060
равно на (е^х) + х + 1

105
00:05:03,060 --> 00:05:05,970
е решение на това
диференциално уравнение.

106
00:05:05,970 --> 00:05:08,320
Спри отново видеото
и провери самостоятелно.

107
00:05:08,320 --> 00:05:10,210
Добре, да намерим
производната тук.

108
00:05:10,210 --> 00:05:12,520
f'(х) ще бъде равно на –

109
00:05:12,520 --> 00:05:15,910
производната на е^х спрямо х
е равна на е^х,

110
00:05:15,910 --> 00:05:17,560
което мен винаги ме изумява.

111
00:05:17,560 --> 00:05:21,580
След това + 1 (производната на х), а
производната на 1 спрямо х е просто 0.

112
00:05:21,820 --> 00:05:24,700
Сега да заместим в първоначалното 
диференциално уравнение.

113
00:05:24,800 --> 00:05:28,320
Така, f'(х) = е^х + 1.

114
00:05:28,330 --> 00:05:30,080
Това равно ли е на f(х),

115
00:05:30,080 --> 00:05:36,900
когато f'(х) = f(x) - х при f(x) = е^х + х + 1,
т.е. когато f'(x) = е^х + х + 1 – х?

116
00:05:37,060 --> 00:05:39,120
Този х се унищожава
с този х,

117
00:05:39,130 --> 00:05:41,880
и се вижда, че те
са равни.

118
00:05:41,880 --> 00:05:44,170
Значи това също е решение.

119
00:05:44,170 --> 00:05:50,100
Това също е решение.

120
00:05:50,180 --> 00:05:51,020
Готови сме.