В цьому відео я хочу показати вам декілька прикладів,
що стосуються функцій.
Багато школярів вважають функції чимось дуже складним,
але я думаю, що якщо ви дійсно зрозумієте,
про що ми говоримо, ви побачите, що
це досить зрозуміле поняття.
Інколи ви дивуєтесь:
"Про що весь цей гомін?
Всі функції - це зв'язок
між двома змінними.
Коли ми кажемо, що Y дорівнює функції від Х, ми маємо на увазі лише те, що
ви даєте мені Х.
Ви можете уявити цю функцію, як дещо що з'їдає цей Х.
Ви вкладаєте Х в цю функцію.
Ця функція - лише набір правил.
І функція каже : "О, з цим Х в мене
пов'язано якесь значення Y."
Ви можете уявити собі це як ящик.
Це - функція.
Коли я даю йому число Х, він повертає мені деяке інше
число Y.
Виглядає трохи абстрактно.
Чим є ці ікси та ігрики?
Можливо я маю функцію - дозвольте я зроблю це так...
Скажімо, визначення функції,
що виглядає ось так.
Для будь-якого Х, що ви мені даєте, я повертаю 1, якщо Х дорівнює...
...скажімо... 0.
А коли Х дорівнює 1 - повертаю 2.
І в інших випадках - повертаю 3.
Отже, ми визначили, що відбувається всередині ящика.
Намалюємо навколо цього квадрат .
Це наш ящик.
Це просто довільне визначення функції, але,
сподіваюся, що воно допоможе нам
зрозуміти, що ж насправді відбувається з функцією.
Тепер, якщо я зроблю Х рівним... наприклад 7,
то чому буде дорівнювати f(x)?
Чому дорівнюватиме f(7)?
Отже, я поміщаю 7 в ящик.
Можете розглядати його, як комп'ютер.
Комп'ютер дивиться на Х, а потім дивиться на свої правила.
І каже: "Добре. Х = 7".
Х не дорівнює 0 і не дорівнює 1.
Переходимо до ситуації "інакше".
Потрібно видати значення 3.
Тож, f(7) = 3.
Записуємо, f(7) = 3.
Де f - це ім'я цієї функції, цієї системи правил, або
цього зв'язку, цього відношення, ви можете називати її
як завгодно.
Коли ви даєте їй 7, вона видає 3.
А чому дорівнює f(2)?
Це значить, що Х дорівнює не 7, я даю функції
Х, що дорівнює 2.
І тоді, маленький комп'ютер всередині функції
каже, давайте подивимося, коли х = 2...
Ні, я знов в ситуації "інакше".
Х не дорівнює 0 і не дорівнює 1.
І знову f(x) = 3.
А що ж станеться, якщо......(функція f(2) також дорівнює 3)...
...А що ж станеться, якщо Х тепер буде дорівнювати 1?
Тоді він просто переверне це.
Отже, f(1).
Він дивиться на свої правила ось тут.
О, дивіться, Х = 1.
Я можу використати ось це правило!
Коли Х = 1, я видаю 2.
Отже, f(1) буде дорівнювати 2.
В цій ситуації я видаю f(1) = 2.
Це все і є функцією.
Пам'ятаючи все це, давайте розв'яжемо декілька даних нам завдань.
Нам потрібно знайти значення наступних функцій,
погляньте на ці різні функції --
на ці різні ящики, які нам дано...
в цих різних точках.
Почнемо з першої функції.
Нам дано ящик f від х дорівнює -2х + 3.
Нам потрібно визначити, що буде, якщо f = -3.
Отже, якщо f = -3, це каже мені,
що я маю робити з Х?
Що я отримаю?
Коли я бачу Х, я замінюю його на -3.
Тож будемо мати -2...
Давайте я буду робити це таким чином, щоб ви могли бачити те, що я роблю.
-3 я напишу напівжирним кольором.
Отже, -2 помножити на (-3) плюс 3.
Зауважте, там де було Х, я вписав -3.
Тепер я знаю, що видасть чорний ящик.
Результат буде дорівнювати: -2 помножити на (-3), що
дорівнює 6 плюс 3, що дає нам 9.
Тож, f(-3) = 9.
Як щодо f від 7?
Я зроблю теж саме ще один раз. Сімка буде жовтою...
f (7) буде дорівнювати
-2 помножити на 7 плюс 3.
А це буде -14 + 3,
що дорівнює -11.
Хочу зробити це ще зрозумілішим. Ви вкладаєте 7 сюди, в ящик,
в нашу функцію f і вона видає вам результат -11.
Це те, що нам було сказано зробити.
Це є правилом.
Це повністю аналогічно тому, що я робив ось тут.
Це правило нашої функції.
Давайте зробимо наступні два приклади.
Я не буду робити приклад (b).
Ви можете самі зробити (b) для розваги.
Я зроблю частину (с), просто заради економії часу.
Тепер знайдемо f від 0.
Я напишу одним кольором.
Думаю, ви зрозуміли. f(0).
Там, де ми бачимо Х, підставляємо 0.
Отже, -2 помножити на 0 + 3.
Так, це в нас буде 0.
Тому f(0) буде 3.
І останній. f від z.
Це завдання абстрактне.
Я замаркерую його кольором.
Отже, f(z).
Нехай Z буде іншого кольору.
f(z).
Де б ми не побачили Х, ми тепер повинні замінити
його на Z.
-2...
Замість Х ми збираємося підставити сюди z.
Підставляємо сюди помаранчеве Z.
-2 помножити на Z плюс 3.
Це і є наша відповідь. f(z) = -2z+3
Уявіть собі наш ящик, функцію f.
Ви даєте їй Z, і на виході отримуєте -2, що помножено на те, чим є Z і
плюс 3. Це все, про що нам говорить
запис функції.
Це завдання трішки більш абстрактне, але ідея та ж сама.
Перейдемо до частини (с).
Давайте я видалю це все.
Я закінчив з попереднім завданням,
почистимо тут все.
Видаляю все це.
Ми можемо робити частину (с).
Я пропускаю частину (b).
Ви можете попрацювати над цією частиною.
Частиною (b).
Нам дано визначення функції.
Вибачте, я сказав, що ми займаємося частиною (с).
Це визначення нашої функції.
f(x) дорівнює 5 помножити на 2 мінус х, розділити на 11.
Давайте підставимо в функцію ці значення Х,
всі ці різні вхідні дані.
f(-3) дорівнює 5 помножити на 2 мінус ... коли ми бачимо Х, підставляємо
від'ємне 3.
2 мінус -3, розділити на 11.
Тут буде 2+3.
Що дорівнює 5.
Тож матимемо 5 помножити на 5, розділити на 11.
Отримуємо 25/11.
Тепер зробимо це.
f від 7.
Для цієї другої функції f(7) дорівнюватиме 5 помножити на 2,
мінус ... тепер замість Х ми маємо підставити 7...
2 мінус 7 і розділити на 11.
Чому це дорівнюватиме?
2 мінус 7 буде -5.
5 помножити на від'ємне 5 буде -25/11.
Залишилося ще два. f (0).
Це буде 5 помножити на 2 мінус 0, розділити на 11. Тоді тут просто 2.
5 помножити на 2 буде 10.
Отримали 10/11.
І ще один приклад.
f (z). Отже, кожного разу, коли
ми побачимо Х, нам треба
буде замінити Х на Z.
І отримаємо 5 помножити на 2 мінус Z, розділити на 11.
Це і буде наша відповідь.
Ми можемо рознести 5.
Можна сказати, що це та ж сама річ, що й 10 - 5z, поділені на 11.
Ми навіть можемо записати це у вигляді окремих дробів.
Це така ж сама річ, як -5/11z плюс 10/11.
Все це еквівалентно.
Це те, чому дорівнює f(z).
Тепер...
Як я казав, функція - це коли ви даєте мені будь-яке значення Х, а я повертаю
вам вихідні дані.
Даю вам f від Х.
Тож, якщо це наша функція, ви даєте мені Х,
а вона повертає вам f(x).
Для кожного Х вона поверне вам єдине f(x).
Не існує функції, яка б могла повернути два можливих
значення для Х.
І у вас не може бути функції...
це було б неправильне визначення функції, якби f(x) дорівнювало 3, якщо
x дорівнює 0.
Або могло б дорівнювати 4, якщо x = 0.
Тому що в цій ситуації ми не знаємо, чому дорівнює f(x).
Чому вона буде дорівнювати?
Сказано, що якщо х=0, то f(x) повинно бути 3,
або... ми не знаємо
Ми не знаємо...
ми не знаємо...
Тож це не функція,
хоча виглядає як функція.
Отже, ви не можете мати два різні значення f(x) для одного значення Х.
А тепер давайте подивимося, які з цих графіків є функціями.
Щоб це з'ясувати, ви можете сказати:
"Подивимося на будь-яке значення Х і матимемо для кожного лише одне значення f(x)"
Тут у нас Y, що дорівнює f(x).
В мене лише одне значення...
для цього Х тут я маю значення Y.
Ви можете використати тест вертикальної лінії, який
для кожної точки, через яку ви проведете лінію...
вертикальну лінію для окремого Х...
Тест покаже, що в цій точці я матиму тільки одне значення Y.
Тому це дійсно функція.
Кожна проведена вами вертикальна лінія перетинає
графік тільки один раз.
Тому це дійсна функція.
А що можна сказати про цей графік?
Я можу накреслити вертикальну лінію,
скажемо, ось в цій точці.
Для цього Х це відношення, здається,
має два можливих значення функції f(x).
f(x) може приймати це значення, або може дорівнювати цьому значенню.
Чи не так?
Ми перетинаємо графік двічі.
Тому - це не функція.
Ми робимо саме те, що я описував ось тут.
Для окремого Х ми визначаємо два можливих Y,
які дорівнюють f(x).
І тому це не функція.
Або тут, те ж саме.
Ви креслите тут вертикальну лінію.
І перетинаєте графік двічі.
Це не є функцією.
У вас визначено два можливих значення Y для одного значення Х.
Перейдемо до цієї.
Ця функція виглядає трохи дивно.
Немов маркер "галочка".
Але кожна вертикальна лінія перетне
графік лише один раз.
І тому це теж дійсна функція.
Для кожного Х ви маєте єдиний пов'язаний з ним Y.
Іншими словами, єдине f(x), пов'язане з вашим Х.
У будь-якому разі, сподіваюсь, вам було цікаво.
Переклад на українську: Віра Дрига, рев'ювер: Юлія Білаш, благодійний фонд "Magneticone.org"