1
00:00:00,470 --> 00:00:02,460
В цьому відео я хочу показати вам
декілька прикладів,

2
00:00:02,460 --> 00:00:03,800
що стосуються функцій.

3
00:00:03,800 --> 00:00:06,570
Багато школярів вважають функції
чимось дуже складним,

4
00:00:06,570 --> 00:00:09,230
але я думаю, що якщо ви дійсно зрозумієте,

5
00:00:09,230 --> 00:00:11,070
про що ми говоримо, ви побачите, що

6
00:00:11,070 --> 00:00:12,240
це досить зрозуміле поняття.

7
00:00:12,240 --> 00:00:13,710
Інколи ви дивуєтесь:

8
00:00:13,710 --> 00:00:14,880
"Про що весь цей гомін?

9
00:00:14,880 --> 00:00:16,720
Всі функції - це зв'язок

10
00:00:16,720 --> 00:00:19,830
між двома змінними.

11
00:00:19,830 --> 00:00:25,540
Коли ми кажемо, що Y дорівнює функції від
Х, ми маємо на увазі лише те, що

12
00:00:25,540 --> 00:00:28,260
ви даєте мені Х.

13
00:00:28,260 --> 00:00:31,660
Ви можете уявити цю функцію, як дещо
що з'їдає цей Х.

14
00:00:31,660 --> 00:00:34,190
Ви вкладаєте Х в цю функцію.

15
00:00:34,190 --> 00:00:36,480
Ця функція - лише набір правил.

16
00:00:36,480 --> 00:00:39,150
І функція каже : "О, з цим Х в мене

17
00:00:39,150 --> 00:00:41,230
пов'язано якесь значення Y."

18
00:00:41,230 --> 00:00:42,945
Ви можете уявити собі це як ящик.

19
00:00:45,900 --> 00:00:47,990
Це - функція.

20
00:00:47,990 --> 00:00:53,830
Коли я даю йому число Х, він повертає мені 
деяке інше

21
00:00:53,830 --> 00:00:56,990
число Y.

22
00:00:56,990 --> 00:00:58,160
Виглядає трохи абстрактно.

23
00:00:58,160 --> 00:00:59,360
Чим є ці ікси та ігрики?

24
00:00:59,360 --> 00:01:02,830
Можливо я маю функцію - дозвольте я 
зроблю це так...

25
00:01:02,830 --> 00:01:04,190
Скажімо, визначення функції,

26
00:01:04,190 --> 00:01:05,720
що виглядає ось так.

27
00:01:05,720 --> 00:01:11,770
Для будь-якого Х, що ви мені даєте, я 
повертаю 1, якщо Х дорівнює...

28
00:01:11,770 --> 00:01:14,440
...скажімо... 0.

29
00:01:14,440 --> 00:01:18,730
А коли Х дорівнює 1 - повертаю 2.

30
00:01:18,730 --> 00:01:23,910
І в інших випадках - повертаю 3.

31
00:01:24,790 --> 00:01:28,720
Отже, ми визначили, що відбувається всередині 
ящика.

32
00:01:28,720 --> 00:01:31,630
Намалюємо навколо цього квадрат .

33
00:01:31,630 --> 00:01:33,650
Це наш ящик.

34
00:01:33,650 --> 00:01:35,940
Це просто довільне визначення функції,
але,

35
00:01:35,940 --> 00:01:37,760
сподіваюся, що воно допоможе нам

36
00:01:37,760 --> 00:01:40,070
зрозуміти, що ж насправді відбувається 
з функцією.

37
00:01:40,070 --> 00:01:49,890
Тепер, якщо я зроблю Х рівним...
наприклад 7,

38
00:01:49,950 --> 00:01:52,480
то чому буде дорівнювати f(x)?

39
00:01:52,480 --> 00:01:56,400
Чому дорівнюватиме f(7)?

40
00:01:56,400 --> 00:01:58,020
Отже, я поміщаю 7 в ящик.

41
00:01:58,020 --> 00:01:59,700
Можете розглядати його, як комп'ютер.

42
00:01:59,700 --> 00:02:02,770
Комп'ютер дивиться на Х, а потім дивиться 
на свої правила.

43
00:02:02,770 --> 00:02:04,060
І каже: "Добре. Х = 7".

44
00:02:04,060 --> 00:02:06,270
Х не дорівнює 0 і не дорівнює 1.

45
00:02:06,270 --> 00:02:08,229
Переходимо до ситуації "інакше".

46
00:02:08,229 --> 00:02:10,100
Потрібно видати значення 3.

47
00:02:10,100 --> 00:02:12,040
Тож, f(7) = 3.

48
00:02:12,040 --> 00:02:15,320
Записуємо, f(7) = 3.

49
00:02:15,320 --> 00:02:18,760
Де f - це ім'я цієї функції, цієї 
системи правил, або

50
00:02:18,760 --> 00:02:21,310
цього зв'язку, цього відношення,
ви можете називати її

51
00:02:21,310 --> 00:02:22,190
як завгодно.

52
00:02:22,190 --> 00:02:24,350
Коли ви даєте їй 7, вона видає 3.

53
00:02:24,350 --> 00:02:27,460
Коли ви даєте їй 7, вона видає 3.

54
00:02:27,460 --> 00:02:31,240
А чому дорівнює f(2)?

55
00:02:31,240 --> 00:02:34,690
Це значить, що Х дорівнює не 7,
я даю функції

56
00:02:34,690 --> 00:02:36,420
Х, що дорівнює 2.

57
00:02:36,420 --> 00:02:38,550
І тоді, маленький комп'ютер всередині функції

58
00:02:38,550 --> 00:02:42,550
каже, давайте подивимося, коли х = 2...

59
00:02:42,550 --> 00:02:44,410
Ні, я знов в ситуації "інакше".

60
00:02:44,410 --> 00:02:45,910
Х не дорівнює 0 і не дорівнює 1.

61
00:02:45,910 --> 00:02:51,010
І знову f(x) = 3.

62
00:02:51,010 --> 00:02:56,570
А що ж станеться, якщо......(функція f(2) також дорівнює 3)...

63
00:02:56,640 --> 00:03:03,200
...А що ж станеться, якщо Х тепер буде 
дорівнювати 1?

64
00:03:03,200 --> 00:03:05,100
Тоді він просто переверне це.

65
00:03:05,100 --> 00:03:07,990
Отже, f(1).

66
00:03:07,990 --> 00:03:10,080
Він дивиться на свої правила ось тут.

67
00:03:10,080 --> 00:03:11,620
О, дивіться, Х = 1.

68
00:03:11,620 --> 00:03:13,350
Я можу використати ось це правило!

69
00:03:13,350 --> 00:03:15,520
Коли Х = 1, я видаю 2.

70
00:03:15,520 --> 00:03:18,750
Отже, f(1) буде дорівнювати 2.

71
00:03:18,750 --> 00:03:22,290
В цій ситуації я видаю f(1) = 2.

72
00:03:22,290 --> 00:03:24,420
Це все і є функцією.

73
00:03:24,420 --> 00:03:29,350
Пам'ятаючи все це, давайте розв'яжемо
декілька даних нам завдань.

74
00:03:29,350 --> 00:03:31,620
Нам потрібно знайти значення наступних функцій,

75
00:03:31,620 --> 00:03:35,010
погляньте на ці різні функції --

76
00:03:35,010 --> 00:03:37,570
на ці різні ящики, які нам дано...

77
00:03:37,570 --> 00:03:39,070
в цих різних точках.

78
00:03:39,070 --> 00:03:42,800
Почнемо з першої функції.

79
00:03:42,800 --> 00:03:47,880
Нам дано ящик f від х дорівнює -2х + 3.

80
00:03:47,880 --> 00:03:51,790
Нам потрібно визначити, що буде, 
якщо f = -3.

81
00:03:51,790 --> 00:03:54,300
Отже, якщо f = -3, це каже мені,

82
00:03:54,300 --> 00:03:55,430
що я маю робити з Х?

83
00:03:55,430 --> 00:03:57,110
Що я отримаю?

84
00:03:57,110 --> 00:04:00,060
Коли я бачу Х, я замінюю його на -3.

85
00:04:00,060 --> 00:04:02,060
Тож будемо мати -2...

86
00:04:02,060 --> 00:04:04,780
Давайте я буду робити це таким чином, щоб ви могли бачити те, що я роблю.

87
00:04:04,780 --> 00:04:06,520
-3 я напишу напівжирним кольором.

88
00:04:06,520 --> 00:04:13,130
Отже, -2 помножити на (-3) плюс 3.

89
00:04:13,130 --> 00:04:16,149
Зауважте, там де було Х, я вписав -3.

90
00:04:16,149 --> 00:04:19,250
Тепер я знаю, що видасть чорний ящик.

91
00:04:19,250 --> 00:04:21,600
Результат буде дорівнювати: -2 помножити на (-3), що

92
00:04:21,600 --> 00:04:25,640
дорівнює 6 плюс 3, що дає нам 9.

93
00:04:25,640 --> 00:04:29,470
Тож, f(-3) = 9.

94
00:04:29,470 --> 00:04:32,130
Як щодо f від 7?

95
00:04:32,130 --> 00:04:36,340
Я зроблю теж саме ще один раз.
Сімка буде жовтою...

96
00:04:36,340 --> 00:04:43,120
f (7) буде дорівнювати

97
00:04:43,120 --> 00:04:50,160
-2 помножити на 7 плюс 3.

98
00:04:50,550 --> 00:04:55,140
А це буде -14 + 3,

99
00:04:55,140 --> 00:04:57,260
що дорівнює -11.

100
00:04:57,260 --> 00:05:03,940
Хочу зробити це ще зрозумілішим.
Ви вкладаєте 7 сюди, в ящик,

101
00:05:03,940 --> 00:05:11,060
в нашу функцію f і вона видає вам 
результат -11.

102
00:05:11,060 --> 00:05:13,310
Це те, що нам було сказано зробити.

103
00:05:13,310 --> 00:05:14,760
Це є правилом.

104
00:05:14,760 --> 00:05:18,470
Це повністю аналогічно тому, що я робив 
ось тут.

105
00:05:18,470 --> 00:05:20,980
Це правило нашої функції.

106
00:05:20,980 --> 00:05:24,430
Давайте зробимо наступні два приклади.

107
00:05:24,430 --> 00:05:25,200
Я не буду робити приклад (b).

108
00:05:25,200 --> 00:05:26,330
Ви можете самі зробити (b) для розваги.

109
00:05:26,330 --> 00:05:29,650
Я зроблю частину (с), 
просто заради економії часу.

110
00:05:29,650 --> 00:05:32,540
Тепер знайдемо f від 0.

111
00:05:32,540 --> 00:05:33,810
Я напишу одним кольором.

112
00:05:33,810 --> 00:05:35,300
Думаю, ви зрозуміли. f(0).

113
00:05:35,300 --> 00:05:37,500
Там, де ми бачимо Х, підставляємо 0.

114
00:05:37,500 --> 00:05:42,835
Отже, -2 помножити на 0 + 3.

115
00:05:43,100 --> 00:05:44,345
Так, це в нас буде 0.

116
00:05:44,345 --> 00:05:47,300
Тому f(0) буде 3.

117
00:05:47,300 --> 00:05:49,000
І останній. f від z.

118
00:05:49,000 --> 00:05:51,720
Це завдання абстрактне.

119
00:05:51,720 --> 00:05:52,780
Я замаркерую його кольором.

120
00:05:52,780 --> 00:05:55,800
Отже, f(z).

121
00:05:55,800 --> 00:05:59,150
Нехай Z буде іншого кольору.

122
00:05:59,150 --> 00:06:00,900
f(z).

123
00:06:00,900 --> 00:06:06,210
Де б ми не побачили Х, ми тепер
повинні замінити

124
00:06:06,210 --> 00:06:07,750
його на Z.

125
00:06:07,750 --> 00:06:09,240
-2...

126
00:06:09,240 --> 00:06:12,040
Замість Х ми збираємося підставити сюди z.

127
00:06:12,040 --> 00:06:13,860
Підставляємо сюди помаранчеве Z.

128
00:06:13,860 --> 00:06:19,760
-2 помножити на Z плюс 3.

129
00:06:19,760 --> 00:06:24,330
Це і є наша відповідь. 
f(z) = -2z+3

130
00:06:24,330 --> 00:06:28,110
Уявіть собі наш ящик, функцію f.

131
00:06:28,110 --> 00:06:39,840
Ви даєте їй Z, і на виході отримуєте 
-2, що помножено на те, чим є Z і

132
00:06:39,840 --> 00:06:44,290
плюс 3. Це все, про що нам говорить

133
00:06:44,290 --> 00:06:45,010
запис функції.

134
00:06:45,010 --> 00:06:47,830
Це завдання трішки більш абстрактне,
але ідея та ж сама.

135
00:06:47,830 --> 00:06:52,030
Перейдемо до частини (с).

136
00:06:52,030 --> 00:06:53,330
Давайте я видалю це все.

137
00:06:53,330 --> 00:06:55,820
Я закінчив з попереднім завданням,

138
00:06:55,820 --> 00:06:59,102
почистимо тут все.

139
00:06:59,102 --> 00:07:02,910
Видаляю все це.

140
00:07:02,910 --> 00:07:03,810
Ми можемо робити частину (с).

141
00:07:03,810 --> 00:07:05,370
Я пропускаю частину (b).

142
00:07:05,370 --> 00:07:07,710
Ви можете попрацювати над цією частиною.

143
00:07:07,710 --> 00:07:10,830
Частиною (b).

144
00:07:10,830 --> 00:07:13,430
Нам дано визначення функції.

145
00:07:13,430 --> 00:07:16,680
Вибачте, я сказав, що ми займаємося 
частиною (с).

146
00:07:16,680 --> 00:07:18,610
Це визначення нашої функції.

147
00:07:18,610 --> 00:07:26,300
f(x) дорівнює 5 помножити на 2 мінус х, 
розділити на 11.

148
00:07:26,300 --> 00:07:29,440
Давайте підставимо в функцію 
ці значення Х,

149
00:07:29,440 --> 00:07:32,620
всі ці різні вхідні дані.

150
00:07:32,620 --> 00:07:39,900
f(-3) дорівнює 5 помножити на 2 мінус ... 
коли ми бачимо Х, підставляємо

151
00:07:39,900 --> 00:07:42,250
від'ємне 3.

152
00:07:42,250 --> 00:07:45,620
2 мінус -3, розділити на 11.

153
00:07:45,620 --> 00:07:48,700
Тут буде 2+3.

154
00:07:48,700 --> 00:07:50,870
Що дорівнює 5.

155
00:07:50,870 --> 00:07:53,260
Тож матимемо 5 помножити на 5, розділити на 11.

156
00:07:53,260 --> 00:07:57,120
Отримуємо 25/11.

157
00:07:57,120 --> 00:07:57,850
Тепер зробимо це.

158
00:07:57,850 --> 00:07:59,990
f від 7.

159
00:07:59,990 --> 00:08:06,680
Для цієї другої функції f(7) 
дорівнюватиме 5 помножити на 2,

160
00:08:06,680 --> 00:08:11,160
мінус ... тепер замість Х ми маємо 
підставити 7...

161
00:08:11,160 --> 00:08:14,360
2 мінус 7 і розділити на 11.

162
00:08:14,360 --> 00:08:15,540
Чому це дорівнюватиме?

163
00:08:15,540 --> 00:08:18,250
2 мінус 7 буде -5.

164
00:08:18,250 --> 00:08:23,780
5 помножити на від'ємне 5 буде -25/11.

165
00:08:23,780 --> 00:08:27,410
Залишилося ще два. f (0).

166
00:08:27,410 --> 00:08:35,000
Це буде 5 помножити на 2 мінус 0, розділити на 11. Тоді тут просто 2.

167
00:08:35,000 --> 00:08:36,130
5 помножити на 2 буде 10.

168
00:08:36,130 --> 00:08:38,850
Отримали 10/11.

169
00:08:38,850 --> 00:08:39,840
І ще один приклад.

170
00:08:39,840 --> 00:08:43,059
f (z). Отже, кожного разу, коли

171
00:08:43,059 --> 00:08:43,779
ми побачимо Х, нам треба

172
00:08:43,779 --> 00:08:44,490
буде замінити Х на Z.

173
00:08:44,490 --> 00:08:49,960
І отримаємо 5 помножити на 2 мінус Z,
розділити на 11.

174
00:08:49,960 --> 00:08:50,630
Це і буде наша відповідь.

175
00:08:50,630 --> 00:08:51,910
Ми можемо рознести 5.

176
00:08:51,910 --> 00:08:57,210
Можна сказати, що це та ж сама 
річ, що й 10 - 5z, поділені на 11.

177
00:08:57,210 --> 00:09:00,260
Ми навіть можемо записати це у вигляді
окремих дробів.

178
00:09:00,260 --> 00:09:06,000
Це така ж сама річ, як -5/11z плюс 10/11.

179
00:09:06,000 --> 00:09:06,990
Все це еквівалентно.

180
00:09:06,990 --> 00:09:10,430
Це те, чому дорівнює f(z).

181
00:09:10,430 --> 00:09:11,590
Тепер...

182
00:09:11,590 --> 00:09:15,510
Як я казав, функція - це коли ви даєте 
мені будь-яке значення Х, а я повертаю

183
00:09:15,510 --> 00:09:16,470
вам вихідні дані.

184
00:09:16,470 --> 00:09:19,120
Даю вам f від Х.

185
00:09:19,120 --> 00:09:23,040
Тож, якщо це наша функція, ви даєте 
мені Х,

186
00:09:23,040 --> 00:09:26,550
а вона повертає вам f(x).

187
00:09:26,550 --> 00:09:29,680
Для кожного Х вона поверне вам єдине
f(x).

188
00:09:29,680 --> 00:09:32,840
Не існує функції, яка б могла повернути
два можливих

189
00:09:32,840 --> 00:09:34,700
значення для Х.

190
00:09:34,700 --> 00:09:37,540
І у вас не може бути функції...

191
00:09:37,540 --> 00:09:42,790
це було б неправильне визначення функції, якби f(x) дорівнювало 3, якщо

192
00:09:42,790 --> 00:09:45,230
x дорівнює 0.

193
00:09:45,230 --> 00:09:49,240
Або могло б дорівнювати 4, якщо x = 0.

194
00:09:49,240 --> 00:09:53,170
Тому що в цій ситуації ми не знаємо, 
чому дорівнює f(x).

195
00:09:53,170 --> 00:09:54,090
Чому вона буде дорівнювати?

196
00:09:54,090 --> 00:09:56,330
Сказано, що якщо х=0,
то f(x) повинно бути 3,

197
00:09:56,330 --> 00:09:57,310
або... ми не знаємо

198
00:09:57,310 --> 00:09:57,830
Ми не знаємо...

199
00:09:57,830 --> 00:09:58,190
ми не знаємо...

200
00:09:58,190 --> 00:10:01,550
Тож це не функція,

201
00:10:01,550 --> 00:10:05,970
хоча виглядає як функція.

202
00:10:07,700 --> 00:10:12,250
Отже, ви не можете мати два різні значення
f(x) для одного значення Х.

203
00:10:12,250 --> 00:10:16,020
А тепер давайте подивимося, які з цих 
графіків є функціями.

204
00:10:16,020 --> 00:10:18,390
Щоб це з'ясувати, ви можете сказати:

205
00:10:18,390 --> 00:10:21,850
"Подивимося на будь-яке значення Х і матимемо для 
кожного лише одне значення f(x)"

206
00:10:21,850 --> 00:10:25,090
Тут у нас Y, що дорівнює f(x).

207
00:10:25,090 --> 00:10:28,950
В мене лише одне значення...

208
00:10:28,950 --> 00:10:30,550
для цього Х тут я маю значення Y.

209
00:10:30,550 --> 00:10:32,970
Ви можете використати тест вертикальної
лінії, який

210
00:10:32,970 --> 00:10:35,720
для кожної точки, через яку ви проведете 
лінію...

211
00:10:35,720 --> 00:10:37,570
вертикальну лінію для окремого Х...

212
00:10:37,570 --> 00:10:41,920
Тест покаже, що в цій точці я матиму 
тільки одне значення Y.

213
00:10:41,920 --> 00:10:43,630
Тому це дійсно функція.

214
00:10:43,630 --> 00:10:46,240
Кожна проведена вами вертикальна лінія 
перетинає

215
00:10:46,240 --> 00:10:47,610
графік тільки один раз.

216
00:10:47,610 --> 00:10:50,410
Тому це дійсна функція.

217
00:10:50,410 --> 00:10:52,220
А що можна сказати про цей графік?

218
00:10:52,220 --> 00:10:53,960
Я можу накреслити вертикальну лінію,

219
00:10:53,960 --> 00:10:55,230
скажемо, ось в цій точці.

220
00:10:55,230 --> 00:10:58,650
Для цього Х це відношення, здається,

221
00:10:58,650 --> 00:11:00,860
має два можливих значення функції f(x).

222
00:11:00,860 --> 00:11:04,550
f(x) може приймати це значення, або
може дорівнювати цьому значенню.

223
00:11:04,550 --> 00:11:05,270
Чи не так?

224
00:11:05,270 --> 00:11:07,520
Ми перетинаємо графік двічі.

225
00:11:07,520 --> 00:11:08,840
Тому - це не функція.

226
00:11:08,840 --> 00:11:11,150
Ми робимо саме те, що я описував ось тут.

227
00:11:11,150 --> 00:11:15,090
Для окремого Х ми визначаємо два
можливих Y,

228
00:11:15,090 --> 00:11:16,800
які дорівнюють f(x).

229
00:11:16,800 --> 00:11:19,220
І тому це не функція.

230
00:11:19,220 --> 00:11:20,830
Або тут, те ж саме.

231
00:11:20,830 --> 00:11:22,310
Ви креслите тут вертикальну 
лінію.

232
00:11:22,310 --> 00:11:24,540
І перетинаєте графік двічі.

233
00:11:24,540 --> 00:11:26,000
Це не є функцією.

234
00:11:26,000 --> 00:11:30,590
У вас визначено два можливих значення Y 
для одного значення Х.

235
00:11:30,590 --> 00:11:31,490
Перейдемо до цієї.

236
00:11:31,490 --> 00:11:33,160
Ця функція виглядає трохи дивно.

237
00:11:33,160 --> 00:11:34,750
Немов маркер "галочка".

238
00:11:34,750 --> 00:11:37,020
Але кожна вертикальна лінія перетне

239
00:11:37,020 --> 00:11:38,720
графік лише один раз.

240
00:11:38,720 --> 00:11:40,420
І тому це теж дійсна функція.

241
00:11:40,420 --> 00:11:43,470
Для кожного Х ви маєте єдиний пов'язаний
з ним Y.

242
00:11:43,470 --> 00:11:46,450
Іншими словами, єдине f(x), пов'язане
з вашим Х.

243
00:11:46,450 --> 00:11:48,150
У будь-якому разі, сподіваюсь, вам 
було цікаво.

244
00:11:48,158 --> 00:11:48,928
Переклад на українську: Віра Дрига, рев'ювер: Юлія Білаш, благодійний фонд "Magneticone.org"