0:00:00.470,0:00:02.460
В цьому відео я хочу показати вам[br]декілька прикладів,

0:00:02.460,0:00:03.800
що стосуються функцій.

0:00:03.800,0:00:06.570
Багато школярів вважають функції[br]чимось дуже складним,

0:00:06.570,0:00:09.230
але я думаю, що якщо ви дійсно зрозумієте,

0:00:09.230,0:00:11.070
про що ми говоримо, ви побачите, що

0:00:11.070,0:00:12.240
це досить зрозуміле поняття.

0:00:12.240,0:00:13.710
Інколи ви дивуєтесь:

0:00:13.710,0:00:14.880
"Про що весь цей гомін?

0:00:14.880,0:00:16.720
Всі функції - це зв'язок

0:00:16.720,0:00:19.830
між двома змінними.

0:00:19.830,0:00:25.540
Коли ми кажемо, що Y дорівнює функції від[br]Х, ми маємо на увазі лише те, що

0:00:25.540,0:00:28.260
ви даєте мені Х.

0:00:28.260,0:00:31.660
Ви можете уявити цю функцію, як дещо[br]що з'їдає цей Х.

0:00:31.660,0:00:34.190
Ви вкладаєте Х в цю функцію.

0:00:34.190,0:00:36.480
Ця функція - лише набір правил.

0:00:36.480,0:00:39.150
І функція каже : "О, з цим Х в мене

0:00:39.150,0:00:41.230
пов'язано якесь значення Y."

0:00:41.230,0:00:42.945
Ви можете уявити собі це як ящик.

0:00:45.900,0:00:47.990
Це - функція.

0:00:47.990,0:00:53.830
Коли я даю йому число Х, він повертає мені [br]деяке інше

0:00:53.830,0:00:56.990
число Y.

0:00:56.990,0:00:58.160
Виглядає трохи абстрактно.

0:00:58.160,0:00:59.360
Чим є ці ікси та ігрики?

0:00:59.360,0:01:02.830
Можливо я маю функцію - дозвольте я [br]зроблю це так...

0:01:02.830,0:01:04.190
Скажімо, визначення функції,

0:01:04.190,0:01:05.720
що виглядає ось так.

0:01:05.720,0:01:11.770
Для будь-якого Х, що ви мені даєте, я [br]повертаю 1, якщо Х дорівнює...

0:01:11.770,0:01:14.440
...скажімо... 0.

0:01:14.440,0:01:18.730
А коли Х дорівнює 1 - повертаю 2.

0:01:18.730,0:01:23.910
І в інших випадках - повертаю 3.

0:01:24.790,0:01:28.720
Отже, ми визначили, що відбувається всередині [br]ящика.

0:01:28.720,0:01:31.630
Намалюємо навколо цього квадрат .

0:01:31.630,0:01:33.650
Це наш ящик.

0:01:33.650,0:01:35.940
Це просто довільне визначення функції,[br]але,

0:01:35.940,0:01:37.760
сподіваюся, що воно допоможе нам

0:01:37.760,0:01:40.070
зрозуміти, що ж насправді відбувається [br]з функцією.

0:01:40.070,0:01:49.890
Тепер, якщо я зроблю Х рівним...[br]наприклад 7,

0:01:49.950,0:01:52.480
то чому буде дорівнювати f(x)?

0:01:52.480,0:01:56.400
Чому дорівнюватиме f(7)?

0:01:56.400,0:01:58.020
Отже, я поміщаю 7 в ящик.

0:01:58.020,0:01:59.700
Можете розглядати його, як комп'ютер.

0:01:59.700,0:02:02.770
Комп'ютер дивиться на Х, а потім дивиться [br]на свої правила.

0:02:02.770,0:02:04.060
І каже: "Добре. Х = 7".

0:02:04.060,0:02:06.270
Х не дорівнює 0 і не дорівнює 1.

0:02:06.270,0:02:08.229
Переходимо до ситуації "інакше".

0:02:08.229,0:02:10.100
Потрібно видати значення 3.

0:02:10.100,0:02:12.040
Тож, f(7) = 3.

0:02:12.040,0:02:15.320
Записуємо, f(7) = 3.

0:02:15.320,0:02:18.760
Де f - це ім'я цієї функції, цієї [br]системи правил, або

0:02:18.760,0:02:21.310
цього зв'язку, цього відношення,[br]ви можете називати її

0:02:21.310,0:02:22.190
як завгодно.

0:02:22.190,0:02:24.350
Коли ви даєте їй 7, вона видає 3.

0:02:24.350,0:02:27.460
Коли ви даєте їй 7, вона видає 3.

0:02:27.460,0:02:31.240
А чому дорівнює f(2)?

0:02:31.240,0:02:34.690
Це значить, що Х дорівнює не 7,[br]я даю функції

0:02:34.690,0:02:36.420
Х, що дорівнює 2.

0:02:36.420,0:02:38.550
І тоді, маленький комп'ютер всередині функції

0:02:38.550,0:02:42.550
каже, давайте подивимося, коли х = 2...

0:02:42.550,0:02:44.410
Ні, я знов в ситуації "інакше".

0:02:44.410,0:02:45.910
Х не дорівнює 0 і не дорівнює 1.

0:02:45.910,0:02:51.010
І знову f(x) = 3.

0:02:51.010,0:02:56.570
А що ж станеться, якщо......(функція f(2) також дорівнює 3)...

0:02:56.640,0:03:03.200
...А що ж станеться, якщо Х тепер буде [br]дорівнювати 1?

0:03:03.200,0:03:05.100
Тоді він просто переверне це.

0:03:05.100,0:03:07.990
Отже, f(1).

0:03:07.990,0:03:10.080
Він дивиться на свої правила ось тут.

0:03:10.080,0:03:11.620
О, дивіться, Х = 1.

0:03:11.620,0:03:13.350
Я можу використати ось це правило!

0:03:13.350,0:03:15.520
Коли Х = 1, я видаю 2.

0:03:15.520,0:03:18.750
Отже, f(1) буде дорівнювати 2.

0:03:18.750,0:03:22.290
В цій ситуації я видаю f(1) = 2.

0:03:22.290,0:03:24.420
Це все і є функцією.

0:03:24.420,0:03:29.350
Пам'ятаючи все це, давайте розв'яжемо[br]декілька даних нам завдань.

0:03:29.350,0:03:31.620
Нам потрібно знайти значення наступних функцій,

0:03:31.620,0:03:35.010
погляньте на ці різні функції --

0:03:35.010,0:03:37.570
на ці різні ящики, які нам дано...

0:03:37.570,0:03:39.070
в цих різних точках.

0:03:39.070,0:03:42.800
Почнемо з першої функції.

0:03:42.800,0:03:47.880
Нам дано ящик f від х дорівнює -2х + 3.

0:03:47.880,0:03:51.790
Нам потрібно визначити, що буде, [br]якщо f = -3.

0:03:51.790,0:03:54.300
Отже, якщо f = -3, це каже мені,

0:03:54.300,0:03:55.430
що я маю робити з Х?

0:03:55.430,0:03:57.110
Що я отримаю?

0:03:57.110,0:04:00.060
Коли я бачу Х, я замінюю його на -3.

0:04:00.060,0:04:02.060
Тож будемо мати -2...

0:04:02.060,0:04:04.780
Давайте я буду робити це таким чином, щоб ви могли бачити те, що я роблю.

0:04:04.780,0:04:06.520
-3 я напишу напівжирним кольором.

0:04:06.520,0:04:13.130
Отже, -2 помножити на (-3) плюс 3.

0:04:13.130,0:04:16.149
Зауважте, там де було Х, я вписав -3.

0:04:16.149,0:04:19.250
Тепер я знаю, що видасть чорний ящик.

0:04:19.250,0:04:21.600
Результат буде дорівнювати: -2 помножити на (-3), що

0:04:21.600,0:04:25.640
дорівнює 6 плюс 3, що дає нам 9.

0:04:25.640,0:04:29.470
Тож, f(-3) = 9.

0:04:29.470,0:04:32.130
Як щодо f від 7?

0:04:32.130,0:04:36.340
Я зроблю теж саме ще один раз.[br]Сімка буде жовтою...

0:04:36.340,0:04:43.120
f (7) буде дорівнювати

0:04:43.120,0:04:50.160
-2 помножити на 7 плюс 3.

0:04:50.550,0:04:55.140
А це буде -14 + 3,

0:04:55.140,0:04:57.260
що дорівнює -11.

0:04:57.260,0:05:03.940
Хочу зробити це ще зрозумілішим.[br]Ви вкладаєте 7 сюди, в ящик,

0:05:03.940,0:05:11.060
в нашу функцію f і вона видає вам [br]результат -11.

0:05:11.060,0:05:13.310
Це те, що нам було сказано зробити.

0:05:13.310,0:05:14.760
Це є правилом.

0:05:14.760,0:05:18.470
Це повністю аналогічно тому, що я робив [br]ось тут.

0:05:18.470,0:05:20.980
Це правило нашої функції.

0:05:20.980,0:05:24.430
Давайте зробимо наступні два приклади.

0:05:24.430,0:05:25.200
Я не буду робити приклад (b).

0:05:25.200,0:05:26.330
Ви можете самі зробити (b) для розваги.

0:05:26.330,0:05:29.650
Я зроблю частину (с), [br]просто заради економії часу.

0:05:29.650,0:05:32.540
Тепер знайдемо f від 0.

0:05:32.540,0:05:33.810
Я напишу одним кольором.

0:05:33.810,0:05:35.300
Думаю, ви зрозуміли. f(0).

0:05:35.300,0:05:37.500
Там, де ми бачимо Х, підставляємо 0.

0:05:37.500,0:05:42.835
Отже, -2 помножити на 0 + 3.

0:05:43.100,0:05:44.345
Так, це в нас буде 0.

0:05:44.345,0:05:47.300
Тому f(0) буде 3.

0:05:47.300,0:05:49.000
І останній. f від z.

0:05:49.000,0:05:51.720
Це завдання абстрактне.

0:05:51.720,0:05:52.780
Я замаркерую його кольором.

0:05:52.780,0:05:55.800
Отже, f(z).

0:05:55.800,0:05:59.150
Нехай Z буде іншого кольору.

0:05:59.150,0:06:00.900
f(z).

0:06:00.900,0:06:06.210
Де б ми не побачили Х, ми тепер[br]повинні замінити

0:06:06.210,0:06:07.750
його на Z.

0:06:07.750,0:06:09.240
-2...

0:06:09.240,0:06:12.040
Замість Х ми збираємося підставити сюди z.

0:06:12.040,0:06:13.860
Підставляємо сюди помаранчеве Z.

0:06:13.860,0:06:19.760
-2 помножити на Z плюс 3.

0:06:19.760,0:06:24.330
Це і є наша відповідь. [br]f(z) = -2z+3

0:06:24.330,0:06:28.110
Уявіть собі наш ящик, функцію f.

0:06:28.110,0:06:39.840
Ви даєте їй Z, і на виході отримуєте [br]-2, що помножено на те, чим є Z і

0:06:39.840,0:06:44.290
плюс 3. Це все, про що нам говорить

0:06:44.290,0:06:45.010
запис функції.

0:06:45.010,0:06:47.830
Це завдання трішки більш абстрактне,[br]але ідея та ж сама.

0:06:47.830,0:06:52.030
Перейдемо до частини (с).

0:06:52.030,0:06:53.330
Давайте я видалю це все.

0:06:53.330,0:06:55.820
Я закінчив з попереднім завданням,

0:06:55.820,0:06:59.102
почистимо тут все.

0:06:59.102,0:07:02.910
Видаляю все це.

0:07:02.910,0:07:03.810
Ми можемо робити частину (с).

0:07:03.810,0:07:05.370
Я пропускаю частину (b).

0:07:05.370,0:07:07.710
Ви можете попрацювати над цією частиною.

0:07:07.710,0:07:10.830
Частиною (b).

0:07:10.830,0:07:13.430
Нам дано визначення функції.

0:07:13.430,0:07:16.680
Вибачте, я сказав, що ми займаємося [br]частиною (с).

0:07:16.680,0:07:18.610
Це визначення нашої функції.

0:07:18.610,0:07:26.300
f(x) дорівнює 5 помножити на 2 мінус х, [br]розділити на 11.

0:07:26.300,0:07:29.440
Давайте підставимо в функцію [br]ці значення Х,

0:07:29.440,0:07:32.620
всі ці різні вхідні дані.

0:07:32.620,0:07:39.900
f(-3) дорівнює 5 помножити на 2 мінус ... [br]коли ми бачимо Х, підставляємо

0:07:39.900,0:07:42.250
від'ємне 3.

0:07:42.250,0:07:45.620
2 мінус -3, розділити на 11.

0:07:45.620,0:07:48.700
Тут буде 2+3.

0:07:48.700,0:07:50.870
Що дорівнює 5.

0:07:50.870,0:07:53.260
Тож матимемо 5 помножити на 5, розділити на 11.

0:07:53.260,0:07:57.120
Отримуємо 25/11.

0:07:57.120,0:07:57.850
Тепер зробимо це.

0:07:57.850,0:07:59.990
f від 7.

0:07:59.990,0:08:06.680
Для цієї другої функції f(7) [br]дорівнюватиме 5 помножити на 2,

0:08:06.680,0:08:11.160
мінус ... тепер замість Х ми маємо [br]підставити 7...

0:08:11.160,0:08:14.360
2 мінус 7 і розділити на 11.

0:08:14.360,0:08:15.540
Чому це дорівнюватиме?

0:08:15.540,0:08:18.250
2 мінус 7 буде -5.

0:08:18.250,0:08:23.780
5 помножити на від'ємне 5 буде -25/11.

0:08:23.780,0:08:27.410
Залишилося ще два. f (0).

0:08:27.410,0:08:35.000
Це буде 5 помножити на 2 мінус 0, розділити на 11. Тоді тут просто 2.

0:08:35.000,0:08:36.130
5 помножити на 2 буде 10.

0:08:36.130,0:08:38.850
Отримали 10/11.

0:08:38.850,0:08:39.840
І ще один приклад.

0:08:39.840,0:08:43.059
f (z). Отже, кожного разу, коли

0:08:43.059,0:08:43.779
ми побачимо Х, нам треба

0:08:43.779,0:08:44.490
буде замінити Х на Z.

0:08:44.490,0:08:49.960
І отримаємо 5 помножити на 2 мінус Z,[br]розділити на 11.

0:08:49.960,0:08:50.630
Це і буде наша відповідь.

0:08:50.630,0:08:51.910
Ми можемо рознести 5.

0:08:51.910,0:08:57.210
Можна сказати, що це та ж сама [br]річ, що й 10 - 5z, поділені на 11.

0:08:57.210,0:09:00.260
Ми навіть можемо записати це у вигляді[br]окремих дробів.

0:09:00.260,0:09:06.000
Це така ж сама річ, як -5/11z плюс 10/11.

0:09:06.000,0:09:06.990
Все це еквівалентно.

0:09:06.990,0:09:10.430
Це те, чому дорівнює f(z).

0:09:10.430,0:09:11.590
Тепер...

0:09:11.590,0:09:15.510
Як я казав, функція - це коли ви даєте [br]мені будь-яке значення Х, а я повертаю

0:09:15.510,0:09:16.470
вам вихідні дані.

0:09:16.470,0:09:19.120
Даю вам f від Х.

0:09:19.120,0:09:23.040
Тож, якщо це наша функція, ви даєте [br]мені Х,

0:09:23.040,0:09:26.550
а вона повертає вам f(x).

0:09:26.550,0:09:29.680
Для кожного Х вона поверне вам єдине[br]f(x).

0:09:29.680,0:09:32.840
Не існує функції, яка б могла повернути[br]два можливих

0:09:32.840,0:09:34.700
значення для Х.

0:09:34.700,0:09:37.540
І у вас не може бути функції...

0:09:37.540,0:09:42.790
це було б неправильне визначення функції, якби f(x) дорівнювало 3, якщо

0:09:42.790,0:09:45.230
x дорівнює 0.

0:09:45.230,0:09:49.240
Або могло б дорівнювати 4, якщо x = 0.

0:09:49.240,0:09:53.170
Тому що в цій ситуації ми не знаємо, [br]чому дорівнює f(x).

0:09:53.170,0:09:54.090
Чому вона буде дорівнювати?

0:09:54.090,0:09:56.330
Сказано, що якщо х=0,[br]то f(x) повинно бути 3,

0:09:56.330,0:09:57.310
або... ми не знаємо

0:09:57.310,0:09:57.830
Ми не знаємо...

0:09:57.830,0:09:58.190
ми не знаємо...

0:09:58.190,0:10:01.550
Тож це не функція,

0:10:01.550,0:10:05.970
хоча виглядає як функція.

0:10:07.700,0:10:12.250
Отже, ви не можете мати два різні значення[br]f(x) для одного значення Х.

0:10:12.250,0:10:16.020
А тепер давайте подивимося, які з цих [br]графіків є функціями.

0:10:16.020,0:10:18.390
Щоб це з'ясувати, ви можете сказати:

0:10:18.390,0:10:21.850
"Подивимося на будь-яке значення Х і матимемо для [br]кожного лише одне значення f(x)"

0:10:21.850,0:10:25.090
Тут у нас Y, що дорівнює f(x).

0:10:25.090,0:10:28.950
В мене лише одне значення...

0:10:28.950,0:10:30.550
для цього Х тут я маю значення Y.

0:10:30.550,0:10:32.970
Ви можете використати тест вертикальної[br]лінії, який

0:10:32.970,0:10:35.720
для кожної точки, через яку ви проведете [br]лінію...

0:10:35.720,0:10:37.570
вертикальну лінію для окремого Х...

0:10:37.570,0:10:41.920
Тест покаже, що в цій точці я матиму [br]тільки одне значення Y.

0:10:41.920,0:10:43.630
Тому це дійсно функція.

0:10:43.630,0:10:46.240
Кожна проведена вами вертикальна лінія [br]перетинає

0:10:46.240,0:10:47.610
графік тільки один раз.

0:10:47.610,0:10:50.410
Тому це дійсна функція.

0:10:50.410,0:10:52.220
А що можна сказати про цей графік?

0:10:52.220,0:10:53.960
Я можу накреслити вертикальну лінію,

0:10:53.960,0:10:55.230
скажемо, ось в цій точці.

0:10:55.230,0:10:58.650
Для цього Х це відношення, здається,

0:10:58.650,0:11:00.860
має два можливих значення функції f(x).

0:11:00.860,0:11:04.550
f(x) може приймати це значення, або[br]може дорівнювати цьому значенню.

0:11:04.550,0:11:05.270
Чи не так?

0:11:05.270,0:11:07.520
Ми перетинаємо графік двічі.

0:11:07.520,0:11:08.840
Тому - це не функція.

0:11:08.840,0:11:11.150
Ми робимо саме те, що я описував ось тут.

0:11:11.150,0:11:15.090
Для окремого Х ми визначаємо два[br]можливих Y,

0:11:15.090,0:11:16.800
які дорівнюють f(x).

0:11:16.800,0:11:19.220
І тому це не функція.

0:11:19.220,0:11:20.830
Або тут, те ж саме.

0:11:20.830,0:11:22.310
Ви креслите тут вертикальну [br]лінію.

0:11:22.310,0:11:24.540
І перетинаєте графік двічі.

0:11:24.540,0:11:26.000
Це не є функцією.

0:11:26.000,0:11:30.590
У вас визначено два можливих значення Y [br]для одного значення Х.

0:11:30.590,0:11:31.490
Перейдемо до цієї.

0:11:31.490,0:11:33.160
Ця функція виглядає трохи дивно.

0:11:33.160,0:11:34.750
Немов маркер "галочка".

0:11:34.750,0:11:37.020
Але кожна вертикальна лінія перетне

0:11:37.020,0:11:38.720
графік лише один раз.

0:11:38.720,0:11:40.420
І тому це теж дійсна функція.

0:11:40.420,0:11:43.470
Для кожного Х ви маєте єдиний пов'язаний[br]з ним Y.

0:11:43.470,0:11:46.450
Іншими словами, єдине f(x), пов'язане[br]з вашим Х.

0:11:46.450,0:11:48.150
У будь-якому разі, сподіваюсь, вам [br]було цікаво.

0:11:48.158,0:11:48.928
Переклад на українську: Віра Дрига, рев'ювер: Юлія Білаш, благодійний фонд "Magneticone.org"