-
ในวิดีโอนี้, ผมอยากทำตัวอย่าง
เกี่ยวกับฟังก์ชันหน่อย
ฟังก์ชันมักเป็นสิ่งที่นักเรียนมากมายพบว่า
ยาก, แต่ผมว่าถ้าคุณเข้าใจว่าเราพูดถึง
อะไรกัน, คุณจะเห็นว่ามันเป็น
แนวคิดที่ตรงไปตรงมาทีเดียว
และคุณบางครั้งสงสัย, ว่าไอ้เจ้า
ฟังก์ชันนี่มันคืออะไรกัน?
ฟังก์ชันก็คือ, มันคือ
ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว
ถ้าผมบอกว่า y เป็นฟังก์ชันของ x, นั่น
หมายความว่า, คุณให้ค่า x ผมมา
คุณจะคิดว่าฟังก์ชันเหมือนเขมือบค่า x นี่เข้าไป
คุณโยนค่า x เข้าไปในฟังก์ชัน
ฟังก์ชันนี้ก็แค่เป็นแค่กฎ
มันจะบอกว่า, โอ้, ได้ x นั่นมา, ฉัน
จะให้ค่า y ออกมา
คุณอาจคิดว่ามันเป็นเหมือนกล่อง
-
นั่นคือฟังก์ชัน
ตอนผมให้ค่า x สักค่านึง, มันจะ
ให้ค่า y ออกมา
มันฟังดูเป็นนามธรรมหน่อย
x กับ y พวกนี้คืออะไร?
บางทีผมมีฟังก์ชัน -- ขอผมทำแบบนี้แล้วกัน
สมมุติว่าผมมีนิยามฟังก์ชัน
ว่าเป็นแบบนี้
สำหรับค่า x ใดๆ ที่คุณให้ผม, ผมจะให้ 1 ออกมาถ้า x
เท่ากับ -- ไม่รู้สิ -- 0
ผมจะให้ 2 ถ้า x เท่ากับ 1
และผมจะใช้ 3 ถ้าให้ค่าอื่นมา
-
ทีนี้เรานิยามสิ่งที่อยู่ในกล่องแล้ว
ลองวาดกล่องรอบมันขึ้นมา
นี่คือกล่องของเรา
นี่ก็แค่นิยามฟังก์ชันตามใจอันนึง, แต่
หวังว่าคุณคงเข้าใจว่าฟังก์ชัน
คืออะไรกัน
ทีนี้ ถ้าผมให้ x เท่ากับ -- ถ้าผมเลือก x เท่ากับ
7, ทีนี้ f ของ x จะเท่ากับอะไร?
f ของ 7 จะเท่ากับอะไร?
ผมก็เอา 7 ใส่เข้าไปในกล่อง
คุณอาจมองว่ามันเป็นคอมพิวเตอร์ก็ได้
คอมพิวเตอร์ดูเลข x นั่น แล้วดูกฎที่มันมี
มันบอกว่า, โอเค x เป็น 7
ทีนี้ x ไม่ใช่ 0 x ไม่ใช่ 1
ฉันก็ดูกรณีอื่น
แล้วฉันก็ปล่อย 3 ออกมา
ดังนั้น f ของ 7 เท่ากับ 3
เราเขียน f ของ 7 เท่ากับ 3
โดย f เป็นชื่อของฟังก์ชัน, ระบบกฎนี่, หรือ
ความสัมพันธ์นี้, การโยง, อะไรก็ได้
ที่คุณอยากเรียก
เมื่อคุณให้ค่า 7 กับมัน, มันจะให้ 3 ออกมา
เมื่อคุณให้ 7 กับ f, มันจะให้ 3 ออกมา
แล้ว f ของ 2 คืออะไร?
ทีนี้, มันหมายความว่า แทนที่ x เท่ากับ 7, ผมจะ
ใส่ x เท่ากับ 2 ให้มัน
แล้วคอมพิวเตอร์เล็กๆ ข้างในฟังก์ชันจะ
บอกว่า, โอเค, ลองดู, เมื่อ x เท่ากับ 2
ไม่ใช่สิ, ผมยังอยู่ในกรณีอื่น
x ไม่ใช่ 0 หรือ 1
เหมือนเดิม f ของ x เท่ากับ 3
-
นี่ก็คือ f ของ 2 เท่ากับ 3 เหมือนกัน
ทีนี้เกิดอะไรขึ้นถ้า x เท่ากับ 1?
ทีนี้มันจะมาตรงนี้
f ของ 1
มันจะมาดูที่กฎตรงนี้
โอ้ ดูสิ, x เท่ากับ 1
ฉันสามารถใช้กฎได้แล้ว
เมื่อ x เท่ากับ 1, ฉันก็ปล่อย 2 ออกมา
ดังนั้น f ของ 1 จะเท่ากับ 2
ฉันจะปล่อย f ของ 1, ซึ่งเท่ากับ 2 ออกมาในกรณีนั้น
นั่นคือเรื่องทั้งหมดของฟังก์ชัน
ทีนี้, เก็บเรื่องนี้ไว้ในใจ, แล้วลองทำโจทย์
ตัวอย่างกัน เขาบอกว่าเราแต่ละฟังก์ชัน
ต่อไปนี้, จงหาค่าฟังก์ชันต่างๆ --
พวกนี้คือกล่องต่างๆ ที่เขาสร้างขึ้นมา -- ที่
จุดต่างๆ
ลองทำตอน a ก่อน เขากำหนดกล่องขึ้นมา
f ของ x เท่ากับลบ 2x บวก 3
เขาอยากรู้ว่าเกิดอะไรขึ้นกับ f ของลบ 3
ทีนี้ f ของลบ 3, นี่บอกเราว่า
เราต้องทำยังไงกับ x?
ผมจะได้อะไร?
เมื่อไหร่ก็ตามที่ผมเจอ x, ผมก็แทนที่มันด้วยลบ 3
มันก็จะเท่ากับ ลบ 2
ขอผมทำแบบนี้แล้วกัน, คุณจะได้เห็นว่าผมทำอะไรอยู่
ลบ 3 นั่น, ผมจะใช้สีเข้ม
มันลบลบ 2 คูณลบ 3 บวก 3
สังเกตว่าเมื่อไหร่ก็ตามที่มี x, ผมจะใส่ ลบ 3 ลงไป
ผมก็รู้ว่ากล่องปริศนานี้จะตอบอะไรออกมา
นี่จะเท่ากับ ลบ 2 คูณลบ 3
ได้ 6 บวก 3, ซึ่งเท่ากับ 9
ดังนั้น f ของลบ 3 เท่ากับ 9
แล้ว f ของ 7 ล่ะ?
ผมจะทำเหมือนเดิมอีกครั้งนึง -- ผมจะใช้ 7
เป็นสีเหลืองนะ -- f ของ 7 จะเท่ากับลบ 2
คูณ 7 บวก 3
-
แล้วนี่เท่ากับลบ 14 บวก 3, ซึ่งเท่ากับ
ลบ 11
คุณใส่ลงใน -- ขอผมทำให้ชัดเจนที่สุดเลย -- คุณใส่ 7
ลงในฟังก์ชันของเรา f ตรงนี้ แล้วมันก็ปล่อยค่าลบ 11 ออกมา
นั่นคือสิ่งที่นี่บอกเราตรงนี้
นี่คือกฎ
นี่ก็เหมือนกับสิ่งที่ผมทำตรงนี้เป๊ะ
นี่คือกฎของฟังก์ชัน
ลองทำสองอันต่อไปกัน
ผมจะไม่ทำข้อ b
คุณเก็บตอน b เล่นๆ แล้วกัน
ผมจะทำตอน c หลังจากนั้น, เป็นเรื่องของเวลา
ทีนี้เราอยู่ที่ f ของ 0
ตรงนี้ผมจะใช้สีเดียวนะ
ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว f ของ 0
เมื่อไหร่ก็ตามที่เราเห็น x, เราก็ใส่ 0 ลงไป
ได้ ลบ 2 คูณ 0 บวก 3
-
ทีนี้, นั่นจะเป็น 0
แล้ว f ของ 0 เป็ฯ 3
แล้วอันสุดท้าย f ของ z
เขาพยายามทำให้มันเป็นนามธรรม
ผมจะใช้สีบอกความหมายแล้วกัน
ทีนี้ f ของ z
ขอผมใช้ z อีกสีนึงนะ
f ของ z
ทุกที่ที่เราเห็น x ตอนนี้เราจะ
แทนมันด้วย z
ลบ 2
แทนที่จะใส่ x, เราก็ใส่ z ตรงนี้
เราจะใส่ z สีส้มตรงนี้
ลบ 2 คูณ z บวก 3
และนั่นคือคำตอบเรา f ของ z เท่ากับ ลบ 2z บวก 3
ถ้าคุณจินตนาการกล่องขึ้นมา, ฟังก์ชัน f
คุณใส่ z ลงไป, คุณก็จะได้ ลบ 2
คูณค่า z อะไรก็ตาม แล้วบวก 3
นั่นคือสิ่งที่มันบอก
มันดูเป็นนามธรรมหน่อย, แต่ว่าแนวคิดเหมือนเดิม
ทีนี้ลองทำตอน c ตรงนี้ดู
ขอผมลบนี่หน่อยนะ
ผมไม่มีที่แล้ว
ขอผมลบเจ้าพวกนี้ก่อน
เราทำตอน c ได้แล้ว
ผมจะข้ามตอน b ไป
คุณทำตอนนั้นเองได้
ตอน b
เขาบอกเราว่า -- นี่คือนิยามฟังก์ชัน
โทษที, ผมบอกว่าผมจะทำตอน c
นี่คือนิยามฟังก์ชันของเรา
f ของ x เท่ากับ 5 คูณ 2 ลบ x ส่วน 11
ลองแทนค่า x ต่างๆ ดู, ค่า
นำเข้าต่างๆ ไปในฟังก์ชัน
งั้น f ของลบ 3 เท่ากับ 5 คูณ 2 ลบ -- เมื่อไหร่ก็ตาม
ที่เจอ x, เราก็ใส่ลบ 3 ลงไป
2 ลบ ลบ 2 บวก 11
นี่เท่ากับ 2 บวก 3
นี่เท่ากับ 5
แล้วคุณได้ 5 คูณ 5 ส่วน 11
นั่นเท่ากับ 25/11
ลองทำอันนี้ดู
f ของ 7
สำหรับฟังก์ชันที่สองตรงนี้, f ของ 7 เท่ากับ 5
คูณ 2 ลบ -- ทีนี้ค่า x เราได้ 7
2 ลบ 7 ส่วน 11
นี่จะเท่ากับอะไร?
2 ลบ 7 ได้ลบ 5
5 คูณลบ 5 ได้ ลบ 25/11
แล้วสุดท้าย, เรามีอีกสองตัว f ของ 0
นั่นเท่ากับ 5 คูณ 2 ลบ 0 แล้วนี่ก็แค่ 2
5 คูณ 2 ได้ 10
นี่เลยเท่ากับ 10/11
อีกอันนึง
f ของ z
ทุกครั้งที่เราเจอ x, เราก็
แทนมันด้วย z
มันเท่ากับ 5 คูณ 2 ลบ z ส่วน 11
นั่นก็คือคำตอบ
เรากระจาย 5 เข้าไปได้
คุณก็บอกว่านี่ก็เหมือนกับ 10 ลบ 5z ส่วน 11
เราเขียนมันในรูปความชัน-ค่าตัดแกนก็ได้
มันก็เหมือนกับ ลบ 5/11 z บวก 10/11
มันเหมือนกันหมด
และนั่นก็คือค่าของ f ของ z
ทีนี้
ฟังก์ชัน, เราบอกว่า, ถ้าคุณให้ค่า x มาค่าหนึ่ง, ผม
จะบอกผลลัพธ์ให้
ผมจะให้ค่า f ของ x แก่คุณ
และถ้านี่คือฟังก์ชันของ x, คุณให้ค่า x, มันจะ
สร้าง f ของ x ออกมา
มันสามารถให้ f ของ x สำหรับ x แต่ละตัวได้ค่าเดียว
คุณไม่สามารถมีฟังก์ชันที่ให้ค่าสองค่า
จาก x ตัวเดียวได้
คุณไม่สามารถมีฟังก์ชัน -- มันจะผิด
นิยามฟังก์ชัน -- f ของ x เท่ากับ 3 ถ้า
x เท่ากับ 0
หรือมันอาจเท่ากับ 4 ถ้า x เท่ากับ 0
เพราะในกรณีนี้, เราไม่รู้ว่า f ของ 0 คืออะไร
มันจะเท่ากับอะไร?
มันบอกว่า ถ้า x เท่ากับ 0ฅ มันควรเป็น 3 หรือมันควร--
เราไม่รู้
นี่ไม่ใช่ฟังก์ชันแม้ว่ามัน
จะดูเหมือนฟังก์ชัน
-
คุณไม่สามารถมีค่า f ของ x ถึงสองค่าจากค่า x ค่าเดียว
ลองดูว่ากราฟเหล่านี้อันไหนเป็นฟังก์ชัน
เวลาหา, คุณก็บอกว่า, ดูที่ค่า x ใดๆ
ตรงนี้ -- เลือกค่า x ขึ้นมา -- ฉันต้องได้ค่า f ของ x ค่าเดียว
นี่คือ y เท่ากับ f ของ x ตรงนี้
ผมมีแค่ค่าเดียว -- ที่ x นั่น,
นั่นคือค่า y ตรงนี้
หรือคุณอาจลากเส้นดิ่งทดสอบ, ซึ่งบอกว่า ณ
จุดใดๆ ถ้าคุณลากเส้นดิ่ง -- สังเกตว่าเส้นดิ่ง
คือค่า x ค่าหนึ่ง
มันแสดงว่าผมมีค่า y ณ จุดนั้นเพียงค่าเดียว
นี่เลยเป็นฟังก์ชันตามนิยาม
เมื่อไหร่ก็ตามที่คุณลากเส้นดิ่ง, มันจะตัด
กราฟครั้งเดียวเสมอ
นี่เลยเป็นฟังก์ชันจริง
ทีนี้แล้วอันนี้ล่ะ?
ผมสามารถลากเส้นดิ่ง, สมมติว่า,
ที่จุดนั่นตรงนั้น
สำหรับค่า x นั่น, ความสัมพันธ์นี้มี
ค่า f ของ x เป็นไปได้สองค่า
f ของ x อาจเป็นค่านั้น หรือ f ของ x อาจเป็นค่านั้น
จริงไหม?
มันตัดกราฟสองครั้ง
นี่เลยไม่ใช่ฟังก์ชัน
ผมทำสิ่งที่ผมบรรยายไว้ตรงนี้
สำหรับค่า x ค่าหนึ่ง, เรากำลังบอกว่ามีค่า y
สองค่าที่เท่ากับ f ของ x ได้
นี่เลยไม่ใช่ฟังก์ชัน
ตรงนี้, ก็เหมือนกัน
คุณลากเส้นดิ่งตรงนี้
คุณตัดกราฟสองที
นี่เลยไม่ใช่ฟังก์ชัน
คุณกำนหดค่า y เป็นไปได้ถึงสองค่าสำหรับค่า x ค่าเดียว
ลองทำฟังก์ชันนี้บ้าง
มันเหมือนฟังก์ชันหน้าตาประหลาด
ดูเหมือนเครื่องหมายถูกกลับหัว
แต่ทุกครั้งที่คุณลากเส้นดิ่ง, คุณจะตัด
แก้ครั้งเดียว
มันเลยเป็นฟังก์ชัน
ทุกๆ x, คุณมีค่า y จับคู่ได้ค่าเดียว
หรือจับคู่ค่า f ของ x ได้ค่าเดียวเท่านั้น
เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงได้ประโยชน์บ้างนะ