1
00:00:00,620 --> 00:00:04,610
Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk,

2
00:00:04,610 --> 00:00:10,108
ami valahogy így néz ki.
Ezek a csúcsai: A, B, C.

3
00:00:10,120 --> 00:00:12,500
A lehető legkevesebb
információt akarom megadni,

4
00:00:12,500 --> 00:00:14,375
vagyis szeretnék megfogalmazni néhány
követelményt,

5
00:00:14,375 --> 00:00:17,330
amelyeket arra használhatnánk,
hogy egy másik háromszögről

6
00:00:17,330 --> 00:00:20,140
megállapítsuk, hasonló-e az ABC-hez.

7
00:00:20,140 --> 00:00:21,990
Azt már tudjuk,

8
00:00:21,990 --> 00:00:25,650
hogy ha mindhárom megfelelő szög

9
00:00:25,650 --> 00:00:27,604
ugyanakkora, mint az 
ABC háromszögben,

10
00:00:27,604 --> 00:00:29,770
akkor egybevágó háromszögekkel 
van dolgunk.

11
00:00:29,770 --> 00:00:32,600
Legyen például ez itt 30 fok,

12
00:00:32,600 --> 00:00:35,365
ez a szög 90, és ez a szög itt

13
00:00:35,365 --> 00:00:36,730
60 fok.

14
00:00:36,730 --> 00:00:38,130
És legyen ez egy másik háromszög,

15
00:00:38,130 --> 00:00:42,210
ami így néz ki, és nyilvánvalóan
egy kisebb háromszög,

16
00:00:42,210 --> 00:00:44,050
de a megfelelő szögei ugyanakkorák.

17
00:00:44,050 --> 00:00:46,530
Ez itt 30 fok,

18
00:00:46,530 --> 00:00:49,610
ez 90 fok és ez 60 fok.

19
00:00:49,610 --> 00:00:56,710
És tudjuk, hogy ez az XYZ háromszög
hasonló lesz az ABC háromszöghöz.

20
00:00:56,710 --> 00:01:00,840
Abból tudjuk ezt, hogy
a megfelelő szögek

21
00:01:00,840 --> 00:01:03,040
ugyanakkorák, és emiatt

22
00:01:03,040 --> 00:01:09,807
az ABC háromszög és az 
XYZ háromszög hasonlóak.

23
00:01:09,807 --> 00:01:11,490
Ehhez persze helyes sorrendben kell

24
00:01:11,490 --> 00:01:12,914
az egyes szögeket megfeleltetni.

25
00:01:12,914 --> 00:01:15,300
Y felel meg a 90 fokos szögnek,

26
00:01:15,300 --> 00:01:16,900
X felel meg a 30 fokos szögnek,

27
00:01:16,900 --> 00:01:18,480
A felel meg a 30 fokos szögnek,

28
00:01:18,480 --> 00:01:20,520
tehát A és X az első két dolog.

29
00:01:20,520 --> 00:01:22,810
B és Y a 90 fokos csúcsok, 
ezek a másodikok,

30
00:01:22,810 --> 00:01:24,710
és aztán Z a harmadik.

31
00:01:24,710 --> 00:01:27,210
Ez az, amit már ismerünk,
ha megvan a három szög.

32
00:01:27,210 --> 00:01:28,650
De valóban szükség van-e
a három szögre?

33
00:01:28,650 --> 00:01:31,990
Vajon ha csak két szöget ismernénk,
az elég lenne-e?

34
00:01:31,990 --> 00:01:34,370
Nyilván, hiszen ha ismerjük
egy háromszög két szögét,

35
00:01:34,370 --> 00:01:35,520
akkor ismerjük a harmadikat is.

36
00:01:35,520 --> 00:01:40,500
Tehát ha például van itt
egy másik háromszögünk,

37
00:01:40,500 --> 00:01:44,000
ami így néz ki,

38
00:01:44,000 --> 00:01:46,860
és azt mondanám neked, hogy
csak két megfelelő szögük

39
00:01:46,860 --> 00:01:47,910
azonos nagyságú.

40
00:01:47,910 --> 00:01:52,240
Mondjuk ez a szög megegyezik
ezzel a szöggel,

41
00:01:52,240 --> 00:01:56,020
és ez a szög itt
ugyanakkora, mint ez a szög.

42
00:01:56,020 --> 00:01:59,430
Elegendő-e ez ahhoz, hogy azt mondhassuk,
hogy a két háromszög hasonló?

43
00:01:59,430 --> 00:01:59,930
Hát persze.

44
00:01:59,930 --> 00:02:02,650
Hiszen ha egy háromszögnek
ismerjük két szögét,

45
00:02:02,650 --> 00:02:05,400
akkor tudjuk, hogy mekkorának
kell lennie a harmadik szögnek.

46
00:02:05,400 --> 00:02:08,250
Ha tudjuk, hogy ez a szög 30 fok,
és ez a szög 90 fok,

47
00:02:08,250 --> 00:02:11,000
akkor már tudjuk, hogy
ennek a szögnek 60 fokosnak kell lennire.

48
00:02:11,000 --> 00:02:14,400
Akármekkora ez a két szög,
kivonod őket a 180-ból,

49
00:02:14,400 --> 00:02:16,950
és akkora lesz ez a szög.

50
00:02:16,950 --> 00:02:19,380
Általánosságban, a hasonlóság
bizonyításához

51
00:02:19,380 --> 00:02:24,010
nincs szükség mindhárom szög
azonosságának megmutatásához,

52
00:02:24,010 --> 00:02:26,820
elegendő két szög azonosságát megmutatni.

53
00:02:26,820 --> 00:02:30,720
Ez lesz tehát az első kritériumunk
vagy feltételünk.

54
00:02:30,720 --> 00:02:32,440
A két-két szög páronként egyenlő.
Szög-szög feltétel.

55
00:02:32,440 --> 00:02:36,259
Ha be tudod bizonyítani, hogy 
két-két szög páronként egyenlő,

56
00:02:36,259 --> 00:02:38,620
akkor a háromszögek hasonlóak.

57
00:02:38,620 --> 00:02:41,760
Például, ha számokkal akarjuk
megnézni,

58
00:02:41,760 --> 00:02:46,920
és ez itt 30 fok volt,
és tudjuk, hogy ebben a háromszögben

59
00:02:46,920 --> 00:02:48,890
ez a szög 90 fokos,

60
00:02:48,890 --> 00:02:50,820
akkor már tudjuk, hogy 
ez a háromszög

61
00:02:50,820 --> 00:02:52,670
hasonló ehhez.

62
00:02:52,670 --> 00:02:55,560
És akkor már kijelentheted
a harmadik szögről,

63
00:02:55,560 --> 00:02:57,130
magától értetődően,

64
00:02:57,130 --> 00:02:58,840
hogy ez a harmadik szög 60 fokos,

65
00:02:58,840 --> 00:03:00,780
és így mindhárom szög 
páronként megegyezik.

66
00:03:00,780 --> 00:03:03,870
Ez tehát az első feltétele a 
hasonlóságnak.

67
00:03:03,870 --> 00:03:06,320
A másik dolog, amit ismerünk
a hasonlóságról,

68
00:03:06,320 --> 00:03:08,910
hogy a megfelelő oldalak hosszának

69
00:03:08,910 --> 00:03:11,140
aránya páronként megegyezik.

70
00:03:11,140 --> 00:03:15,060
Így például, ha van
egy másik derékszögű háromszögünk,

71
00:03:15,060 --> 00:03:18,720
rajzolok ide egy másik háromszöget,

72
00:03:18,720 --> 00:03:26,410
legyen ez az X-Y-Z háromszög.

73
00:03:26,410 --> 00:03:30,910
Tegyük fel, hogy ismerjük
az AB és az XY aránypárt,

74
00:03:30,910 --> 00:03:37,730
tehát ismerjük AB/XY értékét 
– ennek és ennek az oldalnak az arányát –

75
00:03:37,730 --> 00:03:40,410
és itt egyáltalán nem azt mondjuk,
hogy ezek hosza megegyezne.

76
00:03:40,410 --> 00:03:41,810
Csak az arányukat vizsgáljuk most.

77
00:03:41,810 --> 00:03:44,263
Azt mondjuk, hogy AB/XY

78
00:03:44,263 --> 00:03:50,240
az AB/XY = BC/YZ,

79
00:03:50,240 --> 00:03:53,950
azaz megegyezik BC/YZ-vel.

80
00:03:53,950 --> 00:04:04,370
Ez pedig megegyezik AC/XZ-vel.

81
00:04:04,370 --> 00:04:06,730
Tehát mégegyszer, ez is egy módja

82
00:04:06,730 --> 00:04:08,700
a hasonlóság meghatározásának.

83
00:04:08,700 --> 00:04:11,210
Tehát ha mindhárom
megfelelő oldal,

84
00:04:11,210 --> 00:04:13,600
a három megfelelő oldal hosszának aránya

85
00:04:13,600 --> 00:04:15,250
páronként megegyezik, akkor tudjuk,

86
00:04:15,250 --> 00:04:17,690
hogy hasonlók a háromszögeink.

87
00:04:17,690 --> 00:04:21,019
És ezt oldalhossz hasonlóságnak hívjuk.

88
00:04:21,019 --> 00:04:22,940
De ne keverjük ezt össze

89
00:04:22,940 --> 00:04:24,910
az oldalak egybevágóságával.

90
00:04:24,910 --> 00:04:29,644
Ezek tehát a hasonlósági
feltételeink,

91
00:04:29,644 --> 00:04:31,560
vagy axiómáink,

92
00:04:31,560 --> 00:04:32,934
és később majd ezekre építjük

93
00:04:32,934 --> 00:04:35,440
problémák megoldását
és más dolgok bizonyítását.

94
00:04:35,440 --> 00:04:37,640
Az egybevágóságnál az oldalhossz
elnevezés

95
00:04:37,640 --> 00:04:40,200
azt jelenti, hogy ott
a megfelelő oldalak hossza megegyezik.

96
00:04:40,200 --> 00:04:42,900
A hasonlóság esetén pedig az oldalhossz
elnevezés

97
00:04:42,900 --> 00:04:48,020
a megfelelő oldalak páronkénti
arányának megegyezésére utal.

98
00:04:48,020 --> 00:04:56,310
Tehát ha pl. ez itt 10,

99
00:04:56,310 --> 00:04:56,810
na nem,

100
00:04:56,810 --> 00:04:58,170
legyen ez egy nagyobb szám,

101
00:04:58,170 --> 00:05:01,660
mondjuk 60, ez itt 30,

102
00:05:01,660 --> 00:05:05,280
ez pedig 30-szor gyök 3.

103
00:05:05,280 --> 00:05:08,560
Csak azért választottam ezeket a számokat,
mert nemsokára látni fogjuk,

104
00:05:08,560 --> 00:05:12,393
hogy a 30-60-90 fokos háromszögek
milyen jellegzetes aránypárokat alkotnak.

105
00:05:12,530 --> 00:05:14,490


106
00:05:14,490 --> 00:05:19,270


107
00:05:19,270 --> 00:05:23,120


108
00:05:23,120 --> 00:05:27,260


109
00:05:27,260 --> 00:05:28,620


110
00:05:28,620 --> 00:05:31,700


111
00:05:31,700 --> 00:05:37,170


112
00:05:37,170 --> 00:05:39,020


113
00:05:39,020 --> 00:05:41,200


114
00:05:41,200 --> 00:05:42,741


115
00:05:42,741 --> 00:05:45,559


116
00:05:45,559 --> 00:05:47,100


117
00:05:47,100 --> 00:05:48,474


118
00:05:48,474 --> 00:05:50,725


119
00:05:50,725 --> 00:05:52,850


120
00:05:52,850 --> 00:05:54,870


121
00:05:54,870 --> 00:05:58,250


122
00:05:58,250 --> 00:06:00,060


123
00:06:00,060 --> 00:06:04,940


124
00:06:04,940 --> 00:06:08,000


125
00:06:08,000 --> 00:06:09,750


126
00:06:09,750 --> 00:06:12,300


127
00:06:12,300 --> 00:06:17,580


128
00:06:17,580 --> 00:06:24,780


129
00:06:24,780 --> 00:06:33,300


130
00:06:33,300 --> 00:06:39,410


131
00:06:39,410 --> 00:06:41,300


132
00:06:41,300 --> 00:06:45,860


133
00:06:45,860 --> 00:06:48,050


134
00:06:48,050 --> 00:06:48,580


135
00:06:48,580 --> 00:06:50,605


136
00:06:50,605 --> 00:06:52,370


137
00:06:52,370 --> 00:06:53,680


138
00:06:53,680 --> 00:06:56,920


139
00:06:56,920 --> 00:06:59,850


140
00:06:59,850 --> 00:07:07,430


141
00:07:07,430 --> 00:07:08,820


142
00:07:08,820 --> 00:07:11,390


143
00:07:11,390 --> 00:07:14,470


144
00:07:14,470 --> 00:07:20,300


145
00:07:20,300 --> 00:07:23,020


146
00:07:23,020 --> 00:07:28,390


147
00:07:28,390 --> 00:07:31,730


148
00:07:31,730 --> 00:07:33,940


149
00:07:33,940 --> 00:07:36,850


150
00:07:36,850 --> 00:07:39,690


151
00:07:39,690 --> 00:07:45,010


152
00:07:45,010 --> 00:07:48,610


153
00:07:48,610 --> 00:07:50,720


154
00:07:50,720 --> 00:07:55,360


155
00:07:55,360 --> 00:07:57,360


156
00:07:57,360 --> 00:08:00,750


157
00:08:00,750 --> 00:08:02,440


158
00:08:02,440 --> 00:08:03,980


159
00:08:03,980 --> 00:08:09,490


160
00:08:09,490 --> 00:08:16,590


161
00:08:16,590 --> 00:08:21,200


162
00:08:21,200 --> 00:08:23,640


163
00:08:23,640 --> 00:08:25,210


164
00:08:25,210 --> 00:08:28,640


165
00:08:28,640 --> 00:08:30,140


166
00:08:30,140 --> 00:08:32,306


167
00:08:32,306 --> 00:08:35,270


168
00:08:35,270 --> 00:08:38,125


169
00:08:41,179 --> 00:08:44,110


170
00:08:44,110 --> 00:08:45,740


171
00:08:45,740 --> 00:08:47,550


172
00:08:47,550 --> 00:08:55,240


173
00:08:55,240 --> 00:08:57,240


174
00:08:57,240 --> 00:09:01,820


175
00:09:01,820 --> 00:09:04,660


176
00:09:04,660 --> 00:09:08,390


177
00:09:08,390 --> 00:09:11,640


178
00:09:11,640 --> 00:09:14,180


179
00:09:14,180 --> 00:09:15,060


180
00:09:15,060 --> 00:09:18,570


181
00:09:18,570 --> 00:09:20,630


182
00:09:20,630 --> 00:09:24,830


183
00:09:24,830 --> 00:09:26,950


184
00:09:26,950 --> 00:09:33,100


185
00:09:33,100 --> 00:09:38,450


186
00:09:38,450 --> 00:09:42,410


187
00:09:42,410 --> 00:09:45,460


188
00:09:45,460 --> 00:09:47,480


189
00:09:47,480 --> 00:09:50,470


190
00:09:50,470 --> 00:09:52,470


191
00:09:52,470 --> 00:09:55,680


192
00:09:55,680 --> 00:09:58,260


193
00:09:58,260 --> 00:09:59,750


194
00:09:59,750 --> 00:10:01,310


195
00:10:01,310 --> 00:10:03,930


196
00:10:03,930 --> 00:10:06,169


197
00:10:06,169 --> 00:10:07,710


198
00:10:07,710 --> 00:10:10,840


199
00:10:10,840 --> 00:10:12,590


200
00:10:12,590 --> 00:10:14,548


201
00:10:14,548 --> 00:10:17,614


202
00:10:17,614 --> 00:10:19,280


203
00:10:19,280 --> 00:10:21,810


204
00:10:21,810 --> 00:10:23,920


205
00:10:23,920 --> 00:10:26,264


206
00:10:26,264 --> 00:10:27,680


207
00:10:27,680 --> 00:10:30,334


208
00:10:30,334 --> 00:10:32,000


209
00:10:32,000 --> 00:10:34,374


210
00:10:34,374 --> 00:10:36,100


211
00:10:36,100 --> 00:10:39,140


212
00:10:41,700 --> 00:10:44,450


213
00:10:44,450 --> 00:10:49,380


214
00:10:49,380 --> 00:10:51,900


215
00:10:51,900 --> 00:10:55,960


216
00:10:55,960 --> 00:10:58,100


217
00:10:58,100 --> 00:11:00,460


218
00:11:00,460 --> 00:11:03,240


219
00:11:03,240 --> 00:11:08,320


220
00:11:08,320 --> 00:11:11,920


221
00:11:11,920 --> 00:11:13,920


222
00:11:13,920 --> 00:11:16,110


223
00:11:16,110 --> 00:11:18,910


224
00:11:18,910 --> 00:11:21,060


225
00:11:21,060 --> 00:11:22,930


226
00:11:22,930 --> 00:11:24,430


227
00:11:24,430 --> 00:11:26,646


228
00:11:26,646 --> 00:11:31,324


229
00:11:31,324 --> 00:11:32,990


230
00:11:32,990 --> 00:11:34,740


231
00:11:34,740 --> 00:11:36,490


232
00:11:36,490 --> 00:11:38,780


233
00:11:38,780 --> 00:11:40,080


234
00:11:40,080 --> 00:11:41,700


235
00:11:41,700 --> 00:11:44,390


236
00:11:44,390 --> 00:11:46,940


237
00:11:46,940 --> 00:11:48,890


238
00:11:48,890 --> 00:11:51,060


239
00:11:51,060 --> 00:11:53,580


240
00:11:53,580 --> 00:11:55,760


241
00:11:55,760 --> 00:11:58,694


242
00:11:58,694 --> 00:12:01,110


243
00:12:01,110 --> 00:12:03,190


244
00:12:03,190 --> 00:12:06,274


245
00:12:06,274 --> 00:12:07,940


246
00:12:07,940 --> 00:12:09,390


247
00:12:09,390 --> 00:12:11,400


248
00:12:11,400 --> 00:12:13,272