Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk,
ami valahogy így néz ki. Ezek a csúcsai: A, B, C.
A lehető legkevesebb információt akarom megadni,
vagyis szeretnék megfogalmazni néhány követelményt,
amelyeket arra használhatnánk, hogy egy másik háromszögről
megállapítsuk, hasonló-e az ABC-hez.
Azt már tudjuk,
hogy ha mindhárom megfelelő szög
ugyanakkora, mint az ABC háromszögben,
akkor egybevágó háromszögekkel van dolgunk.
Legyen például ez itt 30 fok,
ez a szög 90, és ez a szög itt
60 fok.
És legyen ez egy másik háromszög,
ami így néz ki, és nyilvánvalóan egy kisebb háromszög,
de a megfelelő szögei ugyanakkorák.
Ez itt 30 fok,
ez 90 fok és ez 60 fok.
És tudjuk, hogy ez az XYZ háromszög hasonló lesz az ABC háromszöghöz.
Abból tudjuk ezt, hogy a megfelelő szögek
ugyanakkorák, és emiatt
az ABC háromszög és az XYZ háromszög hasonlóak.
Ehhez persze helyes sorrendben kell
az egyes szögeket megfeleltetni.
Y felel meg a 90 fokos szögnek,
X felel meg a 30 fokos szögnek,
A felel meg a 30 fokos szögnek,
tehát A és X az első két dolog.
B és Y a 90 fokos csúcsok, ezek a másodikok,
és aztán Z a harmadik.
Ez az, amit már ismerünk, ha megvan a három szög.
De valóban szükség van-e a három szögre?
Vajon ha csak két szöget ismernénk, az elég lenne-e?
Nyilván, hiszen ha ismerjük egy háromszög két szögét,
akkor ismerjük a harmadikat is.
Tehát ha például van itt egy másik háromszögünk,
ami így néz ki,
és azt mondanám neked, hogy csak két megfelelő szögük
azonos nagyságú.
Mondjuk ez a szög megegyezik ezzel a szöggel,
és ez a szög itt ugyanakkora, mint ez a szög.
Elegendő-e ez ahhoz, hogy azt mondhassuk, hogy a két háromszög hasonló?
Hát persze.
Hiszen ha egy háromszögnek ismerjük két szögét,
akkor tudjuk, hogy mekkorának kell lennie a harmadik szögnek.
Ha tudjuk, hogy ez a szög 30 fok, és ez a szög 90 fok,
akkor már tudjuk, hogy ennek a szögnek 60 fokosnak kell lennire.
Akármekkora ez a két szög, kivonod őket a 180-ból,
és akkora lesz ez a szög.
Általánosságban, a hasonlóság bizonyításához
nincs szükség mindhárom szög azonosságának megmutatásához,
elegendő két szög azonosságát megmutatni.
Ez lesz tehát az első kritériumunk vagy feltételünk.
A két-két szög páronként egyenlő. Szög-szög feltétel.
Ha be tudod bizonyítani, hogy két-két szög páronként egyenlő,
akkor a háromszögek hasonlóak.
Például, ha számokkal akarjuk megnézni,
és ez itt 30 fok volt, és tudjuk, hogy ebben a háromszögben
ez a szög 90 fokos,
akkor már tudjuk, hogy ez a háromszög
hasonló ehhez.
És akkor már kijelentheted a harmadik szögről,
magától értetődően,
hogy ez a harmadik szög 60 fokos,
és így mindhárom szög páronként megegyezik.
Ez tehát az első feltétele a hasonlóságnak.
A másik dolog, amit ismerünk a hasonlóságról,
hogy a megfelelő oldalak hosszának
aránya páronként megegyezik.
Így például, ha van egy másik derékszögű háromszögünk,
rajzolok ide egy másik háromszöget,
legyen ez az X-Y-Z háromszög.
Tegyük fel, hogy ismerjük az AB és az XY aránypárt,
tehát ismerjük AB/XY értékét – ennek és ennek az oldalnak az arányát –
és itt egyáltalán nem azt mondjuk, hogy ezek hosza megegyezne.
Csak az arányukat vizsgáljuk most.
Azt mondjuk, hogy AB/XY
az AB/XY = BC/YZ,
azaz megegyezik BC/YZ-vel.
Ez pedig megegyezik AC/XZ-vel.
Tehát mégegyszer, ez is egy módja
a hasonlóság meghatározásának.
Tehát ha mindhárom megfelelő oldal,
a három megfelelő oldal hosszának aránya
páronként megegyezik, akkor tudjuk,
hogy hasonlók a háromszögeink.
És ezt oldalhossz hasonlóságnak hívjuk.
De ne keverjük ezt össze
az oldalak egybevágóságával.
Ezek tehát a hasonlósági feltételeink,
vagy axiómáink,
és később majd ezekre építjük
problémák megoldását és más dolgok bizonyítását.
Az egybevágóságnál az oldalhossz elnevezés
azt jelenti, hogy ott a megfelelő oldalak hossza megegyezik.
A hasonlóság esetén pedig az oldalhossz elnevezés
a megfelelő oldalak páronkénti arányának megegyezésére utal.
Tehát ha pl. ez itt 10,
na nem,
legyen ez egy nagyobb szám,
mondjuk 60, ez itt 30,
ez pedig 30-szor gyök 3.
Csak azért választottam ezeket a számokat, mert nemsokára látni fogjuk,
hogy a 30-60-90 fokos háromszögek milyen jellegzetes aránypárokat alkotnak.