Więc tak jak ja, znowu siedzisz na zajęciach z matematyki
bo musisz. Jak właściwie co dzień.
I uczysz się, no nie wiem.
o sumach nieskończonych ciągów.
To jest temat z liceum, prawda?
Co zabawne, to naprawdę świetny temat,
ale w jakiś sposób potrafią go zupełnie popsuć.
Pewnie tylko dlatego jest w ogóle ujęty w programie.
Więc, z całkiem zrozumiałej potrzeby odwrócenia uwagi
rysujesz i myślisz bardziej nad tym
jak odmieniać słowo "ciąg" (ang. "series")
niż o temacie zajęć.
Ciąg, ciagiem,
ciągu, ciągami, ciągach.
Przy powtarzaniu w kółko to słowo traci sens.
Dlaczego w ogóle mielibyśmy je deklinować? [nieprzekładalne gry słowne]
Ale sam pomysł takiej konstrukcji
1/2 +1/4 +1/8 +1/16 i tak dalej, zbliżając się do jedynki
jest przydatny jeśli chcesz narysować rząd słoni,
które trzymają się nawzajem za ogonki.
Normalny słoń, młody słoń,
słoniątko, słoń w psim rozmiarze, słoń w szczenięcym rozmiarze...
Co jest przynajmniej maleńko niesamowite,
ponieważ w tym rzędzie będzie nieskończona liczba słoni
i wszystkie można pomieścić na tej jednej kartce.
Pozostaje jednak pytanie
"Co jeśli zaczniemy od wielbłąda,
który będąc mniejszym od słonia,
zajmuje tylko jedną trzecią strony?"
Jak duzy powinien byc następny wielbłąd,
żeby zapełniły w zupełności całą stronę.
Moglibyśmy to oczywiście policzyć,
i to cudowne, że jesteśmy w stanie to zrobić,
ale w tej chwili naprawdę nie mam ochoty na obliczenia,
więc wróćmy do wielbłądów.
Weźmy fraktal.
Zaczynamy z okręgami,
wewnatrz okręgu
i zawsze rysujemy największy możliwy okrąg,
który mieści się między poprzednimi.
Taki fraktal nosi nazwę "Apollonian Gasket",
czyli "uszczelka Apoloniusza".
Możemy zacząć od innego ułożenia i zakończyć podobnym fraktalem.
Jest dobrze znany w pewnych kręgach,
ponieważ posiada ciekawe własności
włączając względną krzywiznę okręgów,
która nie tylko jest całkiem gustowna,
ale również przywodzi mi na myśl
genialna grę rysunkową.
Krok pierwszy:
narysuj DOWOLNĄ figurę.
Krok drugi:
narysuj NAJWIĘKSZY wpisany w nią okrąg.
Krok trzeci:
narysuj największy możliwy okrąg
w pozostałej części figury.
Krok czwarty:
powtórz Krok trzeci.
Jeśli tylko zostanie miejsce po narysowaniu pierwszego okręgu,
czyli jeśli nie zaczniesz od koła,
zamienisz w ten sposób każdą figurę we fraktal.
Możesz tak zrobić z trójkątami,
możesz tak zrobić z gwiazdami, nie zapomnij ich ozdobić!
Możesz to zrobić ze słoniami, wężami,
albo portretem jednego z Twoich znajomych.
Ja wybrałam Abrahama Lincolna.
Łał!
Dobrze, ale co z kształtami innymi niż okręgi?
Na przykład, trójkąty równoramienne.
Powiedzmy, wypełniające ten trójkąt, co działa
bo wypełniany trójkąt jest inaczej zorientowany,
niz wypełniające (a ich orientacja ma znaczenie).
i oto nasz rodzimy "Trójkąt Sierpińskiego"
Który, swoją drogą, również mógłby być pełen Abrahama Lincolna.
Trójkąty wydają się działać tu świetnie,
ale to jest szczególny przypadek,
a problem z trójkątami jest taki,
że nie zawsze gładko się wpasowują.
na przykład w ten rozlany kształt.
Największy trójkąt ma smutny, samotny kąt.
Jestem pewna, że to nie powstrzyma Was
przed radosnym rysowaniem,
ale wydaje mi się, że gra z kołami ma więcej elegancji.
A co jeśli moglibyśmy zmieniać orientację trójkątów,
żeby znaleźć największy?
Albo moglibyśmy używać innych niż równoboczny?
Dla wielokątów
gra kończy się całkiem szybko, nuda.
ale dla zakrzywionych, skomplikowanych kształtów
sam proces staje się znacznie trudniejszy.
Jak znaleźć największy trójkąt?
Nie zawsze jest oczywiste który z nich ma największe pole,
szczególnie przy nietypowej figurze.
To ciekawe pytanie,
ponieważ wiesz, że ISTNIEJE jedna właściwa odpowiedź,
ale jeśli spróbujesz napisać program,
który wypełni jakąś figurę określonymi kształtami,
według najprostszej nawet reguły,
możesz potrzebować solidnych podstaw geometrii obliczeniowej.
Jestem pewna, że można robić cuda
z trójkątami, kwadratami, a nawet słoniami,
ale koło jest tak świetne
ponieważ jest tak fantastycznie okrągłe
Krótkie pobocznie ćwiczenie:
Okrąg może być zdefiniowany przez trzy punkty,
narysuj trzy niezależne punkty,
i spróbuj znaleźć okrąg, do którego należą.
Jeszcze jedna rzecz, która intryguje mnie w grze w koła:
Jeśli tylko masz "kąt" tego typu,
wiesz, że można narysować
nieskończoną liczbę kół schodzących "wgłąb".
I każde z tych kół
Tworzy kilka nowych, mniejszych kątów,
które można wypełnić następnymi kołami.
Dostajesz nieprawdopodobną liczbę kół,
które pozwalają Ci tworzyć kolejne koła,
to pozwala sobie uzmysłowić jak gęsta jest nieskończoność.
Ale najbardziej zadziwiające jest to, że ten rodzaj nieskończoności
to najmniejszy policzalny rodzaj nieskończoności.
Są takie, które są o tyle bardziej nieskończone, że umysł zaczyna wariować.
Jeszcze jedna ciekawostka:
jeśli ten odcinek nazwiemy "Jedną Arbitralną Jednostką Długości",
To suma tego odcinka z tym i z tym...
Daje nieskończony szereg o sumie JEDEN.
A to inny dążący do jedynki,
i jeszcze jeden, i kolejny,
każdy, którego zewnętrzny kształt jest odpowiedni
będzie miał tę własność.
Ale jeśli potrzebujesz "prostego" ciągu
w którym średnice kolejnych kół
stanowią konkretny procent średnicy poprzedniego,
dostaniesz linię prostą. Co ma sens,
jeśli wiesz jak definiuje się nachylenie prostej.
To odkrywa przed nami CUDOWNIE prostą, matematyczną
i rysunkową drogę do rozwiązania naszego "wielbłądziego" problemu
nie wymagającą ŻADNYCH obliczeń.
Gdybyśmy zamiast wielbłądów wzięli koła,
moglibyśmy określić właściwy ciąg po prostu rysując kąt
Który kończy się tam gdzie strona, i wypełnić go kołami.
Zastąpmy koła wielbłądami i oto:
Nieskończona karawana
niknąca w oddali,
żadne licznie nie było konieczne!
Jest wciąż tyle spraw, o których chciałabym Wam powiedzieć
w ostatnim zdaniu, właściwie nieskończoność...
Może zmieszczę się w najbliższych pięciu sekundach,
jeśli każde następne zadanie będę mówić dwa razy szybciej,
niż poprzednie?
(bardzo bardzo przyśpieszona nieskończona liczba informacji)