1
00:00:00,467 --> 00:00:01,982
Więc tak jak ja, znowu siedzisz na zajęciach z matematyki
2
00:00:01,982 --> 00:00:04,104
bo musisz. Jak właściwie co dzień.
3
00:00:04,104 --> 00:00:05,105
I uczysz się, no nie wiem.
4
00:00:05,105 --> 00:00:06,803
o sumach nieskończonych ciągów.
5
00:00:06,803 --> 00:00:08,008
To jest temat z liceum, prawda?
6
00:00:08,008 --> 00:00:09,943
Co zabawne, to naprawdę świetny temat,
7
00:00:09,943 --> 00:00:11,945
ale w jakiś sposób potrafią go zupełnie popsuć.
8
00:00:11,945 --> 00:00:15,415
Pewnie tylko dlatego jest w ogóle ujęty w programie.
9
00:00:15,415 --> 00:00:17,569
Więc, z całkiem zrozumiałej potrzeby odwrócenia uwagi
10
00:00:17,569 --> 00:00:18,882
rysujesz i myślisz bardziej nad tym
11
00:00:18,882 --> 00:00:20,650
jak odmieniać słowo "ciąg" (ang. "series")
12
00:00:20,650 --> 00:00:22,325
niż o temacie zajęć.
13
00:00:22,325 --> 00:00:24,743
Ciąg, ciagiem,
14
00:00:24,743 --> 00:00:27,144
ciągu, ciągami, ciągach.
15
00:00:27,144 --> 00:00:28,813
Przy powtarzaniu w kółko to słowo traci sens.
16
00:00:28,813 --> 00:00:31,501
Dlaczego w ogóle mielibyśmy je deklinować? [nieprzekładalne gry słowne]
17
00:00:31,501 --> 00:00:33,393
Ale sam pomysł takiej konstrukcji
18
00:00:33,393 --> 00:00:36,573
1/2 +1/4 +1/8 +1/16 i tak dalej, zbliżając się do jedynki
19
00:00:36,573 --> 00:00:38,941
jest przydatny jeśli chcesz narysować rząd słoni,
20
00:00:38,941 --> 00:00:41,024
które trzymają się nawzajem za ogonki.
21
00:00:41,024 --> 00:00:42,223
Normalny słoń, młody słoń,
22
00:00:42,223 --> 00:00:44,621
słoniątko, słoń w psim rozmiarze, słoń w szczenięcym rozmiarze...
23
00:00:44,621 --> 00:00:46,556
słoniątko, słoń w psim rozmiarze, słoń w szczenięcym rozmiarze...
24
00:00:46,556 --> 00:00:48,602
Co jest przynajmniej maleńko niesamowite,
25
00:00:48,602 --> 00:00:50,204
ponieważ w tym rzędzie będzie nieskończona liczba słoni
26
00:00:50,204 --> 00:00:51,405
i wszystkie można pomieścić na tej jednej kartce.
27
00:00:51,405 --> 00:00:53,607
Pozostaje jednak pytanie
28
00:00:53,607 --> 00:00:55,175
"Co jeśli zaczniemy od wielbłąda,
29
00:00:55,175 --> 00:00:56,308
który będąc mniejszym od słonia,
30
00:00:56,308 --> 00:00:58,178
zajmuje tylko jedną trzecią strony?"
31
00:00:58,178 --> 00:00:59,633
Jak duzy powinien byc następny wielbłąd,
32
00:00:59,633 --> 00:01:01,948
żeby zapełniły w zupełności całą stronę.
33
00:01:01,948 --> 00:01:03,502
Moglibyśmy to oczywiście policzyć,
34
00:01:03,502 --> 00:01:05,003
i to cudowne, że jesteśmy w stanie to zrobić,
35
00:01:05,003 --> 00:01:06,805
ale w tej chwili naprawdę nie mam ochoty na obliczenia,
36
00:01:06,805 --> 00:01:08,306
więc wróćmy do wielbłądów.
37
00:01:08,306 --> 00:01:09,307
Weźmy fraktal.
38
00:01:09,307 --> 00:01:10,542
Zaczynamy z okręgami,
39
00:01:10,542 --> 00:01:11,443
wewnatrz okręgu
40
00:01:11,443 --> 00:01:12,878
i zawsze rysujemy największy możliwy okrąg,
41
00:01:12,878 --> 00:01:14,212
który mieści się między poprzednimi.
42
00:01:14,212 --> 00:01:16,882
Taki fraktal nosi nazwę "Apollonian Gasket",
43
00:01:16,882 --> 00:01:18,774
czyli "uszczelka Apoloniusza".
44
00:01:18,774 --> 00:01:20,002
Możemy zacząć od innego ułożenia i zakończyć podobnym fraktalem.
45
00:01:20,002 --> 00:01:21,537
Jest dobrze znany w pewnych kręgach,
46
00:01:21,537 --> 00:01:22,805
ponieważ posiada ciekawe własności
47
00:01:22,805 --> 00:01:24,776
włączając względną krzywiznę okręgów,
48
00:01:24,776 --> 00:01:25,608
która nie tylko jest całkiem gustowna,
49
00:01:25,608 --> 00:01:26,876
ale również przywodzi mi na myśl
50
00:01:26,876 --> 00:01:28,863
genialna grę rysunkową.
51
00:01:28,863 --> 00:01:29,699
Krok pierwszy:
52
00:01:29,699 --> 00:01:31,114
narysuj DOWOLNĄ figurę.
53
00:01:31,114 --> 00:01:32,299
Krok drugi:
54
00:01:32,299 --> 00:01:33,968
narysuj NAJWIĘKSZY wpisany w nią okrąg.
55
00:01:33,968 --> 00:01:35,318
Krok trzeci:
56
00:01:35,318 --> 00:01:36,637
narysuj największy możliwy okrąg
57
00:01:36,637 --> 00:01:37,638
w pozostałej części figury.
58
00:01:37,638 --> 00:01:38,806
Krok czwarty:
59
00:01:38,806 --> 00:01:39,962
powtórz Krok trzeci.
60
00:01:39,962 --> 00:01:42,350
Jeśli tylko zostanie miejsce po narysowaniu pierwszego okręgu,
61
00:01:42,350 --> 00:01:43,736
czyli jeśli nie zaczniesz od koła,
62
00:01:43,736 --> 00:01:46,042
zamienisz w ten sposób każdą figurę we fraktal.
63
00:01:46,042 --> 00:01:46,928
Możesz tak zrobić z trójkątami,
64
00:01:46,928 --> 00:01:49,077
możesz tak zrobić z gwiazdami, nie zapomnij ich ozdobić!
65
00:01:49,077 --> 00:01:51,193
Możesz to zrobić ze słoniami, wężami,
66
00:01:51,193 --> 00:01:52,810
albo portretem jednego z Twoich znajomych.
67
00:01:52,810 --> 00:01:54,272
Ja wybrałam Abrahama Lincolna.
68
00:01:54,272 --> 00:01:55,473
Łał!
69
00:01:55,473 --> 00:01:57,407
Dobrze, ale co z kształtami innymi niż okręgi?
70
00:01:57,407 --> 00:01:59,274
Na przykład, trójkąty równoramienne.
71
00:01:59,274 --> 00:02:01,021
Powiedzmy, wypełniające ten trójkąt, co działa
72
00:02:01,021 --> 00:02:03,194
bo wypełniany trójkąt jest inaczej zorientowany,
73
00:02:03,194 --> 00:02:05,291
niz wypełniające (a ich orientacja ma znaczenie).
74
00:02:05,291 --> 00:02:07,507
i oto nasz rodzimy "Trójkąt Sierpińskiego"
75
00:02:07,507 --> 00:02:09,931
Który, swoją drogą, również mógłby być pełen Abrahama Lincolna.
76
00:02:09,931 --> 00:02:12,489
Trójkąty wydają się działać tu świetnie,
77
00:02:12,489 --> 00:02:13,605
ale to jest szczególny przypadek,
78
00:02:13,605 --> 00:02:14,614
a problem z trójkątami jest taki,
79
00:02:14,614 --> 00:02:16,220
że nie zawsze gładko się wpasowują.
80
00:02:16,220 --> 00:02:17,584
na przykład w ten rozlany kształt.
81
00:02:17,584 --> 00:02:20,374
Największy trójkąt ma smutny, samotny kąt.
82
00:02:20,374 --> 00:02:21,302
Jestem pewna, że to nie powstrzyma Was
83
00:02:21,302 --> 00:02:22,788
przed radosnym rysowaniem,
84
00:02:22,788 --> 00:02:25,277
ale wydaje mi się, że gra z kołami ma więcej elegancji.
85
00:02:25,277 --> 00:02:27,648
A co jeśli moglibyśmy zmieniać orientację trójkątów,
86
00:02:27,648 --> 00:02:29,214
żeby znaleźć największy?
87
00:02:29,214 --> 00:02:30,807
Albo moglibyśmy używać innych niż równoboczny?
88
00:02:30,807 --> 00:02:32,013
Dla wielokątów
89
00:02:32,013 --> 00:02:33,829
gra kończy się całkiem szybko, nuda.
90
00:02:33,848 --> 00:02:35,000
ale dla zakrzywionych, skomplikowanych kształtów
91
00:02:35,000 --> 00:02:36,832
sam proces staje się znacznie trudniejszy.
92
00:02:36,832 --> 00:02:38,569
Jak znaleźć największy trójkąt?
93
00:02:38,569 --> 00:02:40,842
Nie zawsze jest oczywiste który z nich ma największe pole,
94
00:02:40,842 --> 00:02:43,273
szczególnie przy nietypowej figurze.
95
00:02:43,273 --> 00:02:44,700
To ciekawe pytanie,
96
00:02:44,700 --> 00:02:45,830
ponieważ wiesz, że ISTNIEJE jedna właściwa odpowiedź,
97
00:02:45,830 --> 00:02:47,414
ale jeśli spróbujesz napisać program,
98
00:02:47,414 --> 00:02:48,881
który wypełni jakąś figurę określonymi kształtami,
99
00:02:48,881 --> 00:02:51,497
według najprostszej nawet reguły,
100
00:02:51,497 --> 00:02:53,997
możesz potrzebować solidnych podstaw geometrii obliczeniowej.
101
00:02:53,997 --> 00:02:54,926
Jestem pewna, że można robić cuda
102
00:02:54,926 --> 00:02:57,073
z trójkątami, kwadratami, a nawet słoniami,
103
00:02:57,073 --> 00:02:58,493
ale koło jest tak świetne
104
00:02:58,493 --> 00:03:01,064
ponieważ jest tak fantastycznie okrągłe
105
00:03:01,064 --> 00:03:03,183
Krótkie pobocznie ćwiczenie:
106
00:03:03,183 --> 00:03:04,948
Okrąg może być zdefiniowany przez trzy punkty,
107
00:03:04,948 --> 00:03:06,588
narysuj trzy niezależne punkty,
108
00:03:06,588 --> 00:03:08,474
i spróbuj znaleźć okrąg, do którego należą.
109
00:03:08,474 --> 00:03:10,601
Jeszcze jedna rzecz, która intryguje mnie w grze w koła:
110
00:03:10,601 --> 00:03:12,793
Jeśli tylko masz "kąt" tego typu,
111
00:03:12,793 --> 00:03:13,948
wiesz, że można narysować
112
00:03:13,948 --> 00:03:16,010
nieskończoną liczbę kół schodzących "wgłąb".
113
00:03:16,010 --> 00:03:17,812
I każde z tych kół
114
00:03:17,812 --> 00:03:19,714
Tworzy kilka nowych, mniejszych kątów,
115
00:03:19,714 --> 00:03:21,900
które można wypełnić następnymi kołami.
116
00:03:21,900 --> 00:03:23,602
Dostajesz nieprawdopodobną liczbę kół,
117
00:03:23,602 --> 00:03:27,027
które pozwalają Ci tworzyć kolejne koła,
118
00:03:27,027 --> 00:03:30,094
to pozwala sobie uzmysłowić jak gęsta jest nieskończoność.
119
00:03:30,094 --> 00:03:32,102
Ale najbardziej zadziwiające jest to, że ten rodzaj nieskończoności
120
00:03:32,102 --> 00:03:34,800
to najmniejszy policzalny rodzaj nieskończoności.
121
00:03:34,800 --> 00:03:38,819
Są takie, które są o tyle bardziej nieskończone, że umysł zaczyna wariować.
122
00:03:38,819 --> 00:03:40,770
Jeszcze jedna ciekawostka:
123
00:03:40,770 --> 00:03:42,706
jeśli ten odcinek nazwiemy "Jedną Arbitralną Jednostką Długości",
124
00:03:42,706 --> 00:03:45,208
To suma tego odcinka z tym i z tym...
125
00:03:45,208 --> 00:03:48,092
Daje nieskończony szereg o sumie JEDEN.
126
00:03:48,092 --> 00:03:51,555
A to inny dążący do jedynki,
127
00:03:51,555 --> 00:03:53,333
i jeszcze jeden, i kolejny,
128
00:03:53,333 --> 00:03:55,974
każdy, którego zewnętrzny kształt jest odpowiedni
129
00:03:55,974 --> 00:03:57,238
będzie miał tę własność.
130
00:03:57,238 --> 00:03:58,740
Ale jeśli potrzebujesz "prostego" ciągu
131
00:03:58,740 --> 00:04:00,141
w którym średnice kolejnych kół
132
00:04:00,141 --> 00:04:02,411
stanowią konkretny procent średnicy poprzedniego,
133
00:04:02,411 --> 00:04:04,316
dostaniesz linię prostą. Co ma sens,
134
00:04:04,316 --> 00:04:06,552
jeśli wiesz jak definiuje się nachylenie prostej.
135
00:04:06,552 --> 00:04:08,497
To odkrywa przed nami CUDOWNIE prostą, matematyczną
136
00:04:08,497 --> 00:04:11,449
i rysunkową drogę do rozwiązania naszego "wielbłądziego" problemu
137
00:04:11,449 --> 00:04:13,005
nie wymagającą ŻADNYCH obliczeń.
138
00:04:13,005 --> 00:04:14,874
Gdybyśmy zamiast wielbłądów wzięli koła,
139
00:04:14,874 --> 00:04:17,419
moglibyśmy określić właściwy ciąg po prostu rysując kąt
140
00:04:17,419 --> 00:04:20,073
Który kończy się tam gdzie strona, i wypełnić go kołami.
141
00:04:20,073 --> 00:04:22,337
Zastąpmy koła wielbłądami i oto:
142
00:04:22,337 --> 00:04:23,666
Nieskończona karawana
143
00:04:23,666 --> 00:04:25,346
niknąca w oddali,
144
00:04:25,346 --> 00:04:27,170
żadne licznie nie było konieczne!
145
00:04:27,170 --> 00:04:28,905
Jest wciąż tyle spraw, o których chciałabym Wam powiedzieć
146
00:04:28,905 --> 00:04:31,330
w ostatnim zdaniu, właściwie nieskończoność...
147
00:04:31,330 --> 00:04:32,692
Może zmieszczę się w najbliższych pięciu sekundach,
148
00:04:32,692 --> 00:04:33,844
jeśli każde następne zadanie będę mówić dwa razy szybciej,
149
00:04:33,844 --> 00:04:34,678
niż poprzednie?
150
00:04:34,678 --> 00:04:35,955
(bardzo bardzo przyśpieszona nieskończona liczba informacji)