0:00:00.467,0:00:01.982
Więc tak jak ja, znowu siedzisz na zajęciach z matematyki

0:00:01.982,0:00:04.104
bo musisz. Jak właściwie co dzień.

0:00:04.104,0:00:05.105
I uczysz się, no nie wiem.

0:00:05.105,0:00:06.803
o sumach nieskończonych ciągów.

0:00:06.803,0:00:08.008
To jest temat z liceum, prawda?

0:00:08.008,0:00:09.943
Co zabawne, to naprawdę świetny temat,

0:00:09.943,0:00:11.945
ale w jakiś sposób potrafią go zupełnie popsuć.

0:00:11.945,0:00:15.415
Pewnie tylko dlatego jest w ogóle ujęty w programie.

0:00:15.415,0:00:17.569
Więc, z całkiem zrozumiałej potrzeby odwrócenia uwagi

0:00:17.569,0:00:18.882
rysujesz i myślisz bardziej nad tym

0:00:18.882,0:00:20.650
jak odmieniać słowo "ciąg" (ang. "series")

0:00:20.650,0:00:22.325
niż o temacie zajęć.

0:00:22.325,0:00:24.743
Ciąg, ciagiem,

0:00:24.743,0:00:27.144
ciągu, ciągami, ciągach.

0:00:27.144,0:00:28.813
Przy powtarzaniu w kółko to słowo traci sens.

0:00:28.813,0:00:31.501
Dlaczego w ogóle mielibyśmy je deklinować? [nieprzekładalne gry słowne]

0:00:31.501,0:00:33.393
Ale sam pomysł takiej konstrukcji

0:00:33.393,0:00:36.573
1/2 +1/4 +1/8 +1/16 i tak dalej, zbliżając się do jedynki

0:00:36.573,0:00:38.941
jest przydatny jeśli chcesz narysować rząd słoni,

0:00:38.941,0:00:41.024
które trzymają się nawzajem za ogonki.

0:00:41.024,0:00:42.223
Normalny słoń, młody słoń,

0:00:42.223,0:00:44.621
słoniątko, słoń w psim rozmiarze, słoń w szczenięcym rozmiarze...

0:00:44.621,0:00:46.556
słoniątko, słoń w psim rozmiarze, słoń w szczenięcym rozmiarze...

0:00:46.556,0:00:48.602
Co jest przynajmniej <i>maleńko</i> niesamowite,

0:00:48.602,0:00:50.204
ponieważ w tym rzędzie będzie nieskończona liczba słoni

0:00:50.204,0:00:51.405
i wszystkie można pomieścić na tej jednej kartce.

0:00:51.405,0:00:53.607
Pozostaje jednak pytanie

0:00:53.607,0:00:55.175
"Co jeśli zaczniemy od wielbłąda,

0:00:55.175,0:00:56.308
który będąc mniejszym od słonia,

0:00:56.308,0:00:58.178
zajmuje tylko jedną trzecią strony?"

0:00:58.178,0:00:59.633
Jak duzy powinien byc następny wielbłąd,

0:00:59.633,0:01:01.948
żeby zapełniły w zupełności całą stronę.

0:01:01.948,0:01:03.502
Moglibyśmy to oczywiście policzyć,

0:01:03.502,0:01:05.003
i to cudowne, że jesteśmy w stanie to zrobić,

0:01:05.003,0:01:06.805
ale w tej chwili naprawdę nie mam ochoty na obliczenia,

0:01:06.805,0:01:08.306
więc wróćmy do wielbłądów.

0:01:08.306,0:01:09.307
Weźmy fraktal.

0:01:09.307,0:01:10.542
Zaczynamy z okręgami,

0:01:10.542,0:01:11.443
wewnatrz okręgu

0:01:11.443,0:01:12.878
i zawsze rysujemy największy możliwy okrąg,

0:01:12.878,0:01:14.212
który mieści się między poprzednimi.

0:01:14.212,0:01:16.882
Taki fraktal nosi nazwę "Apollonian Gasket",

0:01:16.882,0:01:18.774
czyli "uszczelka Apoloniusza".

0:01:18.774,0:01:20.002
Możemy zacząć od innego ułożenia i zakończyć podobnym fraktalem.

0:01:20.002,0:01:21.537
Jest dobrze znany w pewnych kręgach,

0:01:21.537,0:01:22.805
ponieważ posiada ciekawe własności

0:01:22.805,0:01:24.776
włączając względną krzywiznę okręgów,

0:01:24.776,0:01:25.608
która nie tylko jest całkiem gustowna,

0:01:25.608,0:01:26.876
ale również przywodzi mi na myśl

0:01:26.876,0:01:28.863
genialna grę rysunkową.

0:01:28.863,0:01:29.699
Krok pierwszy:

0:01:29.699,0:01:31.114
narysuj DOWOLNĄ figurę.

0:01:31.114,0:01:32.299
Krok drugi:

0:01:32.299,0:01:33.968
narysuj NAJWIĘKSZY wpisany w nią okrąg.

0:01:33.968,0:01:35.318
Krok trzeci:

0:01:35.318,0:01:36.637
narysuj największy możliwy okrąg

0:01:36.637,0:01:37.638
w pozostałej części figury.

0:01:37.638,0:01:38.806
Krok czwarty:

0:01:38.806,0:01:39.962
powtórz Krok trzeci.

0:01:39.962,0:01:42.350
Jeśli tylko zostanie miejsce po narysowaniu pierwszego okręgu,

0:01:42.350,0:01:43.736
czyli jeśli nie zaczniesz od koła,

0:01:43.736,0:01:46.042
zamienisz w ten sposób każdą figurę we fraktal.

0:01:46.042,0:01:46.928
Możesz tak zrobić z trójkątami,

0:01:46.928,0:01:49.077
możesz tak zrobić z gwiazdami, nie zapomnij ich ozdobić!

0:01:49.077,0:01:51.193
Możesz to zrobić ze słoniami, wężami,

0:01:51.193,0:01:52.810
albo portretem jednego z Twoich znajomych.

0:01:52.810,0:01:54.272
Ja wybrałam Abrahama Lincolna.

0:01:54.272,0:01:55.473
Łał!

0:01:55.473,0:01:57.407
Dobrze, ale co z kształtami innymi niż okręgi?

0:01:57.407,0:01:59.274
Na przykład, trójkąty równoramienne.

0:01:59.274,0:02:01.021
Powiedzmy, wypełniające ten trójkąt, co działa

0:02:01.021,0:02:03.194
bo wypełniany trójkąt jest inaczej zorientowany,

0:02:03.194,0:02:05.291
niz wypełniające (a ich orientacja ma znaczenie).

0:02:05.291,0:02:07.507
i oto nasz rodzimy "Trójkąt Sierpińskiego"

0:02:07.507,0:02:09.931
Który, swoją drogą, również mógłby być pełen Abrahama Lincolna.

0:02:09.931,0:02:12.489
Trójkąty wydają się działać tu świetnie,

0:02:12.489,0:02:13.605
ale to jest szczególny przypadek,

0:02:13.605,0:02:14.614
a problem z trójkątami jest taki,

0:02:14.614,0:02:16.220
że nie zawsze gładko się wpasowują.

0:02:16.220,0:02:17.584
na przykład w ten rozlany kształt.

0:02:17.584,0:02:20.374
Największy trójkąt ma smutny, samotny kąt.

0:02:20.374,0:02:21.302
Jestem pewna, że to nie powstrzyma Was

0:02:21.302,0:02:22.788
przed radosnym rysowaniem,

0:02:22.788,0:02:25.277
ale wydaje mi się, że gra z kołami ma więcej elegancji.

0:02:25.277,0:02:27.648
A co jeśli moglibyśmy zmieniać orientację trójkątów,

0:02:27.648,0:02:29.214
żeby znaleźć największy?

0:02:29.214,0:02:30.807
Albo moglibyśmy używać innych niż równoboczny?

0:02:30.807,0:02:32.013
Dla wielokątów

0:02:32.013,0:02:33.829
gra kończy się całkiem szybko, nuda.

0:02:33.848,0:02:35.000
ale dla zakrzywionych, skomplikowanych kształtów

0:02:35.000,0:02:36.832
sam proces staje się znacznie trudniejszy.

0:02:36.832,0:02:38.569
Jak znaleźć największy trójkąt?

0:02:38.569,0:02:40.842
Nie zawsze jest oczywiste który z nich ma największe pole,

0:02:40.842,0:02:43.273
szczególnie przy nietypowej figurze.

0:02:43.273,0:02:44.700
To ciekawe pytanie,

0:02:44.700,0:02:45.830
ponieważ wiesz, że ISTNIEJE jedna właściwa odpowiedź,

0:02:45.830,0:02:47.414
ale jeśli spróbujesz napisać program,

0:02:47.414,0:02:48.881
który wypełni jakąś figurę określonymi kształtami,

0:02:48.881,0:02:51.497
według najprostszej nawet reguły,

0:02:51.497,0:02:53.997
możesz potrzebować solidnych podstaw geometrii obliczeniowej.

0:02:53.997,0:02:54.926
Jestem pewna, że można robić cuda

0:02:54.926,0:02:57.073
z trójkątami, kwadratami, a nawet słoniami,

0:02:57.073,0:02:58.493
ale koło jest tak świetne

0:02:58.493,0:03:01.064
ponieważ jest tak fantastycznie <i>okrągłe</i>

0:03:01.064,0:03:03.183
Krótkie pobocznie ćwiczenie:

0:03:03.183,0:03:04.948
Okrąg może być zdefiniowany przez trzy punkty,

0:03:04.948,0:03:06.588
narysuj trzy niezależne punkty,

0:03:06.588,0:03:08.474
i spróbuj znaleźć okrąg, do którego należą.

0:03:08.474,0:03:10.601
Jeszcze jedna rzecz, która intryguje mnie w grze w koła:

0:03:10.601,0:03:12.793
Jeśli tylko masz "kąt" tego typu,

0:03:12.793,0:03:13.948
wiesz, że można narysować

0:03:13.948,0:03:16.010
nieskończoną liczbę kół schodzących "wgłąb".

0:03:16.010,0:03:17.812
I każde z tych kół

0:03:17.812,0:03:19.714
Tworzy kilka nowych, mniejszych kątów,

0:03:19.714,0:03:21.900
które można wypełnić następnymi kołami.

0:03:21.900,0:03:23.602
Dostajesz nieprawdopodobną liczbę kół,

0:03:23.602,0:03:27.027
które pozwalają Ci tworzyć kolejne koła,

0:03:27.027,0:03:30.094
to pozwala sobie uzmysłowić jak gęsta jest nieskończoność.

0:03:30.094,0:03:32.102
Ale najbardziej zadziwiające jest to, że ten rodzaj nieskończoności

0:03:32.102,0:03:34.800
to najmniejszy policzalny rodzaj nieskończoności.

0:03:34.800,0:03:38.819
Są takie, które są o tyle bardziej nieskończone, że umysł zaczyna wariować.

0:03:38.819,0:03:40.770
Jeszcze jedna ciekawostka:

0:03:40.770,0:03:42.706
jeśli ten odcinek nazwiemy "Jedną Arbitralną Jednostką Długości",

0:03:42.706,0:03:45.208
To suma <i>tego odcinka</i> z <i>tym</i> i z <i>tym</i>...

0:03:45.208,0:03:48.092
Daje nieskończony szereg o sumie JEDEN.

0:03:48.092,0:03:51.555
A to inny dążący do jedynki,

0:03:51.555,0:03:53.333
i jeszcze jeden, i kolejny,

0:03:53.333,0:03:55.974
każdy, którego zewnętrzny kształt jest odpowiedni

0:03:55.974,0:03:57.238
będzie miał tę własność.

0:03:57.238,0:03:58.740
Ale jeśli potrzebujesz "prostego" ciągu

0:03:58.740,0:04:00.141
w którym średnice kolejnych kół

0:04:00.141,0:04:02.411
stanowią konkretny procent średnicy poprzedniego,

0:04:02.411,0:04:04.316
dostaniesz linię prostą. Co ma sens,

0:04:04.316,0:04:06.552
jeśli wiesz jak definiuje się nachylenie prostej.

0:04:06.552,0:04:08.497
To odkrywa przed nami CUDOWNIE prostą, matematyczną

0:04:08.497,0:04:11.449
i rysunkową drogę do rozwiązania naszego "wielbłądziego" problemu

0:04:11.449,0:04:13.005
nie wymagającą ŻADNYCH obliczeń.

0:04:13.005,0:04:14.874
Gdybyśmy zamiast wielbłądów wzięli koła,

0:04:14.874,0:04:17.419
moglibyśmy określić właściwy ciąg po prostu rysując kąt

0:04:17.419,0:04:20.073
Który kończy się tam gdzie strona, i wypełnić go kołami.

0:04:20.073,0:04:22.337
Zastąpmy koła wielbłądami i oto:

0:04:22.337,0:04:23.666
Nieskończona karawana

0:04:23.666,0:04:25.346
niknąca w oddali,

0:04:25.346,0:04:27.170
żadne licznie nie było konieczne!

0:04:27.170,0:04:28.905
Jest wciąż tyle spraw, o których chciałabym Wam powiedzieć

0:04:28.905,0:04:31.330
w ostatnim zdaniu, właściwie nieskończoność...

0:04:31.330,0:04:32.692
Może zmieszczę się w najbliższych pięciu sekundach,

0:04:32.692,0:04:33.844
jeśli każde następne zadanie będę mówić dwa razy szybciej,

0:04:33.844,0:04:34.678
niż poprzednie?

0:04:34.678,0:04:35.955
<i>(bardzo bardzo przyśpieszona nieskończona liczba informacji)</i>