1
00:00:00,467 --> 00:00:01,982
நாம் ஒவ்வொரு நாளும் புதிது புதிதாக கற்றுக் கொள்ள

2
00:00:01,982 --> 00:00:04,104
தொடர்ந்து கணக்குகளைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.

3
00:00:04,104 --> 00:00:05,105
முடிவில்லாத கணக்குத் தொடர்களைக்

4
00:00:05,105 --> 00:00:06,803
கற்று வருகிறோம்.

5
00:00:06,803 --> 00:00:08,008
அவையெல்லாம் பாடக் கணக்குகளாக இருந்ததால்

6
00:00:08,008 --> 00:00:09,943
மிக விரைவாக செய்து முடிக்க முடிந்தது நம்மால்.

7
00:00:09,943 --> 00:00:11,945
நமது பாடத் திட்டம்

8
00:00:11,945 --> 00:00:15,415
அந்த விதமாகத் தான் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.

9
00:00:15,415 --> 00:00:17,569
மேலும் புரிதலுக்கு ஏற்ற கணக்குகளை

10
00:00:17,569 --> 00:00:18,882
பன்மைத் தொடராகப் பார்க்கப் போகிறோம்.

11
00:00:18,882 --> 00:00:20,650
நாம் இதுவரைப் பார்த்த கணக்குகளுக்கும் கூடுதலான

12
00:00:20,650 --> 00:00:22,325
தலைப்பில் பார்க்கலாம்.

13
00:00:22,325 --> 00:00:24,743
கணக்குத் தொடர் என்பதற்கு மாறாக

14
00:00:24,743 --> 00:00:27,144
பன்மைத் தொடரில் மாற்றுவது அவசியமா...?

15
00:00:27,144 --> 00:00:28,813
தொடர் என்பது தொடர்கள் என்று இருந்தால் நல்லது.

16
00:00:28,813 --> 00:00:31,501
ஒன்றை அடைவதற்கு

17
00:00:31,501 --> 00:00:33,393
ஒரு அம்சத்தை எடுத்துக் கொள்கிற போது

18
00:00:33,393 --> 00:00:36,573
1/2 +1/4 +1/8 +1/16 என்று அதன் நுட்பமான கூறுகளை நோக்கிச் செல்ல வேண்டும்.

19
00:00:36,573 --> 00:00:38,941
அதுதான் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு யானையை வரைவதாக வைத்துக் கொள்வோம்.

20
00:00:38,941 --> 00:00:41,024
அப்போது ஒன்றின் வாலை இன்னொரு யானை பற்றிக் கொள்வது போல் வரைய வேண்டும்.

21
00:00:41,024 --> 00:00:42,223
முதலில் ஒரு சாதாரண யானை அடுத்து ஒரு இளம் யானை

22
00:00:42,223 --> 00:00:44,621
குட்டியானை, அடுத்து நாயின் அளவிலான யானை, அப்புறம் பூனையளவு யானை

23
00:00:44,621 --> 00:00:46,556
இப்படி தொடர்ந்து சென்று திருவாளர் கொம்பனையும் அதற்கு மேலும் வரைந்து கொண்டு போகலாம்.

24
00:00:46,556 --> 00:00:48,602
ஒவ்வொன்றிலும் அதன் நுட்பமான பகுதியைத் தொட வேண்டும்.

25
00:00:48,602 --> 00:00:50,204
அப்போது ஒரு கோட்டில் எண்ணற்ற யானைகளை நம்மால் வரைய முடியும்.

26
00:00:50,204 --> 00:00:51,405
நிறைய யானைகளை ஒரு நோட்டுப் புத்தகத்தின் ஒரு பக்கத்திற்குள்ளேயே வரைந்து விடலாம்.

27
00:00:51,405 --> 00:00:53,607
அப்படியானால்.....? இங்கே ஒரு கேள்வி எழுகிறது.

28
00:00:53,607 --> 00:00:55,175
ஒட்டகப் படம் போட்டால் என்ன செய்வது...?

29
00:00:55,175 --> 00:00:56,308
ஒட்டகம் யானையைக் காட்டிலும் சிறியதாக இருந்தாலும்

30
00:00:56,308 --> 00:00:58,178
புத்தகத்தின் மூன்றாம் பக்கத்தையும் கடந்து அல்லவா போகும்.

31
00:00:58,178 --> 00:00:59,633
ஒட்டகத்தை முறையாக வரையத் துவங்கினால்

32
00:00:59,633 --> 00:01:01,948
இறுதிப் பக்கத்தில் எத்தனை பெரியதாக இருக்கும்?

33
00:01:01,948 --> 00:01:03,502
இந்தக் கேள்விக்கான பதிலைக் கணக்கிட்டுத் தான் பார்க்க வேண்டும்.

34
00:01:03,502 --> 00:01:05,003
நிச்சயமாக ஒரு பக்கத்தில் அடங்காத ஒட்டகமாகத் தான் இருக்கும்.

35
00:01:05,003 --> 00:01:06,805
எனவே கணக்கிடவே வேண்டியதில்லை.

36
00:01:06,805 --> 00:01:08,306
மீண்டும் ஒட்டகத்திற்கு வருவோம்.

37
00:01:08,306 --> 00:01:09,307
இங்கே ஒரு பகுப்பை எடுத்துக் கொள்கிறோம்.

38
00:01:09,307 --> 00:01:10,542
முதலில் ஒரு வட்டத்திற்குள்ளிருந்து ஆரம்பிப்பிப்போம்.

39
00:01:10,542 --> 00:01:11,443
இந்த வட்டத்திற்குள்

40
00:01:11,443 --> 00:01:12,878
முடிந்தவரை பெரிய வட்டங்களாகப் போடலாம்.

41
00:01:12,878 --> 00:01:14,212
மீதமிருக்கும் வெளியிலும் வட்டங்களாக வரைந்து கொண்டே போகவேண்டும்.

42
00:01:14,212 --> 00:01:16,882
இதனை அப்போலோனியன் கேஸ்கட் என்பார்கள்.

43
00:01:16,882 --> 00:01:18,774
மறுபடியும் இன்னொரு வட்டத்தை எடுத்து

44
00:01:18,774 --> 00:01:20,002
இதிலும்வட்டங்கள் வரைகிறோம்.

45
00:01:20,002 --> 00:01:21,537
பெரிய வட்டங்களுக்கு இடையில் சின்னச் சின்ன வட்டங்கள்.

46
00:01:21,537 --> 00:01:22,805
இருக்கிற இடைவெளியில் சின்னஞ்சிறியதாக வரைகிறோம்.

47
00:01:22,805 --> 00:01:24,776
வட்டத்தின் வளையத்தினுள் சிறு வட்டங்கள்.

48
00:01:24,776 --> 00:01:25,608
கச்சிதமாகப் பொருந்தும்படி வரைகிறோம்.

49
00:01:25,608 --> 00:01:26,876
ஆனாலும் பார்ப்பதற்கு அழகாக இருக்கிறது.

50
00:01:26,876 --> 00:01:28,863
இதுவொரு அற்புதமான விளையாட்டு.

51
00:01:28,863 --> 00:01:29,699
படி ஒன்று - ஒரு காகிதத்தை எடுக்கிறோம்.

52
00:01:29,699 --> 00:01:31,114
எதாவது ஒன்றை வரைகிறோம்.

53
00:01:31,114 --> 00:01:32,299
படி இரண்டு

54
00:01:32,299 --> 00:01:33,968
நாம் வரைந்த பாகத்தில் முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம் ஒன்று வரைகிறோம்.

55
00:01:33,968 --> 00:01:35,318
படி மூன்று

56
00:01:35,318 --> 00:01:36,637
முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம்

57
00:01:36,637 --> 00:01:37,638
கிடைக்கிற இடத்தில் வரைகிறோம்.

58
00:01:37,638 --> 00:01:38,806
படி நான்கு

59
00:01:38,806 --> 00:01:39,962
படி மூன்றைப் பார்க்கிறோம்.

60
00:01:39,962 --> 00:01:42,350
முதல் வட்டம் போட்ட பிறகு நிறைய வெளி மீதமிருக்கிறது.

61
00:01:42,350 --> 00:01:43,736
அதனால் இப்போது வட்டம் போட வேண்டும் என்பதில்லை.

62
00:01:43,736 --> 00:01:46,042
இந்தப் பகுப்பில் வேறு வடிவங்களை வரையலாம்.

63
00:01:46,042 --> 00:01:46,928
இதனை முக்கோணங்களால் நிரப்பலாம்.

64
00:01:46,928 --> 00:01:49,077
நட்சத்திரம் போன்ற எதையாவது வரைந்து அழகுபடுத்தலாம்.

65
00:01:49,077 --> 00:01:51,193
இந்த இடத்தில் யானை, பாம்பு போன்ற எதை வேண்டுமானாலும் வரையலாம்.

66
00:01:51,193 --> 00:01:52,810
அல்லது நம்முடைய நெருங்கிய நண்பரின் உருவத்தைக் கூட வரையலாம்.

67
00:01:52,810 --> 00:01:54,272
இங்கே ஆப்ரகாம் லிங்கன் உருவத்தை வரைந்தால்

68
00:01:54,272 --> 00:01:55,473
அற்புதமாக இருக்கும்.

69
00:01:55,473 --> 00:01:57,407
வட்டங்கள் தவிர்த்து பிற வடிவங்கள் எதை வரையப் போகிறோம்?

70
00:01:57,407 --> 00:01:59,274
சம பக்க முக்கோணங்கள் வரையலாம்.

71
00:01:59,274 --> 00:02:01,021
அந்த முக்கோணத்தினுள் முக்கோணங்களை வரைந்து நிரப்பலாம்.

72
00:02:01,021 --> 00:02:03,194
நாம் சில இடங்களில் முக்கோணம் வரைந்தால் மீதமுள்ள வெளி

73
00:02:03,194 --> 00:02:05,291
தானாகவே முக்கோணங்களாக மாறி விடும்.

74
00:02:05,291 --> 00:02:07,507
அதன் மூலமாக நமக்கு சியர்பிங்கியின் முக்கோணம் கிடைத்து விடும்.

75
00:02:07,507 --> 00:02:09,931
அப்தேபடியே நாம் ஆபிரகாம் லிங்கன் உருவத்தையும் வரைந்து விடலாம்.

76
00:02:09,931 --> 00:02:12,489
ஆனால் இந்தக் கட்டத்திற்குள் முக்கோணம் வரைந்தால் அழகாகப் பொருந்தும்.

77
00:02:12,489 --> 00:02:13,605
ஆனால் இதுவொரு விசேசமான கட்டம் என்பதால்

78
00:02:13,605 --> 00:02:14,614
முக்கோணத்தால் பிரச்சனை இருக்கிறது.

79
00:02:14,614 --> 00:02:16,220
எல்லா நேரங்களிலும் கச்சிதமாகப் பொருந்தும் என்று கூற முடியாது.

80
00:02:16,220 --> 00:02:17,584
உதாரணமாக இந்த உப்பின வடிவத்தில்

81
00:02:17,584 --> 00:02:20,374
சம்பக்க முக்கோணம் பொருந்தாது. தனியாகத் தொங்கிக் கொண்டிருக்கும்.

82
00:02:20,374 --> 00:02:21,302
நிச்சயமாக

83
00:02:21,302 --> 00:02:22,788
விளையாட்டிற்கு ஒத்துவராது. அப்படியே நின்று போகும்.

84
00:02:22,788 --> 00:02:25,277
ஆனால் வளைவு விளையாட்டிற்கு அழகாகப் பொருந்தும்.

85
00:02:25,277 --> 00:02:27,648
அலங்கார வேலைப்பாடு செய்தால்

86
00:02:27,648 --> 00:02:29,214
அதற்கு நிறைய சாத்தியப்பாடுகள் கிடைக்கும்.

87
00:02:29,214 --> 00:02:30,807
சம பக்க முக்கோணம் கிடைக்கவில்லை என்றால் என்ன செய்வது..?

88
00:02:30,807 --> 00:02:32,013
பல கோண வடிவங்கள் வரையலாம்.

89
00:02:32,013 --> 00:02:33,829
விளையாட்டு மிக வேகமாக முடிந்து விடுகிறது. எனவே நன்றாக இல்லை.

90
00:02:33,848 --> 00:02:35,000
வளைவாக இருப்பதில் சிக்கலான உருவங்களையே வரைய முடி'யும்.

91
00:02:35,000 --> 00:02:36,832
வரையவும் கடினமாக இருக்கும்.

92
00:02:36,832 --> 00:02:38,569
இதில் பெரிய முக்கோணத்தை எப்படிப் பார்ப்பது?

93
00:02:38,569 --> 00:02:40,842
விளங்கிக் கொள்ள முடியாத ஒரு உருவத்தை நாம் வரைகிற பொழுது

94
00:02:40,842 --> 00:02:43,273
எந்த முக்கோணம் கூடுதலான இடத்தை எடுக்கும்.

95
00:02:43,273 --> 00:02:44,700
இது சற்று சுவாரஸ்யமான கேள்விதான்.

96
00:02:44,700 --> 00:02:45,830
ஏனென்றால் இதற்குச் சரியான விடை உண்டு.

97
00:02:45,830 --> 00:02:47,414
ஆனால் நாம் கணினியில் மென் பொருள் உருவாக்கி விட்டால்

98
00:02:47,414 --> 00:02:48,881
அதன் எளிய விதிகளைப் பின்பற்றி

99
00:02:48,881 --> 00:02:51,497
தானாகவே மற்றொரு உருவத்தை தேர்வு செய்து வடிவத்தினுள் நிரப்பிக் கொள்ளும்.

100
00:02:51,497 --> 00:02:53,997
அதற்கு நாம் சில கணினிப்படுத்தல் வடிவியலைக் கற்றுக் கொள்வது அவசியம்.

101
00:02:53,997 --> 00:02:54,926
அப்படிக் கற்றுக் கொண்டால் முக்கோணம், சதுரம், யானை போன்ற

102
00:02:54,926 --> 00:02:57,073
வடிவங்களுக்கு அப்பாலும் செல்ல முடியும்.

103
00:02:57,073 --> 00:02:58,493
ஆனால் வட்டம் தான் மிகப் பொருத்தமானது. ஏனென்றால்

104
00:02:58,493 --> 00:03:01,064
ஆனால் அதுதான் கனக் கச்சிதமாக இருக்கிறது.

105
00:03:01,064 --> 00:03:03,183
சரி நமது விளையாட்டை இன்னொரு விதமாக மாற்றுவோம்.

106
00:03:03,183 --> 00:03:04,948
ஒரு வட்டத்தை மூன்று புள்ளிகள் வழியாக எப்படிப் புரிந்து கொள்வது என்று பார்ப்போம்.

107
00:03:04,948 --> 00:03:06,588
முதலில் மூன்று புள்ளிகளை வைப்போம்.

108
00:03:06,588 --> 00:03:08,474
அதன் பிறகு அந்தப் புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமான வட்டத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

109
00:03:08,474 --> 00:03:10,601
இந்தத் தூண்டுதல் தான் நம்மை வட்ட விளையாட்டிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது.

110
00:03:10,601 --> 00:03:12,793
நாம் இந்த புள்ளிகளை வைத்த உடனே

111
00:03:12,793 --> 00:03:13,948
அவை எண்ணில்லாத வட்டங்களாக மாறும் என்பது

112
00:03:13,948 --> 00:03:16,010
நமக்குத் தெரியும்.

113
00:03:16,010 --> 00:03:17,812
ஒவ்வொரு முடிவுறாத வட்டங்களும்

114
00:03:17,812 --> 00:03:19,714
புதிய புதிய முனைகளை உருவாக்குகின்றன.

115
00:03:19,714 --> 00:03:21,900
அந்த முனைகள் மீண்டும்

116
00:03:21,900 --> 00:03:23,602
சின்னஞ்சிறு வட்டங்களாக மாறப்போகின்றன.

117
00:03:23,602 --> 00:03:27,027
ஆகவே நம்பமுடியாத எண்ணிக்கையில் வட்டங்கள் பெருகப் போகின்றன.

118
00:03:27,027 --> 00:03:30,094
அவை எத்தனை அடர்த்தியாய் இருக்கும் என்பதை அப்போது பார்க்கலாம்.

119
00:03:30,094 --> 00:03:32,102
வியப்பூட்டும் முடிவின்மைகளைக் கொண்டிருந்தாலும்

120
00:03:32,102 --> 00:03:34,800
எண்ண முடிகிற வகையிலான வட்டங்களையும் நாம் அதில் பார்க்கலாம்.

121
00:03:34,800 --> 00:03:38,819
நாம் கற்பனை செய்திராத முடிவில்லா வட்டங்களைப் பார்க்கலாம்.

122
00:03:38,819 --> 00:03:40,770
இதில் இன்னொரு சிறப்பம்சம் இருக்கிறது.

123
00:03:40,770 --> 00:03:42,706
இந்தப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை ’ஒரு தன்னிச்சை நீளம்’ என்று வைத்துக் கொண்டால்

124
00:03:42,706 --> 00:03:45,208
இந்த நீளம் கூட்டல் புள்ளி, புள்ளி, புள்ளி

125
00:03:45,208 --> 00:03:48,092
என்று தொடர்களாக நீண்டு அது ஒன்றை அடையும்.

126
00:03:48,092 --> 00:03:51,555
அடுத்து இது இன்னொரு தொடராக ஆரம்பித்து ஒன்றை அடையும்.

127
00:03:51,555 --> 00:03:53,333
இது இன்னொன்று, அடுத்து இது மற்றொன்று என

128
00:03:53,333 --> 00:03:55,974
அதிக நீளத்திற்கு தெளிவான வெளிப்புற வடிவத்தைப் பெற்று

129
00:03:55,974 --> 00:03:57,238
தொடராக அமையும்.

130
00:03:57,238 --> 00:03:58,740
ஆனால் நாம் தொடரில் எளிய வகையை விரும்பினால்

131
00:03:58,740 --> 00:04:00,141
ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டமும்

132
00:04:00,141 --> 00:04:02,411
அதற்கு முன்பாக உள்ளதற்கு குறிப்பிட்ட சதவீதத்தில்

133
00:04:02,411 --> 00:04:04,316
நமக்கு நேர்கோடு கிடைக்கும். நேர் கோடு எவ்வளவு சாய்வாக இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரிந்தால்

134
00:04:04,316 --> 00:04:06,552
அது பொருத்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

135
00:04:06,552 --> 00:04:08,497
இது எந்தக் கணக்கிடலும் தேவைப்படாமல்

136
00:04:08,497 --> 00:04:11,449
ஒட்டகக் கணக்கை விளையாட்டாக தீர்க்க முடிந்தது என்பதால்

137
00:04:11,449 --> 00:04:13,005
மிகவும் அற்புதம்.

138
00:04:13,005 --> 00:04:14,874
ஒட்டகத்திற்குப் பதிலாக நம்மிடம் வட்டம் இருப்பதால்

139
00:04:14,874 --> 00:04:17,419
கோணம் வரைவதன் மூலமாக சரியான முடிவில்லாத் தொடரை நாம் உருவாக்க முடிந்தது.

140
00:04:17,419 --> 00:04:20,073
பக்கத்தின் முடிவு வரைக்கும் ஒட்டகத்தின் இடத்தில்

141
00:04:20,073 --> 00:04:22,337
வட்டங்களை நிரப்ப முடிந்தது.

142
00:04:22,337 --> 00:04:23,666
வேறுபல வடிவங்களையும் கொண்டு நிரப்பினோம்.

143
00:04:23,666 --> 00:04:25,346
முழுத் தொலைவிற்கும் கொண்டு சென்றோம்.

144
00:04:25,346 --> 00:04:27,170
எண்கள் ஏதும் தேவைப்படவில்லை.

145
00:04:27,170 --> 00:04:28,905
இந்த விளையாட்டுக் கணக்கின் இறுதியில்

146
00:04:28,905 --> 00:04:31,330
எண்ணற்ற அளவிற்கு தகவல்களைப் பரிமாறிக் கொண்டோம்.

147
00:04:31,330 --> 00:04:32,692
அடுத்த ஐந்து நொடிகளில் கூட நிரப்ப முடியலாம்.

148
00:04:32,692 --> 00:04:33,844
அடுத்து இத்தகைய விளையாட்டைச் செய்கிற போது

149
00:04:33,844 --> 00:04:34,678
இதைக் காட்டிலும் இரண்டு மடங்கு வேகத்தில் கூடச் செய்ய முடியலாம்.

150
00:04:34,678 --> 00:04:35,955
(and the next... <i>high pitched garble</i>)