0:00:00.467,0:00:01.982
நாம் ஒவ்வொரு நாளும் புதிது புதிதாக கற்றுக் கொள்ள

0:00:01.982,0:00:04.104
தொடர்ந்து கணக்குகளைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.

0:00:04.104,0:00:05.105
முடிவில்லாத கணக்குத் தொடர்களைக்

0:00:05.105,0:00:06.803
கற்று வருகிறோம்.

0:00:06.803,0:00:08.008
அவையெல்லாம் பாடக் கணக்குகளாக இருந்ததால்

0:00:08.008,0:00:09.943
மிக விரைவாக செய்து முடிக்க முடிந்தது நம்மால்.

0:00:09.943,0:00:11.945
நமது பாடத் திட்டம்

0:00:11.945,0:00:15.415
அந்த விதமாகத் தான் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.

0:00:15.415,0:00:17.569
மேலும் புரிதலுக்கு ஏற்ற கணக்குகளை

0:00:17.569,0:00:18.882
பன்மைத் தொடராகப் பார்க்கப் போகிறோம்.

0:00:18.882,0:00:20.650
நாம் இதுவரைப் பார்த்த கணக்குகளுக்கும் கூடுதலான

0:00:20.650,0:00:22.325
தலைப்பில் பார்க்கலாம்.

0:00:22.325,0:00:24.743
கணக்குத் தொடர் என்பதற்கு மாறாக

0:00:24.743,0:00:27.144
பன்மைத் தொடரில் மாற்றுவது அவசியமா...?

0:00:27.144,0:00:28.813
தொடர் என்பது தொடர்கள் என்று இருந்தால் நல்லது.

0:00:28.813,0:00:31.501
ஒன்றை அடைவதற்கு

0:00:31.501,0:00:33.393
ஒரு அம்சத்தை எடுத்துக் கொள்கிற போது

0:00:33.393,0:00:36.573
1/2 +1/4 +1/8 +1/16 என்று அதன் நுட்பமான கூறுகளை நோக்கிச் செல்ல வேண்டும்.

0:00:36.573,0:00:38.941
அதுதான் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு யானையை வரைவதாக வைத்துக் கொள்வோம்.

0:00:38.941,0:00:41.024
அப்போது ஒன்றின் வாலை இன்னொரு யானை பற்றிக் கொள்வது போல் வரைய வேண்டும்.

0:00:41.024,0:00:42.223
முதலில் ஒரு சாதாரண யானை அடுத்து ஒரு இளம் யானை

0:00:42.223,0:00:44.621
குட்டியானை, அடுத்து நாயின் அளவிலான யானை, அப்புறம் பூனையளவு யானை

0:00:44.621,0:00:46.556
இப்படி தொடர்ந்து சென்று திருவாளர் கொம்பனையும் அதற்கு மேலும் வரைந்து கொண்டு போகலாம்.

0:00:46.556,0:00:48.602
ஒவ்வொன்றிலும் அதன் நுட்பமான பகுதியைத் தொட வேண்டும்.

0:00:48.602,0:00:50.204
அப்போது ஒரு கோட்டில் எண்ணற்ற யானைகளை நம்மால் வரைய முடியும்.

0:00:50.204,0:00:51.405
நிறைய யானைகளை ஒரு நோட்டுப் புத்தகத்தின் ஒரு பக்கத்திற்குள்ளேயே வரைந்து விடலாம்.

0:00:51.405,0:00:53.607
அப்படியானால்.....? இங்கே ஒரு கேள்வி எழுகிறது.

0:00:53.607,0:00:55.175
ஒட்டகப் படம் போட்டால் என்ன செய்வது...?

0:00:55.175,0:00:56.308
ஒட்டகம் யானையைக் காட்டிலும் சிறியதாக இருந்தாலும்

0:00:56.308,0:00:58.178
புத்தகத்தின் மூன்றாம் பக்கத்தையும் கடந்து அல்லவா போகும்.

0:00:58.178,0:00:59.633
ஒட்டகத்தை முறையாக வரையத் துவங்கினால்

0:00:59.633,0:01:01.948
இறுதிப் பக்கத்தில் எத்தனை பெரியதாக இருக்கும்?

0:01:01.948,0:01:03.502
இந்தக் கேள்விக்கான பதிலைக் கணக்கிட்டுத் தான் பார்க்க வேண்டும்.

0:01:03.502,0:01:05.003
நிச்சயமாக ஒரு பக்கத்தில் அடங்காத ஒட்டகமாகத் தான் இருக்கும்.

0:01:05.003,0:01:06.805
எனவே கணக்கிடவே வேண்டியதில்லை.

0:01:06.805,0:01:08.306
மீண்டும் ஒட்டகத்திற்கு வருவோம்.

0:01:08.306,0:01:09.307
இங்கே ஒரு பகுப்பை எடுத்துக் கொள்கிறோம்.

0:01:09.307,0:01:10.542
முதலில் ஒரு வட்டத்திற்குள்ளிருந்து ஆரம்பிப்பிப்போம்.

0:01:10.542,0:01:11.443
இந்த வட்டத்திற்குள்

0:01:11.443,0:01:12.878
முடிந்தவரை பெரிய வட்டங்களாகப் போடலாம்.

0:01:12.878,0:01:14.212
மீதமிருக்கும் வெளியிலும் வட்டங்களாக வரைந்து கொண்டே போகவேண்டும்.

0:01:14.212,0:01:16.882
இதனை அப்போலோனியன் கேஸ்கட் என்பார்கள்.

0:01:16.882,0:01:18.774
மறுபடியும் இன்னொரு வட்டத்தை எடுத்து

0:01:18.774,0:01:20.002
இதிலும்வட்டங்கள் வரைகிறோம்.

0:01:20.002,0:01:21.537
பெரிய வட்டங்களுக்கு இடையில் சின்னச் சின்ன வட்டங்கள்.

0:01:21.537,0:01:22.805
இருக்கிற இடைவெளியில் சின்னஞ்சிறியதாக வரைகிறோம்.

0:01:22.805,0:01:24.776
வட்டத்தின் வளையத்தினுள் சிறு வட்டங்கள்.

0:01:24.776,0:01:25.608
கச்சிதமாகப் பொருந்தும்படி வரைகிறோம்.

0:01:25.608,0:01:26.876
ஆனாலும் பார்ப்பதற்கு அழகாக இருக்கிறது.

0:01:26.876,0:01:28.863
இதுவொரு அற்புதமான விளையாட்டு.

0:01:28.863,0:01:29.699
படி ஒன்று - ஒரு காகிதத்தை எடுக்கிறோம்.

0:01:29.699,0:01:31.114
எதாவது ஒன்றை வரைகிறோம்.

0:01:31.114,0:01:32.299
படி இரண்டு

0:01:32.299,0:01:33.968
நாம் வரைந்த பாகத்தில் முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம் ஒன்று வரைகிறோம்.

0:01:33.968,0:01:35.318
படி மூன்று

0:01:35.318,0:01:36.637
முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம்

0:01:36.637,0:01:37.638
கிடைக்கிற இடத்தில் வரைகிறோம்.

0:01:37.638,0:01:38.806
படி நான்கு

0:01:38.806,0:01:39.962
படி மூன்றைப் பார்க்கிறோம்.

0:01:39.962,0:01:42.350
முதல் வட்டம் போட்ட பிறகு நிறைய வெளி மீதமிருக்கிறது.

0:01:42.350,0:01:43.736
அதனால் இப்போது வட்டம் போட வேண்டும் என்பதில்லை.

0:01:43.736,0:01:46.042
இந்தப் பகுப்பில் வேறு வடிவங்களை வரையலாம்.

0:01:46.042,0:01:46.928
இதனை முக்கோணங்களால் நிரப்பலாம்.

0:01:46.928,0:01:49.077
நட்சத்திரம் போன்ற எதையாவது வரைந்து அழகுபடுத்தலாம்.

0:01:49.077,0:01:51.193
இந்த இடத்தில் யானை, பாம்பு போன்ற எதை வேண்டுமானாலும் வரையலாம்.

0:01:51.193,0:01:52.810
அல்லது நம்முடைய நெருங்கிய நண்பரின் உருவத்தைக் கூட வரையலாம்.

0:01:52.810,0:01:54.272
இங்கே ஆப்ரகாம் லிங்கன் உருவத்தை வரைந்தால்

0:01:54.272,0:01:55.473
அற்புதமாக இருக்கும்.

0:01:55.473,0:01:57.407
வட்டங்கள் தவிர்த்து பிற வடிவங்கள் எதை வரையப் போகிறோம்?

0:01:57.407,0:01:59.274
சம பக்க முக்கோணங்கள் வரையலாம்.

0:01:59.274,0:02:01.021
அந்த முக்கோணத்தினுள் முக்கோணங்களை வரைந்து நிரப்பலாம்.

0:02:01.021,0:02:03.194
நாம் சில இடங்களில் முக்கோணம் வரைந்தால் மீதமுள்ள வெளி

0:02:03.194,0:02:05.291
தானாகவே முக்கோணங்களாக மாறி விடும்.

0:02:05.291,0:02:07.507
அதன் மூலமாக நமக்கு சியர்பிங்கியின் முக்கோணம் கிடைத்து விடும்.

0:02:07.507,0:02:09.931
அப்தேபடியே நாம் ஆபிரகாம் லிங்கன் உருவத்தையும் வரைந்து விடலாம்.

0:02:09.931,0:02:12.489
ஆனால் இந்தக் கட்டத்திற்குள் முக்கோணம் வரைந்தால் அழகாகப் பொருந்தும்.

0:02:12.489,0:02:13.605
ஆனால் இதுவொரு விசேசமான கட்டம் என்பதால்

0:02:13.605,0:02:14.614
முக்கோணத்தால் பிரச்சனை இருக்கிறது.

0:02:14.614,0:02:16.220
எல்லா நேரங்களிலும் கச்சிதமாகப் பொருந்தும் என்று கூற முடியாது.

0:02:16.220,0:02:17.584
உதாரணமாக இந்த உப்பின வடிவத்தில்

0:02:17.584,0:02:20.374
சம்பக்க முக்கோணம் பொருந்தாது. தனியாகத் தொங்கிக் கொண்டிருக்கும்.

0:02:20.374,0:02:21.302
நிச்சயமாக

0:02:21.302,0:02:22.788
விளையாட்டிற்கு ஒத்துவராது. அப்படியே நின்று போகும்.

0:02:22.788,0:02:25.277
ஆனால் வளைவு விளையாட்டிற்கு அழகாகப் பொருந்தும்.

0:02:25.277,0:02:27.648
அலங்கார வேலைப்பாடு செய்தால்

0:02:27.648,0:02:29.214
அதற்கு நிறைய சாத்தியப்பாடுகள் கிடைக்கும்.

0:02:29.214,0:02:30.807
சம பக்க முக்கோணம் கிடைக்கவில்லை என்றால் என்ன செய்வது..?

0:02:30.807,0:02:32.013
பல கோண வடிவங்கள் வரையலாம்.

0:02:32.013,0:02:33.829
விளையாட்டு மிக வேகமாக முடிந்து விடுகிறது. எனவே நன்றாக இல்லை.

0:02:33.848,0:02:35.000
வளைவாக இருப்பதில் சிக்கலான உருவங்களையே வரைய முடி'யும்.

0:02:35.000,0:02:36.832
வரையவும் கடினமாக இருக்கும்.

0:02:36.832,0:02:38.569
இதில் பெரிய முக்கோணத்தை எப்படிப் பார்ப்பது?

0:02:38.569,0:02:40.842
விளங்கிக் கொள்ள முடியாத ஒரு உருவத்தை நாம் வரைகிற பொழுது

0:02:40.842,0:02:43.273
எந்த முக்கோணம் கூடுதலான இடத்தை எடுக்கும்.

0:02:43.273,0:02:44.700
இது சற்று சுவாரஸ்யமான கேள்விதான்.

0:02:44.700,0:02:45.830
ஏனென்றால் இதற்குச் சரியான விடை உண்டு.

0:02:45.830,0:02:47.414
ஆனால் நாம் கணினியில் மென் பொருள் உருவாக்கி விட்டால்

0:02:47.414,0:02:48.881
அதன் எளிய விதிகளைப் பின்பற்றி

0:02:48.881,0:02:51.497
தானாகவே மற்றொரு உருவத்தை தேர்வு செய்து வடிவத்தினுள் நிரப்பிக் கொள்ளும்.

0:02:51.497,0:02:53.997
அதற்கு நாம் சில கணினிப்படுத்தல் வடிவியலைக் கற்றுக் கொள்வது அவசியம்.

0:02:53.997,0:02:54.926
அப்படிக் கற்றுக் கொண்டால் முக்கோணம், சதுரம், யானை போன்ற

0:02:54.926,0:02:57.073
வடிவங்களுக்கு அப்பாலும் செல்ல முடியும்.

0:02:57.073,0:02:58.493
ஆனால் வட்டம் தான் மிகப் பொருத்தமானது. ஏனென்றால்

0:02:58.493,0:03:01.064
ஆனால் அதுதான் கனக் கச்சிதமாக இருக்கிறது.

0:03:01.064,0:03:03.183
சரி நமது விளையாட்டை இன்னொரு விதமாக மாற்றுவோம்.

0:03:03.183,0:03:04.948
ஒரு வட்டத்தை மூன்று புள்ளிகள் வழியாக எப்படிப் புரிந்து கொள்வது என்று பார்ப்போம்.

0:03:04.948,0:03:06.588
முதலில் மூன்று புள்ளிகளை வைப்போம்.

0:03:06.588,0:03:08.474
அதன் பிறகு அந்தப் புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமான வட்டத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

0:03:08.474,0:03:10.601
இந்தத் தூண்டுதல் தான் நம்மை வட்ட விளையாட்டிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது.

0:03:10.601,0:03:12.793
நாம் இந்த புள்ளிகளை வைத்த உடனே

0:03:12.793,0:03:13.948
அவை எண்ணில்லாத வட்டங்களாக மாறும் என்பது

0:03:13.948,0:03:16.010
நமக்குத் தெரியும்.

0:03:16.010,0:03:17.812
ஒவ்வொரு முடிவுறாத வட்டங்களும்

0:03:17.812,0:03:19.714
புதிய புதிய முனைகளை உருவாக்குகின்றன.

0:03:19.714,0:03:21.900
அந்த முனைகள் மீண்டும்

0:03:21.900,0:03:23.602
சின்னஞ்சிறு வட்டங்களாக மாறப்போகின்றன.

0:03:23.602,0:03:27.027
ஆகவே நம்பமுடியாத எண்ணிக்கையில் வட்டங்கள் பெருகப் போகின்றன.

0:03:27.027,0:03:30.094
அவை எத்தனை அடர்த்தியாய் இருக்கும் என்பதை அப்போது பார்க்கலாம்.

0:03:30.094,0:03:32.102
வியப்பூட்டும் முடிவின்மைகளைக் கொண்டிருந்தாலும்

0:03:32.102,0:03:34.800
எண்ண முடிகிற வகையிலான வட்டங்களையும் நாம் அதில் பார்க்கலாம்.

0:03:34.800,0:03:38.819
நாம் கற்பனை செய்திராத முடிவில்லா வட்டங்களைப் பார்க்கலாம்.

0:03:38.819,0:03:40.770
இதில் இன்னொரு சிறப்பம்சம் இருக்கிறது.

0:03:40.770,0:03:42.706
இந்தப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை ’ஒரு தன்னிச்சை நீளம்’ என்று வைத்துக் கொண்டால்

0:03:42.706,0:03:45.208
இந்த நீளம் கூட்டல் புள்ளி, புள்ளி, புள்ளி

0:03:45.208,0:03:48.092
என்று தொடர்களாக நீண்டு அது ஒன்றை அடையும்.

0:03:48.092,0:03:51.555
அடுத்து இது இன்னொரு தொடராக ஆரம்பித்து ஒன்றை அடையும்.

0:03:51.555,0:03:53.333
இது இன்னொன்று, அடுத்து இது மற்றொன்று என

0:03:53.333,0:03:55.974
அதிக நீளத்திற்கு தெளிவான வெளிப்புற வடிவத்தைப் பெற்று

0:03:55.974,0:03:57.238
தொடராக அமையும்.

0:03:57.238,0:03:58.740
ஆனால் நாம் தொடரில் எளிய வகையை விரும்பினால்

0:03:58.740,0:04:00.141
ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டமும்

0:04:00.141,0:04:02.411
அதற்கு முன்பாக உள்ளதற்கு குறிப்பிட்ட சதவீதத்தில்

0:04:02.411,0:04:04.316
நமக்கு நேர்கோடு கிடைக்கும். நேர் கோடு எவ்வளவு சாய்வாக இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரிந்தால்

0:04:04.316,0:04:06.552
அது பொருத்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

0:04:06.552,0:04:08.497
இது எந்தக் கணக்கிடலும் தேவைப்படாமல்

0:04:08.497,0:04:11.449
ஒட்டகக் கணக்கை விளையாட்டாக தீர்க்க முடிந்தது என்பதால்

0:04:11.449,0:04:13.005
மிகவும் அற்புதம்.

0:04:13.005,0:04:14.874
ஒட்டகத்திற்குப் பதிலாக நம்மிடம் வட்டம் இருப்பதால்

0:04:14.874,0:04:17.419
கோணம் வரைவதன் மூலமாக சரியான முடிவில்லாத் தொடரை நாம் உருவாக்க முடிந்தது.

0:04:17.419,0:04:20.073
பக்கத்தின் முடிவு வரைக்கும் ஒட்டகத்தின் இடத்தில்

0:04:20.073,0:04:22.337
வட்டங்களை நிரப்ப முடிந்தது.

0:04:22.337,0:04:23.666
வேறுபல வடிவங்களையும் கொண்டு நிரப்பினோம்.

0:04:23.666,0:04:25.346
முழுத் தொலைவிற்கும் கொண்டு சென்றோம்.

0:04:25.346,0:04:27.170
எண்கள் ஏதும் தேவைப்படவில்லை.

0:04:27.170,0:04:28.905
இந்த விளையாட்டுக் கணக்கின் இறுதியில்

0:04:28.905,0:04:31.330
எண்ணற்ற அளவிற்கு தகவல்களைப் பரிமாறிக் கொண்டோம்.

0:04:31.330,0:04:32.692
அடுத்த ஐந்து நொடிகளில் கூட நிரப்ப முடியலாம்.

0:04:32.692,0:04:33.844
அடுத்து இத்தகைய விளையாட்டைச் செய்கிற போது

0:04:33.844,0:04:34.678
இதைக் காட்டிலும் இரண்டு மடங்கு வேகத்தில் கூடச் செய்ய முடியலாம்.

0:04:34.678,0:04:35.955
(and the next... <i>high pitched garble</i>)