Este aqui é um vídeo "revolucionário"
por vários motivos.
Primeiro, porque farei uma introdução à VARIÂNCIA de uma amostra,
o que só por si já é deveras interessante.
E segundo, porque estou a tentar gravar em HD (Alta Definição)
E, espero eu, poderão agora ver o vídeo maior e mais nitidamente
que nunca.
Mas vamos ver como corre.
É uma experiência, espero que consigam acompanhar.
Mas pronto, antes de começarmos com a variância de uma amostra,
considero ser importante rever o conceito de VARIÂNCIA
de uma população.
E podemos comparar as fórmulas.
A variância de uma população -- É esta
letra Grega sigma
este sigma minúsculo e ao quadrado.
Isto simboliza a variância.
Sei que é estranho uma variável já
apresentar um quadrado(^2) nela.
Mas não estamos a colocar uma variável ao quadrado.
Esta é MESMO a variável.
Sigma ao quadrado significa VARIÂNCIA.
Aliás, vou apontar aqui.
Isto é igual à variância.
E isto é igual a -- Podemos retirar cada ponto de dados -- E
vamos chamá-los de x menos i.
Pega-se em cada um dos dados de ponto, descobrimos o quão afastado o valor está
da média da população, coloca-se ao quadrado e depois vamos para
a média de todos eles.
Portanto pega-se na média, somam-se os valores todos
vamos de "i", que é igual a 1.
E do primeiro ponto, até ao ponto "n".
e depois, para se obter uma média final, soma-se tudo e
depois dividimos por "N".
Portanto a variância é a média destas distâncias ao quadrado,
de cada ponto até à média.
Para se tornar mais intuitivo, a variância diz, basicamente
o quão afastado cada valor dos pontos está, em média,
afastado do valor meio.
Esta é a melhor maneira de pensarmos sobre a variância.
E agora que lidamos com -- isto foi tudo para
uma população, correcto?
E dissémos que se queríamos descobrir a variância da
altura dos homens num país, seria muito difícil
descobrir a variância de uma população.
Teríamos de, praticamente, medir
a altura de todos eles.
250 milhões de pessoas.
E como seria para uma população para a qual seja
completamente impossível obter os dados ou
alguma variável aleatória.
Abordaremos isto mais tarde.
Portanto, uma boa parte das vezes, o que queremos é ESTIMAR a variância
através de uma amostra.
Do mesmo modo que nunca conseguiríamos obter a média de uma população,
mas poderíamos querer estimá-la por intermédio
da média de uma amostra.
E já aprendemos isto no primeiro vídeo.
Se isto é -- se isto é a população total
Sendo isto milhões de pontos de dados, ou mesmo pontos de dados no
futuro e que nunca conseguiremos obter porque
são variáveis aleatórias,
Então esta é a nossa população.
Poderemos querer apenas estimar as coisas analisando uma amostra.
E é essencialmente nisto que consiste
a Estatística Inferencial, afinal de contas:
a obtenção de estatísticas descritivas de uma amostra
e fazer inferências sobre a população total.
Vou por exemplo testar esta droga em 100 pessoas e se tiver
surtido efeitos significativos, estatisticamente, esta droga
irá provavelmente funcionar na população em geral.
É nisto que consiste a Estatística Inferencial.
Portanto é muito importante compreender a noção de
uma amostra e diferenciá-la da de população,
e de sermos capazes de descobrir estatísticas sobre uma amostra que,
caso geral, consiga descrever uma população ou ajudar-nos
a estimar, como dizem, parâmetros para a população.
Então qual é a média de uma -- Vou apenas re-escrever estas definições.
Qual é a média de uma população?
Vou escrever em roxo.
Roxo para a população.
A média da população.
Pegamos apenas em cada um dos pontos de dados: "x(i)"...
Somam-se todos...
começamos com o primeiro ponto e fazemos o processo
até ao ponto "N" dos dados.
E finalmente dividimos por "N".
Soma-se tudo e divide-se por "N".
Isto é a média.
Então seguimos agora esta fórmula
e podemos ver o quão afastado está cada ponto deste mesmo
ponto central, que é a MÉDIA.
E assim obtemos a variância.
Mas o que acontece se o fizermos para uma amostra?
Bem, se quisermos estimar a média de uma população pelo
cálculo de uma média para uma amostra, o melhor método que
estou a ver -- E isto são apenas fórmulas "engenhadas"
que representam pessoas a dizer: "bem, qual é a
melhor maneira de "amostrar" isto tudo?
Bem, o que conseguimos é pegar na média da nossa amostra.
E isto é a MÉDIA AMOSTRAL.
E aprendemos no primeiro vídeo que a notação
-- A fórmula é quase idêntica a esta,
é apenas a notação que muda.
Em vez de escrevermos "myu", escrevemos um "x" com uma linha em cima.
Média Amostral é igual a -- Uma vez mais, pega-se em cada um dos
pontos de dados... os da amostra desta vez, não os da população toda...
soma-se tudo desde o primeiro valor até
ao valor "n", correcto?
Está-se basicamente a dizer que há "n" pontos de dados nesta amostra.
E depois divide-se pelo número de pontos de dados que se tem.
Parece justo.
É, aliás, praticamente a mesma fórmula.
O modo como peguei na média de uma população e disse:
"bem, já que tenho apenas a amostra, vou calcular a sua média do mesmo modo."
E é provavelmente uma boa estimativa da média
da população total.
E agora é que fica interessante, ao inserirmos a variância nestes dados.
A reacção normal de uma pessoa seria: "OK, tenho esta amostra.
E se quero estimar a variância da população,
porque não apenas aplicar a mesma fórmula
à amostra em questão?"
E eu poderia dizer -- E isto é de facto uma Variância Amostral.
Usa-se a fórmula: S ao quadrado.
Já agora, "sigma" é basicamente a letra Grega equivalente ao "S".
E agora, quando lidarmos com a amostra, iremos
apenas escrever o "S".
E isto é a VARIÂNCIA AMOSTRAL.
Vou apenas escrever aqui...
Variância Amostral.
Isto é -- Portanto poderíamos dizer: "bem, talvez uma boa forma de pegar na
variância amostral é obtendo-a nela do mesmo modo.
Vamos buscar a distância de cada ponto na amostra
descobrir o quão afastada está da nossa média amostral,
aqui usou-se a média da população, mas agora iremos usar
a média da amostra, porque é tudo o que temos.
Não é possível saber a média da população
sem olhar para TODA a população.
Calcula-se o quadrado disto tudo.
Para o tornar positivo, entre outros motivos
que serão abordados depois.
E depois pega-se na média de todas estas distâncias ao quadrado.
E obtém-se do -- Somamos tudo
e há "n" valores para somar, certo?
n minúsculo.
e dividimos pelo "n" minúsculo
E dirão: "Bem, isto é uma boa estimativa."
Qualquer que seja a variância, esta será uma boa estimativa
para o total da população.
Por acaso, é a isto que algumas pessoas se referem quando
falam de variância amostral.
E, às vezes, esta pode ser referida deste modo:
coloca-se um "n" minúsculo aqui...
Faz-se isto porque dividimos tudo por "n".
E pegungam vocês: "Sal, qual é o problema aqui?"
E o problema -- Explicar-vos-ei o raciocínio porque eu
costumava reflectir muito sobre isto.
E, francamente, ainda penso muito sobre
a intuição por detrás do seguinte.
Bem, eu já tenho o raciocínio, mas de certo modo porque
este se foi rigorosamente confirmando-se como sendo verídico, para mim.
Mas pensem deste modo:
Se tiver uns quantos números, e vou desenhar
uma linha de números...
Se desenhar uma linha de números aqui. Suponhamos que sabemos --
E digamos que tenho uns quantos números sobre a minha população.
Digamos que -- vou apenas colocar aleatoriamente uns quantos
números na minha população...
E aqueles à direita são maiores que os
do lado esquerdo.
E se fôssemos retirar uma amostra deles, talvez eu retire --
A amostra, ela deve ser aleatória
Precisamos de retirar uma amostra aleatoriamente.
Não queremos que seja enviesada
E vou então talvez retirar este, este, este...
e este aqui, não?
E depois se fosse calcular a média daquele,
daquele, daquele, daquele...
Estaria localizada (a média) algures no meio...
poderá ser algures por aqui.
E depois se quisesse descobrir a variância amostral por
esta fórmula, diria: "Ok, a distância ao quadrado mais esta
distância quadrada mais esta distância quadrada mais
esta distância quadrada e faz-se a média de todas.
E iria obter este número.
E isto provavelmente seria uma aproximação boa para
a variância de toda esta população.
A população da média será provavelmente...
sei lá
poderá estar muito próxima deste valor
Se porventura retirássemos todos estes valores e calculássemos a média
talvez estivessem... aqui algures.
E depois se se descobrir a variância, estaria provavelmente
muito próxima da média de todas estas linhas, certo?
De todas as distâncias de variância amostral, certo?
Parece justo.
Então agora dizem: "Ei, Sal
Isto agora parece estar bem!"
Mas há um problema.
Então e se -- Há sempre a probabilidade de,
em vez de pegarmos nestes números bem distribuídos
na minha amostra, e se pegasse neste número, neste número,
e neste número para definir -- e também aquele número --
a minha amostra?
Bem, seja qual for a amostra, a média amostral estará
sempre no meio, correcto?
Bem, neste caso, a média amostral poderá estar AQUI MESMO.
E todos estes números... poderão aliás dizer: "Ok, este número não
está demasiado afastado deste, aquele não está demasiado afastado, e depois
aquele número também não."
Portanto a variância amostral, quando efectuada deste modo,
poderá ser relativamente baixa
porque todos estes números, estão muito -- vão
praticamente, ficar muito próximos da
média uns dos outros.
Mas neste caso, a amostra está algo enviezada e
a média da população estará algures afastada por aqui.
Então a variância da amostra, se pudéssemos
de facto saber a média -- sei que isto é algo confuso --
se tivéssemos sabido mesmo a média,
teríamos dito "Uau!!
Teríamos descoberto estas distâncias, das quais
haveriam tantas outras.
Essencialmente, o que digo é que, quando se pega
numa amostra, há a probabilidade que a média amostral
seja bastante próxima da média populacional, certo?
Talvez a média amostral seja aqui e a
média populacional aqui.
E depois esta fórmula irá funcionar, provavelmente, muito bem,
ao menos dados estes pontos amostrais e descobrindo
qual é a variância.
Mas também há uma hipótese considerável da nossa média amostral
-- a nossa amostra estará sempre dentro dos dados da amostra, certo?
Estará sempre no meio da amostra de dados. --
Mas é inteiramente possível que a média populacional
esteja fora da amostra de dados.
Poderemos ter pegado nos dados
não representativos da média populacional.
E depois, esta variância amostral calculada assim irá
de facto subestimar a verdadeira
variância populacional, certo?
Porque irão sempre estar mais próximo da sua própria média
do que da média populacional.
E se estiverem a perceber, francamente, até 10%
disto tudo, então são alunos muito avançados de estatística
mas só digo isto tudo para, espero eu,
vos estimular o raciocínio sobre como estes dados irão ocasionalmente subestimar --
Como esta fórmula irá ocasionalmente subestimar
a variância populacional propriamente dita.
E existe uma fórmula -- e isto é comprovado mais rigorosamente
do que irei fazer aqui -- que é considerada melhor,
-- ou como dizem "não-enviesada" -- estimativa da
variância populacional.
Ou a variância populacional não-enviesada.
E por vezes é representada pelo "S ao quadrado" outra vez
E outra vezes por isto: "S n menos 1 ao quadrado".
E vou explicar porquê.
É praticamente o mesmo:
Pega-se em cada um dos pontos de dados, descobre-se o quão afastados
estão da média amostral
Faz-se o quadrado.
E depois, pega-se na média destes quadrados, excepto
por uma ligeira diferença:
de i=1 até i=n
Em vez de se dividir por "n", divide-se por um número
ligeiramente menor.
divide-se por "n" menos 1.
E quando se divide o "n" menos 1 em vez de se dividir por
"n", ir-se-á obter um número um pouco maior.
E ao que parece esta é de facto
uma estimativa muito melhor.
-- Um dia, irei escrever um programa de computador para, pelo menos,
conseguir convencer-me a mim próprio e experimentalmente
de que isto é uma estimativa melhor para a variância populacional. --
E depois calcular-se-ia da mesma maneira,
apenas se divide por (n-1)
A outra maneira de pensar sobre isto -- E não, calma.
Já não tenho tempo.
Por agora, ficamos por aqui.
E depois no próximo vídeo, faremos uns quantos
cálculos para não ficarem muito sobrecarregados
com estas ideias.
Porque isto está a ficar um pouco abstracto.
Ver-nos-emos no próximo vídeo, até então!