0:00:01.100,0:00:03.320
Este aqui é um vídeo "revolucionário"

0:00:03.320,0:00:05.340
por vários motivos.

0:00:05.340,0:00:09.910
Primeiro, porque farei uma introdução à VARIÂNCIA de uma amostra,

0:00:09.910,0:00:11.750
o que só por si já é deveras interessante.

0:00:11.750,0:00:14.520
E segundo, porque estou a tentar gravar em HD (Alta Definição)

0:00:14.520,0:00:16.370
E, espero eu, poderão agora ver o vídeo maior e mais nitidamente

0:00:16.370,0:00:17.030
que nunca.

0:00:17.030,0:00:19.150
Mas vamos ver como corre.

0:00:19.150,0:00:22.060
É uma experiência, espero que consigam acompanhar.

0:00:22.060,0:00:25.180
Mas pronto, antes de começarmos com a variância de uma amostra,

0:00:25.180,0:00:28.090
considero ser importante rever o conceito de VARIÂNCIA

0:00:28.090,0:00:28.870
de uma população.

0:00:28.870,0:00:32.180
E podemos comparar as fórmulas.

0:00:32.180,0:00:34.790
A variância de uma população -- É esta

0:00:34.790,0:00:36.100
letra Grega sigma

0:00:36.100,0:00:37.420
este sigma minúsculo e ao quadrado.

0:00:37.420,0:00:38.500
Isto simboliza a variância.

0:00:38.500,0:00:41.010
Sei que é estranho uma variável já

0:00:41.010,0:00:41.710
apresentar um quadrado(^2) nela.

0:00:41.710,0:00:42.840
Mas não estamos a colocar uma variável ao quadrado.

0:00:42.840,0:00:44.240
Esta é MESMO a variável.

0:00:44.240,0:00:45.780
Sigma ao quadrado significa VARIÂNCIA.

0:00:45.780,0:00:46.840
Aliás, vou apontar aqui.

0:00:46.840,0:00:48.005
Isto é igual à variância.

0:00:51.550,0:00:55.430
E isto é igual a -- Podemos retirar cada ponto de dados -- E

0:00:55.430,0:00:58.800
vamos chamá-los de x menos i.

0:00:58.800,0:01:01.700
Pega-se em cada um dos dados de ponto, descobrimos o quão afastado o valor está

0:01:01.700,0:01:08.750
da média da população, coloca-se ao quadrado e depois vamos para

0:01:08.750,0:01:11.160
a média de todos eles.

0:01:11.160,0:01:12.900
Portanto pega-se na média, somam-se os valores todos

0:01:12.900,0:01:14.200
vamos de "i", que é igual a 1.

0:01:14.200,0:01:17.700
E do primeiro ponto, até ao ponto "n".

0:01:17.700,0:01:19.940
e depois, para se obter uma média final, soma-se tudo e

0:01:19.940,0:01:21.970
depois dividimos por "N".

0:01:21.970,0:01:25.970
Portanto a variância é a média destas distâncias ao quadrado,

0:01:25.970,0:01:27.390
de cada ponto até à média.

0:01:27.390,0:01:29.700
Para se tornar mais intuitivo, a variância diz, basicamente

0:01:29.700,0:01:32.920
o quão afastado cada valor dos pontos está, em média,

0:01:32.920,0:01:34.420
afastado do valor meio.

0:01:34.420,0:01:36.250
Esta é a melhor maneira de pensarmos sobre a variância.

0:01:36.250,0:01:37.640
E agora que lidamos com -- isto foi tudo para

0:01:37.640,0:01:39.140
uma população, correcto?

0:01:39.140,0:01:42.050
E dissémos que se queríamos descobrir a variância da

0:01:42.050,0:01:44.580
altura dos homens num país, seria muito difícil

0:01:44.580,0:01:46.480
descobrir a variância de uma população.

0:01:46.480,0:01:48.910
Teríamos de, praticamente, medir

0:01:48.910,0:01:49.790
a altura de todos eles.

0:01:49.790,0:01:51.360
250 milhões de pessoas.

0:01:51.360,0:01:55.080
E como seria para uma população para a qual seja

0:01:55.080,0:01:56.860
completamente impossível obter os dados ou

0:01:56.860,0:01:57.640
alguma variável aleatória.

0:01:57.640,0:01:59.100
Abordaremos isto mais tarde.

0:01:59.100,0:02:02.660
Portanto, uma boa parte das vezes, o que queremos é ESTIMAR a variância

0:02:02.660,0:02:04.690
através de uma amostra.

0:02:04.690,0:02:07.420
Do mesmo modo que nunca conseguiríamos obter a média de uma população,

0:02:07.420,0:02:09.570
mas poderíamos querer estimá-la por intermédio

0:02:09.570,0:02:11.064
da média de uma amostra.

0:02:11.064,0:02:13.890
E já aprendemos isto no primeiro vídeo.

0:02:13.890,0:02:17.520
Se isto é -- se isto é a população total

0:02:17.520,0:02:20.280
Sendo isto milhões de pontos de dados, ou mesmo pontos de dados no

0:02:20.280,0:02:21.870
futuro e que nunca conseguiremos obter porque

0:02:21.870,0:02:23.290
são variáveis aleatórias,

0:02:23.290,0:02:24.243
Então esta é a nossa população.

0:02:26.920,0:02:32.390
Poderemos querer apenas estimar as coisas analisando uma amostra.

0:02:32.390,0:02:35.020
E é essencialmente nisto que consiste

0:02:35.020,0:02:36.360
a Estatística Inferencial, afinal de contas:

0:02:36.360,0:02:38.720
a obtenção de estatísticas descritivas de uma amostra

0:02:38.720,0:02:40.890
e fazer inferências sobre a população total.

0:02:40.890,0:02:44.610
Vou por exemplo testar esta droga em 100 pessoas e se tiver

0:02:44.610,0:02:46.880
surtido efeitos significativos, estatisticamente, esta droga

0:02:46.880,0:02:48.850
irá provavelmente funcionar na população em geral.

0:02:48.850,0:02:49.800
É nisto que consiste a Estatística Inferencial.

0:02:49.800,0:02:51.920
Portanto é muito importante compreender a noção de

0:02:51.920,0:02:53.580
uma amostra e diferenciá-la da de população,

0:02:53.580,0:02:57.510
e de sermos capazes de descobrir estatísticas sobre uma amostra que,

0:02:57.510,0:03:00.160
caso geral, consiga descrever uma população ou ajudar-nos

0:03:00.160,0:03:03.720
a estimar, como dizem, parâmetros para a população.

0:03:03.720,0:03:07.330
Então qual é a média de uma -- Vou apenas re-escrever estas definições.

0:03:07.330,0:03:08.830
Qual é a média de uma população?

0:03:08.830,0:03:09.940
Vou escrever em roxo.

0:03:09.940,0:03:11.630
Roxo para a população.

0:03:11.630,0:03:13.680
A média da população.

0:03:13.680,0:03:19.700
Pegamos apenas em cada um dos pontos de dados: "x(i)"...

0:03:19.700,0:03:21.850
Somam-se todos...

0:03:21.850,0:03:23.830
começamos com o primeiro ponto e fazemos o processo

0:03:23.830,0:03:25.620
até ao ponto "N" dos dados.

0:03:25.620,0:03:26.740
E finalmente dividimos por "N".

0:03:26.740,0:03:27.800
Soma-se tudo e divide-se por "N".

0:03:27.800,0:03:28.920
Isto é a média.

0:03:28.920,0:03:30.500
Então seguimos agora esta fórmula

0:03:30.500,0:03:33.060
e podemos ver o quão afastado está cada ponto deste mesmo

0:03:33.060,0:03:34.270
ponto central, que é a MÉDIA.

0:03:34.270,0:03:36.260
E assim obtemos a variância.

0:03:36.260,0:03:39.670
Mas o que acontece se o fizermos para uma amostra?

0:03:39.670,0:03:43.350
Bem, se quisermos estimar a média de uma população pelo

0:03:43.350,0:03:46.600
cálculo de uma média para uma amostra, o melhor método que

0:03:46.600,0:03:49.170
estou a ver -- E isto são apenas fórmulas "engenhadas"

0:03:49.170,0:03:51.140
que representam pessoas a dizer: "bem, qual é a

0:03:51.140,0:03:51.710
melhor maneira de "amostrar" isto tudo?

0:03:51.710,0:03:54.550
Bem, o que conseguimos é pegar na média da nossa amostra.

0:03:54.550,0:03:56.820
E isto é a MÉDIA AMOSTRAL.

0:03:56.820,0:03:58.920
E aprendemos no primeiro vídeo que a notação

0:03:58.920,0:04:00.450
-- A fórmula é quase idêntica a esta,

0:04:00.450,0:04:01.540
é apenas a notação que muda.

0:04:01.540,0:04:04.990
Em vez de escrevermos "myu", escrevemos um "x" com uma linha em cima.

0:04:04.990,0:04:08.620
Média Amostral é igual a -- Uma vez mais, pega-se em cada um dos

0:04:08.620,0:04:12.100
pontos de dados... os da amostra desta vez, não os da população toda...

0:04:12.100,0:04:16.370
soma-se tudo desde o primeiro valor até

0:04:16.370,0:04:17.380
ao valor "n", correcto?

0:04:17.380,0:04:20.640
Está-se basicamente a dizer que há "n" pontos de dados nesta amostra.

0:04:20.640,0:04:23.390
E depois divide-se pelo número de pontos de dados que se tem.

0:04:23.390,0:04:24.320
Parece justo.

0:04:24.320,0:04:25.660
É, aliás, praticamente a mesma fórmula.

0:04:25.660,0:04:27.500
O modo como peguei na média de uma população e disse:

0:04:27.500,0:04:29.590
"bem, já que tenho apenas a amostra, vou calcular a sua média do mesmo modo."

0:04:29.590,0:04:32.560
E é provavelmente uma boa estimativa da média

0:04:32.560,0:04:33.930
da população total.

0:04:33.930,0:04:36.340
E agora é que fica interessante, ao inserirmos a variância nestes dados.

0:04:36.340,0:04:39.250
A reacção normal de uma pessoa seria: "OK, tenho esta amostra.

0:04:39.250,0:04:43.260
E se quero estimar a variância da população,

0:04:43.260,0:04:45.230
porque não apenas aplicar a mesma fórmula

0:04:45.230,0:04:46.150
à amostra em questão?"

0:04:46.150,0:04:49.330
E eu poderia dizer -- E isto é de facto uma Variância Amostral.

0:04:49.330,0:04:54.570
Usa-se a fórmula: S ao quadrado.

0:04:54.570,0:04:58.220
Já agora, "sigma" é basicamente a letra Grega equivalente ao "S".

0:04:58.220,0:04:59.980
E agora, quando lidarmos com a amostra, iremos

0:04:59.980,0:05:01.000
apenas escrever o "S".

0:05:01.000,0:05:02.320
E isto é a VARIÂNCIA AMOSTRAL.

0:05:02.320,0:05:03.070
Vou apenas escrever aqui...

0:05:03.070,0:05:03.950
Variância Amostral.

0:05:11.860,0:05:15.870
Isto é -- Portanto poderíamos dizer: "bem, talvez uma boa forma de pegar na

0:05:15.870,0:05:17.340
variância amostral é obtendo-a nela do mesmo modo.

0:05:17.340,0:05:23.670
Vamos buscar a distância de cada ponto na amostra

0:05:23.670,0:05:26.600
descobrir o quão afastada está da nossa média amostral,

0:05:26.600,0:05:29.230
aqui usou-se a média da população, mas agora iremos usar

0:05:29.230,0:05:31.450
a média da amostra, porque é tudo o que temos.

0:05:31.450,0:05:33.160
Não é possível saber a média da população

0:05:33.160,0:05:35.510
sem olhar para TODA a população.

0:05:35.510,0:05:36.400
Calcula-se o quadrado disto tudo.

0:05:36.400,0:05:38.160
Para o tornar positivo, entre outros motivos

0:05:38.160,0:05:40.160
que serão abordados depois.

0:05:40.160,0:05:42.730
E depois pega-se na média de todas estas distâncias ao quadrado.

0:05:42.730,0:05:44.970
E obtém-se do -- Somamos tudo

0:05:44.970,0:05:47.430
e há "n" valores para somar, certo?

0:05:47.430,0:05:48.400
n minúsculo.

0:05:48.400,0:05:51.820
e dividimos pelo "n" minúsculo

0:05:51.820,0:05:53.230
E dirão: "Bem, isto é uma boa estimativa."

0:05:53.230,0:05:55.580
Qualquer que seja a variância, esta será uma boa estimativa

0:05:55.580,0:05:56.720
para o total da população.

0:05:56.720,0:06:00.620
Por acaso, é a isto que algumas pessoas se referem quando

0:06:00.620,0:06:01.980
falam de variância amostral.

0:06:01.980,0:06:05.260
E, às vezes, esta pode ser referida deste modo:

0:06:05.260,0:06:07.520
coloca-se um "n" minúsculo aqui...

0:06:07.520,0:06:09.840
Faz-se isto porque dividimos tudo por "n".

0:06:09.840,0:06:11.840
E pegungam vocês: "Sal, qual é o problema aqui?"

0:06:11.840,0:06:14.000
E o problema -- Explicar-vos-ei o raciocínio porque eu

0:06:14.000,0:06:16.180
costumava reflectir muito sobre isto.

0:06:16.180,0:06:19.340
E, francamente, ainda penso muito sobre

0:06:19.340,0:06:21.530
a intuição por detrás do seguinte.

0:06:21.530,0:06:24.510
Bem, eu já tenho o raciocínio, mas de certo modo porque

0:06:24.510,0:06:26.950
este se foi rigorosamente confirmando-se como sendo verídico, para mim.

0:06:26.950,0:06:28.280
Mas pensem deste modo:

0:06:28.280,0:06:29.905
Se tiver uns quantos números, e vou desenhar

0:06:29.905,0:06:32.740
uma linha de números...

0:06:32.740,0:06:35.740
Se desenhar uma linha de números aqui. Suponhamos que sabemos --

0:06:35.740,0:06:39.430
E digamos que tenho uns quantos números sobre a minha população.

0:06:39.430,0:06:41.660
Digamos que -- vou apenas colocar aleatoriamente uns quantos

0:06:41.660,0:06:44.280
números na minha população...

0:06:44.280,0:06:45.928
E aqueles à direita são maiores que os

0:06:45.928,0:06:46.355
do lado esquerdo.

0:06:48.900,0:06:52.990
E se fôssemos retirar uma amostra deles, talvez eu retire --

0:06:52.990,0:06:54.820
A amostra, ela deve ser aleatória

0:06:54.820,0:06:56.210
Precisamos de retirar uma amostra aleatoriamente.

0:06:56.210,0:06:57.320
Não queremos que seja enviesada

0:06:57.320,0:07:02.900
E vou então talvez retirar este, este, este...

0:07:02.900,0:07:05.420
e este aqui, não?

0:07:05.420,0:07:07.480
E depois se fosse calcular a média daquele,

0:07:07.480,0:07:08.460
daquele, daquele, daquele...

0:07:08.460,0:07:09.320
Estaria localizada (a média) algures no meio...

0:07:09.320,0:07:11.010
poderá ser algures por aqui.

0:07:11.010,0:07:13.240
E depois se quisesse descobrir a variância amostral por

0:07:13.240,0:07:16.780
esta fórmula, diria: "Ok, a distância ao quadrado mais esta

0:07:16.780,0:07:21.060
distância quadrada mais esta distância quadrada mais

0:07:21.060,0:07:23.520
esta distância quadrada e faz-se a média de todas.

0:07:23.520,0:07:24.700
E iria obter este número.

0:07:24.700,0:07:27.820
E isto provavelmente seria uma aproximação boa para

0:07:27.820,0:07:30.260
a variância de toda esta população.

0:07:30.260,0:07:32.070
A população da média será provavelmente...

0:07:32.070,0:07:33.030
sei lá

0:07:33.030,0:07:35.020
poderá estar muito próxima deste valor

0:07:35.020,0:07:37.150
Se porventura retirássemos todos estes valores e calculássemos a média

0:07:37.150,0:07:39.060
talvez estivessem... aqui algures.

0:07:39.060,0:07:40.660
E depois se se descobrir a variância, estaria provavelmente

0:07:40.660,0:07:43.590
muito próxima da média de todas estas linhas, certo?

0:07:43.590,0:07:46.810
De todas as distâncias de variância amostral, certo?

0:07:46.810,0:07:47.250
Parece justo.

0:07:47.250,0:07:47.900
Então agora dizem: "Ei, Sal

0:07:47.900,0:07:49.710
Isto agora parece estar bem!"

0:07:49.710,0:07:51.940
Mas há um problema.

0:07:51.940,0:07:54.560
Então e se -- Há sempre a probabilidade de,

0:07:54.560,0:07:56.990
em vez de pegarmos nestes números bem distribuídos

0:07:56.990,0:08:00.800
na minha amostra, e se pegasse neste número, neste número,

0:08:00.800,0:08:03.920
e neste número para definir -- e também aquele número --

0:08:03.920,0:08:05.400
a minha amostra?

0:08:05.400,0:08:08.370
Bem, seja qual for a amostra, a média amostral estará

0:08:08.370,0:08:10.210
sempre no meio, correcto?

0:08:10.210,0:08:12.960
Bem, neste caso, a média amostral poderá estar AQUI MESMO.

0:08:12.960,0:08:15.010
E todos estes números... poderão aliás dizer: "Ok, este número não

0:08:15.010,0:08:17.810
está demasiado afastado deste, aquele não está demasiado afastado, e depois

0:08:17.810,0:08:19.100
aquele número também não."

0:08:19.100,0:08:21.790
Portanto a variância amostral, quando efectuada deste modo,

0:08:21.790,0:08:23.610
poderá ser relativamente baixa

0:08:23.610,0:08:26.920
porque todos estes números, estão muito -- vão

0:08:26.920,0:08:28.920
praticamente, ficar muito próximos da

0:08:28.920,0:08:30.350
média uns dos outros.

0:08:30.350,0:08:34.600
Mas neste caso, a amostra está algo enviezada e

0:08:34.600,0:08:37.980
a média da população estará algures afastada por aqui.

0:08:37.980,0:08:40.800
Então a variância da amostra, se pudéssemos

0:08:40.800,0:08:43.670
de facto saber a média -- sei que isto é algo confuso --

0:08:43.670,0:08:44.980
se tivéssemos sabido mesmo a média,

0:08:44.980,0:08:46.830
teríamos dito "Uau!!

0:08:46.830,0:08:48.386
Teríamos descoberto estas distâncias, das quais

0:08:48.386,0:08:51.320
haveriam tantas outras.

0:08:51.320,0:08:53.640
Essencialmente, o que digo é que, quando se pega

0:08:53.640,0:08:58.280
numa amostra, há a probabilidade que a média amostral

0:08:58.280,0:09:00.380
seja bastante próxima da média populacional, certo?

0:09:00.380,0:09:02.610
Talvez a média amostral seja aqui e a

0:09:02.610,0:09:03.360
média populacional aqui.

0:09:03.360,0:09:05.770
E depois esta fórmula irá funcionar, provavelmente, muito bem,

0:09:05.770,0:09:07.770
ao menos dados estes pontos amostrais e descobrindo

0:09:07.770,0:09:09.280
qual é a variância.

0:09:09.280,0:09:14.240
Mas também há uma hipótese considerável da nossa média amostral

0:09:14.240,0:09:16.730
-- a nossa amostra estará sempre dentro dos dados da amostra, certo?

0:09:16.730,0:09:18.740
Estará sempre no meio da amostra de dados. --

0:09:18.740,0:09:21.470
Mas é inteiramente possível que a média populacional

0:09:21.470,0:09:22.590
esteja fora da amostra de dados.

0:09:22.590,0:09:24.750
Poderemos ter pegado nos dados

0:09:24.750,0:09:28.110
não representativos da média populacional.

0:09:28.110,0:09:31.670
E depois, esta variância amostral calculada assim irá

0:09:31.670,0:09:34.990
de facto subestimar a verdadeira

0:09:34.990,0:09:36.240
variância populacional, certo?

0:09:36.240,0:09:38.230
Porque irão sempre estar mais próximo da sua própria média

0:09:38.230,0:09:39.960
do que da média populacional.

0:09:39.960,0:09:43.460
E se estiverem a perceber, francamente, até 10%

0:09:43.460,0:09:45.770
disto tudo, então são alunos muito avançados de estatística

0:09:45.770,0:09:49.120
mas só digo isto tudo para, espero eu,

0:09:49.120,0:09:53.500
vos estimular o raciocínio sobre como estes dados irão ocasionalmente subestimar --

0:09:53.500,0:09:57.240
Como esta fórmula irá ocasionalmente subestimar

0:09:57.240,0:09:59.110
a variância populacional propriamente dita.

0:09:59.110,0:10:01.420
E existe uma fórmula -- e isto é comprovado mais rigorosamente

0:10:01.420,0:10:04.740
do que irei fazer aqui -- que é considerada melhor,

0:10:04.740,0:10:08.000
-- ou como dizem "não-enviesada" -- estimativa da

0:10:08.000,0:10:09.030
variância populacional.

0:10:09.030,0:10:11.390
Ou a variância populacional não-enviesada.

0:10:11.390,0:10:14.160
E por vezes é representada pelo "S ao quadrado" outra vez

0:10:14.160,0:10:18.930
E outra vezes por isto: "S n menos 1 ao quadrado".

0:10:18.930,0:10:20.720
E vou explicar porquê.

0:10:20.720,0:10:22.340
É praticamente o mesmo:

0:10:22.340,0:10:24.730
Pega-se em cada um dos pontos de dados, descobre-se o quão afastados

0:10:24.730,0:10:28.170
estão da média amostral

0:10:28.170,0:10:28.900
Faz-se o quadrado.

0:10:28.900,0:10:31.830
E depois, pega-se na média destes quadrados, excepto

0:10:31.830,0:10:33.430
por uma ligeira diferença:

0:10:33.430,0:10:35.720
de i=1 até i=n

0:10:35.720,0:10:39.370
Em vez de se dividir por "n", divide-se por um número

0:10:39.370,0:10:41.920
ligeiramente menor.

0:10:41.920,0:10:44.350
divide-se por "n" menos 1.

0:10:44.350,0:10:46.880
E quando se divide o "n" menos 1 em vez de se dividir por

0:10:46.880,0:10:49.590
"n", ir-se-á obter um número um pouco maior.

0:10:49.590,0:10:51.060
E ao que parece esta é de facto

0:10:51.060,0:10:52.260
uma estimativa muito melhor.

0:10:52.260,0:10:54.810
-- Um dia, irei escrever um programa de computador para, pelo menos,

0:10:54.810,0:10:57.430
conseguir convencer-me a mim próprio e experimentalmente

0:10:57.430,0:11:01.750
de que isto é uma estimativa melhor para a variância populacional. --

0:11:01.750,0:11:03.430
E depois calcular-se-ia da mesma maneira,

0:11:03.430,0:11:05.270
apenas se divide por (n-1)

0:11:05.270,0:11:07.450
A outra maneira de pensar sobre isto -- E não, calma.

0:11:07.450,0:11:08.340
Já não tenho tempo.

0:11:08.340,0:11:09.500
Por agora, ficamos por aqui.

0:11:09.500,0:11:10.710
E depois no próximo vídeo, faremos uns quantos

0:11:10.710,0:11:12.590
cálculos para não ficarem muito sobrecarregados

0:11:12.590,0:11:13.270
com estas ideias.

0:11:13.270,0:11:14.810
Porque isto está a ficar um pouco abstracto.

0:11:14.810,0:11:16.660
Ver-nos-emos no próximo vídeo, até então!