0:00:00.000,0:00:01.100
.

0:00:01.100,0:00:03.320
Das Video hier ist etwas besonderes

0:00:03.320,0:00:05.340
aus verschiedenen Gründen.

0:00:05.340,0:00:09.910
Erstens: ich zeige Euch die Varianz einer Stichprobe,

0:00:09.910,0:00:11.750
was allein schon interessant ist,

0:00:11.750,0:00:14.520
und ich versuche, das Video hier in HD aufzunehmen.

0:00:14.520,0:00:16.370
Und Ihr seht das hoffentlich größer und schärfer

0:00:16.370,0:00:17.030
als je zuvor.

0:00:17.030,0:00:19.150
Naja, wir werden sehen.

0:00:19.150,0:00:22.060
Ist also alles ein bisschen ein Experiment, ich bitte um Geduld.

0:00:22.060,0:00:25.180
Bevor wir die Varianz einer Stichprobe behandeln,

0:00:25.180,0:00:28.090
wäre es sinnvoll, die Varianz einer Population

0:00:28.090,0:00:28.870
zu wiederholen.

0:00:28.870,0:00:32.180
Dann können wir die Formeln vergleichen.

0:00:32.180,0:00:34.790
Die Varianz einer Population - das hier ist der

0:00:34.790,0:00:36.100
griechische Buchstabe Sigma.

0:00:36.100,0:00:37.420
Klein-Sigma zum Quadrat.

0:00:37.420,0:00:38.500
Das ist die Varianz.

0:00:38.500,0:00:41.010
Ich weiß, das ist komisch, dass eine Variable

0:00:41.010,0:00:41.710
direkt schon quadriert daherkommt.

0:00:41.710,0:00:42.840
Aber man nimmt hier nicht das Quadrat,

0:00:42.840,0:00:44.240
sondern die Variable ist eben Sigma Quadrat.

0:00:44.240,0:00:45.780
Sigma Quadrat heißt Varianz.

0:00:45.780,0:00:46.840
Ich schreib's mal hin.

0:00:46.840,0:00:48.005
Das ist die Varianz.

0:00:48.005,0:00:51.550
.

0:00:51.550,0:00:55.430
Und das ist gleich... Du nimmst jeden Datenpunkt....

0:00:55.430,0:00:58.800
wir nennen die x Index i.

0:00:58.800,0:01:01.700
Du nimmst jeden Datenpunkt, schaust, wie weit der von

0:01:01.700,0:01:08.750
dem Mittelwert der Population weg ist, quadrierst das und

0:01:08.750,0:01:11.160
dann mittelst Du über alle diese.

0:01:11.160,0:01:12.900
Zum Mitteln, summierst Du alle auf.

0:01:12.900,0:01:14.200
Das geht von i gleich 1.

0:01:14.200,0:01:17.700
Also vom ersten Punkt, ganz bis zum n-ten Punkt.

0:01:17.700,0:01:19.940
Und dann, zum Mitteln, summierst Du alle auf und

0:01:19.940,0:01:21.970
teilst das durch n.

0:01:21.970,0:01:25.970
Die Varianz ist also das Mittel all dieser quadrierten Distanzen

0:01:25.970,0:01:27.390
von jedem Punkt und dem Mittelwert.

0:01:27.390,0:01:29.700
Und nur um eine Intuition zu haben, das bedeutet,

0:01:29.700,0:01:32.920
wie weit weg ungefähr die Datenpunkte

0:01:32.920,0:01:34.420
vom Mittelwert entfernt sind.

0:01:34.420,0:01:36.250
So stellt man sich am besten die Varianz vor.

0:01:36.250,0:01:37.640
Aber was, wenn wir... das hier war für

0:01:37.640,0:01:39.140
eine Population, nicht wahr?

0:01:39.140,0:01:42.050
Und wenn wir die Varianz der Körpergröße

0:01:42.050,0:01:44.580
aller Männer im Land haben wollten,

0:01:44.580,0:01:46.480
dann wäre das sehr schwierig.

0:01:46.480,0:01:48.910
Man müsste im Grunde die Größe

0:01:48.910,0:01:49.790
jedes Mannes messen.

0:01:49.790,0:01:51.360
250 Millionen Menschen.

0:01:51.360,0:01:55.080
Oder was wäre, wenn es um eine Population ginge,

0:01:55.080,0:01:56.860
an deren Daten man unmöglich rankäme oder um

0:01:56.860,0:01:57.640
eine Zufallsvariable.

0:01:57.640,0:01:59.100
Dazu später mehr.

0:01:59.100,0:02:02.660
Also in vielen Fällen will man diese Varianz nur abschätzen,

0:02:02.660,0:02:04.690
indem man die Varianz einer Stichprobe nimmt.

0:02:04.690,0:02:07.420
Genauso wie man niemals den Mittelwert einer Population messen kann,

0:02:07.420,0:02:09.570
aber vielleicht will man den abschätzen, indem man

0:02:09.570,0:02:11.064
den Mittelwert einer Stichprobe nimmt.

0:02:11.064,0:02:13.890
Das haben wir im ersten Video gelernt.

0:02:13.890,0:02:17.520
Wenn das hier die ganze Population ist.

0:02:17.520,0:02:20.280
Das sind Millionen von Datenpunkten, sogar Datenpunkte,

0:02:20.280,0:02:21.870
die in der Zukunft liegen, die Du niemals bekommst,

0:02:21.870,0:02:23.290
weil es eine Zufallsvariable ist.

0:02:23.290,0:02:24.243
Das ist also die Population.

0:02:24.243,0:02:26.920
.

0:02:26.920,0:02:32.390
Du willst vielleicht nur eine Schätzung, indem Du eine Stichprobe nimmst.

0:02:32.390,0:02:35.020
Darum geht es im Grunde bei der

0:02:35.020,0:02:36.360
induktiven Statistik.

0:02:36.360,0:02:38.720
Dass man deskriptive Statistikwerte einer Stichprobe herausfindet

0:02:38.720,0:02:40.890
und daraus Schlüsse über die Population zieht.

0:02:40.890,0:02:44.610
Lass uns diese Medizin bei 100 Leuten ausprobieren und

0:02:44.610,0:02:46.880
wenn es statistisch signifikante Ergebnisse bringt,

0:02:46.880,0:02:48.850
wird die Medizin wahrscheinlich auch bei der ganzen Population wirken.

0:02:48.850,0:02:49.800
Darum geht's im Grunde.

0:02:49.800,0:02:51.920
Es ist also echt wichtig, den Unterschied zwischen

0:02:51.920,0:02:53.580
Stichprobe und Population zu verstehen.

0:02:53.580,0:02:57.510
Und wenn man statistische Werte über eine Stichprobe findet,

0:02:57.510,0:03:00.160
die die Population größtenteils beschreiben können oder

0:03:00.160,0:03:03.720
abschätzen können, dann nennen wir diese Werte Parameter für die Population.

0:03:03.720,0:03:07.330
Was ist also der Mittelwert von ... ich schreib diese Definitionen neu.

0:03:07.330,0:03:08.830
Was ist der Mittelwert einer Population?

0:03:08.830,0:03:09.940
Ich mach das mal in lila.

0:03:09.940,0:03:11.630
Lila für Population.

0:03:11.630,0:03:13.680
Der Mittelwert einer Population.

0:03:13.680,0:03:19.700
Du nimmst jeden Datenpunkt in der Population, x i.

0:03:19.700,0:03:21.850
Summierst sie auf.

0:03:21.850,0:03:23.830
Du beginnst mit dem ersten Punkt und gehst durch

0:03:23.830,0:03:25.620
bis zum n-ten Punkt.

0:03:25.620,0:03:26.740
Und teilst durch n.

0:03:26.740,0:03:27.800
Alles aufsummierren und durch n teilen.

0:03:27.800,0:03:28.920
Das ist der Mittelwert.

0:03:28.920,0:03:30.500
Dann fügen wir das in die Formel ein.

0:03:30.500,0:03:33.060
Und Du kannst sehen, wie weit jeder Punkt vom

0:03:33.060,0:03:34.270
zentralen Punkt entfernt ist, vom Mittelwert.

0:03:34.270,0:03:36.260
Und man bekommt die Varianz.

0:03:36.260,0:03:39.670
Was passiert jetzt bei einer Stichprobe?

0:03:39.670,0:03:43.350
Naja, wenn wir den Mittelwert einer Population abschätzen wollen,

0:03:43.350,0:03:46.600
indem wir den Mittelwert für einer Stichprobe berechnen, dann

0:03:46.600,0:03:49.170
ist es das Beste... und das sind alles menschengemachte Formeln.

0:03:49.170,0:03:51.140
Irgendwelche Menschen haben sich gefragt, was ist

0:03:51.140,0:03:51.710
der beste Weg das zu schätzen?

0:03:51.710,0:03:54.550
Das beste, was wir tun können, ist den Mittelwert unserer Stichprobe zu nehmen.

0:03:54.550,0:03:56.820
Und das ist dann der Stichproben-Mittelwert.

0:03:56.820,0:03:58.920
Wir haben im ersten Video gelernt, dass diese Notation

0:03:58.920,0:04:00.450
Die Formel ist fast identisch.

0:04:00.450,0:04:01.540
Nur die Notation ist anders.

0:04:01.540,0:04:04.990
Statt Mü schreibt man x mit einem Strich darauf.

0:04:04.990,0:04:08.620
Stichproben-Mittelwert ist gleich - wieder nimmt man

0:04:08.620,0:04:12.100
nur die Datenpunkte aus der Stichproben, nicht aus der ganzen Population.

0:04:12.100,0:04:16.370
Du summierst sie, vom ersten bis

0:04:16.370,0:04:17.380
zum n-ten, richtig?

0:04:17.380,0:04:20.640
Man sagt, da sind n Datenpunkte in dieser Stichprobe.

0:04:20.640,0:04:23.390
Und dann teilst du es durch die Anzahl der Datenpunkte.

0:04:23.390,0:04:24.320
So weit, so gut.

0:04:24.320,0:04:25.660
Es ist eigentlich die gleiche Formel.

0:04:25.660,0:04:27.500
Wie ich den Mittelwert der Population gerechnet habe, ich sag mal,

0:04:27.500,0:04:29.590
wenn ich nur eine Stichprobe habe, lass mich den Mittelwert genauso berechnen.

0:04:29.590,0:04:32.560
Dann ist das wohl eine gute Schätzung des Mittelwerts

0:04:32.560,0:04:33.930
der Population.

0:04:33.930,0:04:36.340
Bei der Varianz wird's jetzt spannend.

0:04:36.340,0:04:39.250
Die normale Reaktion wäre: OK, ich hab diese Stichprobe

0:04:39.250,0:04:43.260
und wenn ich die Varianz der Population schätzen will,

0:04:43.260,0:04:45.230
warum wende ich nicht die gleiche Formel an

0:04:45.230,0:04:46.150
aber eben über der Stichprobe?

0:04:46.150,0:04:49.330
Das könnte ich sagen - und das ist dann tatsächlich die Stichproben-Varianz.

0:04:49.330,0:04:54.570
Man verwendet s Quadrat.

0:04:54.570,0:04:58.220
Sigma ist ein griechischer Buchstabe, der äquivalent zu s ist.

0:04:58.220,0:04:59.980
Aber da wir hier mit der Stichprobe arbeiten,

0:04:59.980,0:05:01.000
schreiben wir hier s.

0:05:01.000,0:05:02.320
Das ist die Stichproben-Varianz.

0:05:02.320,0:05:03.070
Ich schreib's mal hin.

0:05:03.070,0:05:03.950
Stichproben-Varianz.

0:05:03.950,0:05:11.860
.

0:05:11.860,0:05:15.870
Wir könnten sagen, vielleicht ist es eine gute Idee,

0:05:15.870,0:05:17.340
die Stichproben-Varianz auf die gleiche Weise zu rechnen.

0:05:17.340,0:05:23.670
Wir nehmen die Distanz von jedem der Punkte in der Stichprobe.

0:05:23.670,0:05:26.600
Finden raus, wie weit die sind vom Stichproben-Mittelwert.

0:05:26.600,0:05:29.230
Hier haben die den Populations-Mittelwert benutzt, aber jetzt

0:05:29.230,0:05:31.450
benutzen wir den Stichproben-Mittelwert, weil wir nur den haben.

0:05:31.450,0:05:33.160
Den Populations-Mittelwert kennen wir nicht

0:05:33.160,0:05:35.510
ohne die ganze Population einzubeziehen.

0:05:35.510,0:05:36.400
Nimm das zum Quadrat.

0:05:36.400,0:05:38.160
Das macht es positiv und es weitere Eigenschaften,

0:05:38.160,0:05:40.160
auf die ich später komme.

0:05:40.160,0:05:42.730
Dann nimm den Durchschnitt von allen diesen quadierten Distanzen.

0:05:42.730,0:05:44.970
Summierst alle auf.

0:05:44.970,0:05:47.430
Es gibt n davon, richtig?

0:05:47.430,0:05:48.400
klein-n.

0:05:48.400,0:05:51.820
Du teilst durch klein-n.

0:05:51.820,0:05:53.230
Und du findest, das ist eine gute Schätzung.

0:05:53.230,0:05:55.580
Was auch immer die wahre Varianz ist, das könnte eine gute Schätzung sein

0:05:55.580,0:05:56.720
für die gesamte Population.

0:05:56.720,0:06:00.620
Das ist das, worüber die Leute reden, wenn sie

0:06:00.620,0:06:01.980
von Stichproben-Varianz sprechen.

0:06:01.980,0:06:05.260
Manchmal wird man darauf verwiesen.

0:06:05.260,0:06:07.520
Man schreibt ein klein-n hinein.

0:06:07.520,0:06:09.840
Der Grund ist, wir haben durch n geteilt.

0:06:09.840,0:06:11.840
Du fragst vielleicht: Sal, was ist das Problem?

0:06:11.840,0:06:14.000
Und das Problem... ich versuch mal, einen Eindruck zu vermitteln,

0:06:14.000,0:06:16.180
das hat mich wirklich immer etwas verwirrt.

0:06:16.180,0:06:19.340
Und selbst jetzt muss ich manchmal mit mir ringen,

0:06:19.340,0:06:21.530
um die Idee dahinter zu begreifen.

0:06:21.530,0:06:24.510
Ich habe so eine Idee, aber das etwas formaler

0:06:24.510,0:06:26.950
zu beweisen, dass das wirklich stimmt...

0:06:26.950,0:06:28.280
Stellt Euch das so vor.

0:06:28.280,0:06:29.905
Wenn ich ein paar Zahlen habe

0:06:29.905,0:06:32.740
und ich male einen Zahlenstrahl hier.

0:06:32.740,0:06:35.740
Wenn ich eine Zahl eintrage - sagen wir, man weiß...

0:06:35.740,0:06:39.430
Sagen wir ich habe ein paar Zahlen in meiner Population

0:06:39.430,0:06:41.660
Sagen wir... ich schreibe jetzt zufällig ein paar

0:06:41.660,0:06:44.280
Zahlen in meine Population.

0:06:44.280,0:06:45.928
Und die auf der rechten Seite sind größer als die

0:06:45.928,0:06:46.355
auf der linken Seite.

0:06:46.355,0:06:48.900
.

0:06:48.900,0:06:52.990
Wenn ich eine Stichprobe davon nehme, vielleicht ..

0:06:52.990,0:06:54.820
Die Stichprobe ist zufällig.

0:06:54.820,0:06:56.210
Man will wirklich eine zufällige Stichprobe nehmen.

0:06:56.210,0:06:57.320
Man will nicht, dass das unausgeglichen ist.

0:06:57.320,0:07:02.900
Vielleicht wähle ich diese Zahl, diese und diese

0:07:02.900,0:07:05.420
und diese, OK?

0:07:05.420,0:07:07.480
Wenn ich jetzt den Mittelwert dieser Zahl,

0:07:07.480,0:07:08.460
dieser Zahl, dieser Zahl und dieser Zahl nehme,

0:07:08.460,0:07:09.320
wird der irgendwo in der Mitte sein.

0:07:09.320,0:07:11.010
Vielleicht irgendwo hier drüben.

0:07:11.010,0:07:13.240
Und wenn ich die Stichproben-Varianz berechne

0:07:13.240,0:07:16.780
mit dieser Formel, dann nehme ich diese Distanz zum Quadrat plus

0:07:16.780,0:07:21.060
dieser Distanz zum Qudrat plus dieser Distanz zum Quadrat plus

0:07:21.060,0:07:23.520
dieser Distanz zum Quadrat und mittle über alles.

0:07:23.520,0:07:24.700
Dann würde ich diese Zahl bekommen

0:07:24.700,0:07:27.820
und das wäre wohl eine recht gute Schätzung der

0:07:27.820,0:07:30.260
Varianz der gesamten Population.

0:07:30.260,0:07:32.070
Die Population des Mittelwerts ist möglicherweise

0:07:32.070,0:07:33.030
weiß nicht

0:07:33.030,0:07:35.020
Es könnte ziemlich ähnlich zu dem hier sein.

0:07:35.020,0:07:37.150
Wenn wir alle Datenpunkte nehmen würden und dann das Mittel nähmen,

0:07:37.150,0:07:39.060
dann wäre das vielleicht irgendwo hier.

0:07:39.060,0:07:40.660
Und wenn du dann die Varianz ausrechnest, dann wäre das

0:07:40.660,0:07:43.590
vielleicht recht nah am Mittelwert der ganzen Linien hier, ja?

0:07:43.590,0:07:46.810
Von allen Varianz-Abständen der Stichprobe, ja?

0:07:46.810,0:07:47.250
So weit, so gut.

0:07:47.250,0:07:47.900
Jetzt sagst du, OK, Sal,

0:07:47.900,0:07:49.710
sieht ja ganz gut aus,

0:07:49.710,0:07:51.940
aber da ist ein Haken.

0:07:51.940,0:07:54.560
Was ist denn... Es besteht immer die Möglichkeit, dass man

0:07:54.560,0:07:56.990
nicht diese schön verteilten Zahlen als Stichprobe wählt,

0:07:56.990,0:08:00.800
sondern, was passiert, wenn ich eben diese Zahl, diese Zahl

0:08:00.800,0:08:03.920
und diese Zahl

0:08:03.920,0:08:05.400
als Stichprobe wähle?

0:08:05.400,0:08:08.370
Was auch immer deine Stichprobe ist, dein Stichproben-Mittelwert

0:08:08.370,0:08:10.210
wird immer in der Mitte davon sein, ja?

0:08:10.210,0:08:12.960
Also in diesem Fall ist dein Stichproben-Mittelwert hier.

0:08:12.960,0:08:15.010
Und bei diesen Zahlen würde man jetzt sagen, OK, die Zahl hier

0:08:15.010,0:08:17.810
ist nicht sehr weit von dieser Zahl entfernt und diese Zahl nicht sehr weit von jener und

0:08:17.810,0:08:19.100
diese Zahl ist auch nicht weit.

0:08:19.100,0:08:21.790
Also wird deine Stichproben-Varianz, wenn man's so macht, ziemlich

0:08:21.790,0:08:23.610
niedrig sein.

0:08:23.610,0:08:26.920
Einfach weil alle diese Zahlen ziemlich...

0:08:26.920,0:08:28.920
... ziemlich nah an ihrem Mittelwert

0:08:28.920,0:08:30.350
sein werden.

0:08:30.350,0:08:34.600
Aber in diesem Fall ist die Stichprobe irgendwie unausgeglichen und

0:08:34.600,0:08:37.980
der wirkliche Mittelwert der Population ist ja irgendwo hier drüben.

0:08:37.980,0:08:40.800
Also ist auch die wirkliche Varianz der Stichprobe, wenn man

0:08:40.800,0:08:43.670
den echten Mittelwert wüsste - ich weiß, es klingt verwirrend -

0:08:43.670,0:08:44.980
wenn du den echten Mittelwert wüsstest, würdest du sagen

0:08:44.980,0:08:46.830
"Wow!".

0:08:46.830,0:08:48.386
Du würdest dann diese Abstände hier sehen, die natürlich

0:08:48.386,0:08:51.320
viel größer wären.

0:08:51.320,0:08:53.640
Warum ich das alles erzähle ist, wenn du

0:08:53.640,0:08:58.280
eine Stichprobe nimmst, dann ist es möglich, dass dein Stichproben-Mittelwert

0:08:58.280,0:09:00.380
dem Populations-Mittelwert sehr ähnlich ist, ja?

0:09:00.380,0:09:02.610
Der Stichproben-Mittelwert ist vielleicht hier und der

0:09:02.610,0:09:03.360
Populations-Mittelwert hier.

0:09:03.360,0:09:05.770
Und dann funktioniert diese Formel ganz wunderbar,

0:09:05.770,0:09:07.770
jedenfalls, was die Stichprobenpunkte betrifft und was das

0:09:07.770,0:09:09.280
Berechnen der Varianz betrifft.

0:09:09.280,0:09:14.240
Aber es kann auch sein, dass dein Stichproben-Mittelwert...

0:09:14.240,0:09:16.730
also die Stichprobe ist immer in den Daten enthalten, ja?

0:09:16.730,0:09:18.740
Der Mittelwert ist immer in der Mitte der Stichproben-Daten.

0:09:18.740,0:09:21.470
Aber es ist durchaus möglich, dass der Populations-Mittelwert

0:09:21.470,0:09:22.590
außerhalb der Stichproben-Daten liegt.

0:09:22.590,0:09:24.750
Es kann einfach sein, dass du Werte gewählt hast,

0:09:24.750,0:09:28.110
die nicht den eigentlichen Populations-Mittelwert enthalten.

0:09:28.110,0:09:31.670
Und wenn du dann die Stichproben-Varianz auf diesem Weg berechnest,

0:09:31.670,0:09:34.990
dann unterschätzt du die eigentliche

0:09:34.990,0:09:36.240
Populations-Varianz, richtig?

0:09:36.240,0:09:38.230
Einfach, weil sie immer näher am eigenen Mittelwert sein werden

0:09:38.230,0:09:39.960
als am Mittelwert der Population.

0:09:39.960,0:09:43.460
Und wenn du nur 10% von all dem hier verstehst,

0:09:43.460,0:09:45.770
dann bist du bereits ein Student fortgeschrittener Statistik.

0:09:45.770,0:09:49.120
Ich erzähle all das nur, um dir - hoffentlich -

0:09:49.120,0:09:53.500
eine Ahnung davon zu geben, da das hier häufig...

0:09:53.500,0:09:57.240
diese Formel wird häufig die eigentliche Varianz der Population

0:09:57.240,0:09:59.110
unterschätzen.

0:09:59.110,0:10:01.420
Und es gibt eine Formel - und das wurde tatsächlich richtig

0:10:01.420,0:10:04.740
bewiesen - eine Formel, die eine bessere Schätzung,

0:10:04.740,0:10:08.000
oder sagen wir eine ausgeglichenere Schätzung der

0:10:08.000,0:10:09.030
Populations-Varianz darstellt.

0:10:09.030,0:10:11.390
Oder auch die ausgeglichene Stichproben-Varianz.

0:10:11.390,0:10:14.160
Und manchmal wird es einfach als s Quadrat geschrieben,

0:10:14.160,0:10:18.930
manchmal als s Index n-1 zum Quadrat.

0:10:18.930,0:10:20.720
Und ich zeig euch warum.

0:10:20.720,0:10:22.340
Es ist fast das gleiche.

0:10:22.340,0:10:24.730
Du nimmst jeden Datenpunkt, schaust, wie weit sie

0:10:24.730,0:10:28.170
vom Stichproben-Mittelwert weg sind

0:10:28.170,0:10:28.900
und quadrierst das.

0:10:28.900,0:10:31.830
Und dann nimmst du das Mittel dieser quadrierten Werte,

0:10:31.830,0:10:33.430
mit einem kleinen Unterschied:

0:10:33.430,0:10:35.720
i gleich 1 bis i gleich n...

0:10:35.720,0:10:39.370
statt durch n zu teilen, teilst du durch eine etwas

0:10:39.370,0:10:41.920
kleinere Zahl.

0:10:41.920,0:10:44.350
Du teilst durch n minus 1.

0:10:44.350,0:10:46.880
Wenn du durch n minus 1 teilst anstatt durch n zu teilen,

0:10:46.880,0:10:49.590
wirst du ein etwas größeres Ergebnis bekommen.

0:10:49.590,0:10:51.060
Und es stellt sich heraus, dass das

0:10:51.060,0:10:52.260
tatsächlich eine viel bessere Schätzung ist.

0:10:52.260,0:10:54.810
Und eines Tages werde ich ein Computerprogramm schreiben,

0:10:54.810,0:10:57.430
um mir das experimentell zu beweisen, dass das

0:10:57.430,0:11:01.750
eine bessere Abschätzung der Populations-Varianz ist.

0:11:01.750,0:11:03.430
Und man berechnet das auf die gleiche Weise, nur dass

0:11:03.430,0:11:05.270
man durch n minus 1 dividiert.

0:11:05.270,0:11:07.450
Man kann das auch so erklären... aber nein,

0:11:07.450,0:11:08.340
ich habe keine Zeit mehr.

0:11:08.340,0:11:09.500
Wir belassen es erstmal dabei.

0:11:09.500,0:11:10.710
Und im nächsten Video machen wir ein paar

0:11:10.710,0:11:12.590
Rechnungen, dass ihr nicht zu sehr von der Theorie

0:11:12.590,0:11:13.270
erschlagen werdet.

0:11:13.270,0:11:14.810
Weil wir doch recht abstrakt geworden sind.

0:11:14.810,0:11:16.660
Bis zum nächsten Video.

0:11:16.660,0:11:17.000
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