WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:02.120
在两三个视频之前

00:00:02.140 --> 00:00:05.240
我说明了矩阵A的秩

00:00:05.250 --> 00:00:08.640
等于它的转置的秩

00:00:08.650 --> 00:00:10.230
我作了许多论证

00:00:10.240 --> 00:00:12.540
在那个视频最后的时候 我累了

00:00:12.550 --> 00:00:13.700
事实上就是在那天结束的时候

00:00:13.700 --> 00:00:16.010
我想这样做是有意义的

00:00:16.020 --> 00:00:17.890
把它讲得明白一点儿

00:00:17.910 --> 00:00:18.930
因为这很重要

00:00:18.950 --> 00:00:21.140
它会帮助我们更好地明白所有的

00:00:21.160 --> 00:00:22.320
我们学过的东西

00:00:22.330 --> 00:00:25.690
那么 我们来看看――我要

00:00:25.700 --> 00:00:27.980
从A转置开始

00:00:28.000 --> 00:00:34.900
A转置的秩等于

00:00:34.920 --> 00:00:38.860
A转置的列空间的维数

00:00:38.880 --> 00:00:41.630
这就是秩的定义

00:00:41.660 --> 00:00:46.350
A转置的列空间的维数是

00:00:46.370 --> 00:00:53.950
A转置的列空间的

00:00:53.970 --> 00:00:55.560
基向量的个数

00:00:55.570 --> 00:00:56.890
这就是维数的意义

00:00:56.920 --> 00:00:58.140
对于任何子空间

00:00:58.160 --> 00:01:00.050
你们算出来有多少基向量

00:01:00.070 --> 00:01:02.160
在这个子空间中 并数出它们

00:01:02.180 --> 00:01:03.290
这就是你的维数

00:01:03.300 --> 00:01:07.260
所以 它就是A的转置的列空间的基向量的维数

00:01:07.280 --> 00:01:09.810
就是 当然 相同的

00:01:09.820 --> 00:01:11.840
这个我们已经看过很多次了

00:01:11.860 --> 00:01:13.580
和A的行空间是相同的

00:01:17.630 --> 00:01:18.710
对吧？

00:01:18.720 --> 00:01:20.070
A转置的列向量

00:01:20.090 --> 00:01:22.140
和A的行向量是相同的

00:01:22.160 --> 00:01:23.610
这是因为你改变了行和列

00:01:23.630 --> 00:01:27.720
现在 我们怎么算出

00:01:27.750 --> 00:01:30.230
A转置的列空间的基向量的个数

00:01:30.250 --> 00:01:31.500
或者说是A的行空间

00:01:31.520 --> 00:01:33.090
我们想一想

00:01:33.110 --> 00:01:35.390
从矩阵A的列空间能得到什么？

00:01:35.410 --> 00:01:38.540
那么 它等价于――我们说

00:01:38.560 --> 00:01:40.750
我这样来画A

00:01:40.760 --> 00:01:44.800
这就是矩阵A

00:01:44.810 --> 00:01:47.050
我们说这是一个m×n的矩阵

00:01:47.070 --> 00:01:49.450
我将它写成一串行向量

00:01:49.470 --> 00:01:51.080
我也可以将它写成一串列向量

00:01:51.100 --> 00:01:52.660
但现在我们来看看行向量

00:01:52.680 --> 00:01:54.490
这是第一行

00:01:54.500 --> 00:01:57.070
这是列向量的转置

00:01:57.090 --> 00:01:59.930
这是第一行 还有第二行

00:01:59.950 --> 00:02:05.140
直到第m行

00:02:05.150 --> 00:02:06.540
对吧？

00:02:06.560 --> 00:02:07.640
这是一个m×n的矩阵

00:02:07.670 --> 00:02:10.150
这些向量都是在Rn中的

00:02:10.170 --> 00:02:11.970
因为它们有n个分量

00:02:11.980 --> 00:02:13.340
因为我们有n列

00:02:13.350 --> 00:02:15.610
所以 A看起来就是这个样子

00:02:15.630 --> 00:02:17.070
矩阵A看起来就像这样

00:02:17.080 --> 00:02:18.380
然后是A的转置

00:02:18.400 --> 00:02:21.520
所有这些行都变成了列

00:02:21.530 --> 00:02:27.050
矩阵A的转置就是这样 r1 r2

00:02:27.060 --> 00:02:30.170
直到rm

00:02:30.190 --> 00:02:33.520
而这个当然就是一个n×m的矩阵

00:02:33.550 --> 00:02:35.250
把它换成这个

00:02:35.270 --> 00:02:37.860
那么 所有的这些行就变成了列

00:02:37.880 --> 00:02:39.360
对吧？

00:02:39.380 --> 00:02:41.310
并且 明显地列空间――

00:02:41.320 --> 00:02:42.740
或者可能不太明显――

00:02:42.740 --> 00:02:47.320
矩阵A的转置的列空间等于

00:02:47.340 --> 00:02:55.790
由r1 r2直到rm张成的空间

00:02:55.810 --> 00:02:57.110
对吧？

00:02:57.130 --> 00:02:58.720
等于这些向量张成的空间

00:02:58.730 --> 00:02:59.980
或者你可以不太精确地称它

00:03:00.010 --> 00:03:01.770
等于由A的行向量张成的空间

00:03:01.790 --> 00:03:03.390
这就是为什么它被称为行空间

00:03:03.410 --> 00:03:12.430
这个等于由A的行空间张成的空间

00:03:12.440 --> 00:03:14.150
这两个是等价的

00:03:14.160 --> 00:03:16.240
现在 这些是张成空间的向量

00:03:16.250 --> 00:03:18.540
这就是说这是某个子空间

00:03:18.550 --> 00:03:19.800
它是由所有这些列的线性组合组成的

00:03:19.810 --> 00:03:22.080
或者是说所有的这些行的线性组合

00:03:22.100 --> 00:03:25.370
如果我们要找到它的基 我们想要找到

00:03:25.390 --> 00:03:27.530
一个最小的线性无关向量的集合

00:03:27.550 --> 00:03:30.660
我们可以用它来构造任何列

00:03:30.680 --> 00:03:33.670
或者可以用来构造这里的任意行

00:03:33.680 --> 00:03:37.630
这里 现在 当我们将A化为

00:03:37.650 --> 00:03:38.970
行简化阶梯形会怎样？

00:03:38.990 --> 00:03:46.280
我们作一些行变换来讲它化为

00:03:46.290 --> 00:03:48.350
行简化阶梯形

00:03:48.370 --> 00:03:49.550
对吧？

00:03:49.560 --> 00:03:52.600
做一些行变换 你最后就得到了

00:03:52.610 --> 00:03:53.840
某个像这样的东西

00:03:53.870 --> 00:03:57.000
你会得到A的行简化阶梯形

00:03:57.010 --> 00:03:59.350
矩阵A的行简化阶梯形

00:03:59.360 --> 00:04:00.790
看起来就像这样

00:04:00.800 --> 00:04:03.090
你会得到一些主行

00:04:03.100 --> 00:04:05.110
主行有主元

00:04:05.130 --> 00:04:07.180
我们说这是其中之一

00:04:07.200 --> 00:04:08.800
我们说这是其中之一

00:04:08.820 --> 00:04:10.670
这个向下都是0

00:04:10.680 --> 00:04:12.730
这个也是0

00:04:12.750 --> 00:04:14.140
主元必须是

00:04:14.150 --> 00:04:16.190
列中的唯一非零元

00:04:16.210 --> 00:04:18.210
而且它左边的必须都是0

00:04:18.230 --> 00:04:19.680
比如说这个不是

00:04:19.690 --> 00:04:21.460
这些是非零值

00:04:21.490 --> 00:04:22.500
这些是0

00:04:22.530 --> 00:04:25.110
这里是另一个主元

00:04:25.120 --> 00:04:26.130
其它的都是0

00:04:26.150 --> 00:04:28.550
我们说其它所有的都是非主元

00:04:28.560 --> 00:04:30.820
所以就得到了这个

00:04:30.830 --> 00:04:33.340
并且有确定数量的主行

00:04:33.360 --> 00:04:34.600
或是说确定数量的主元 对吧？

00:04:34.640 --> 00:04:36.310
那么就得到了这个

00:04:36.330 --> 00:04:38.890
通过对这些作行变换得到

00:04:38.900 --> 00:04:41.340
所以这些行变换――你知道

00:04:41.360 --> 00:04:43.460
我取3乘以第二行 将它加到第一行

00:04:43.480 --> 00:04:45.350
这就变成了新的第二行

00:04:45.360 --> 00:04:48.190
一直这样作下去 然后你就得到了这些结果

00:04:48.200 --> 00:04:49.340
那么 这些就是

00:04:49.350 --> 00:04:50.660
这些的线性组合

00:04:50.670 --> 00:04:52.010
或者换种说法

00:04:52.030 --> 00:04:53.560
你可以反向作行变换

00:04:53.580 --> 00:04:55.660
我可以从这些开始

00:04:55.670 --> 00:04:58.470
我可以很简单地

00:04:58.480 --> 00:04:59.900
进行反向行变换

00:04:59.920 --> 00:05:02.880
任何线性组合 你都可以反向进行

00:05:02.900 --> 00:05:04.210
我们已经看过这个很多次了

00:05:04.230 --> 00:05:09.490
你可以对这些作行变换

00:05:09.510 --> 00:05:11.290
来得到这些东西

00:05:11.310 --> 00:05:14.630
或者另一种方法来看待它 这里的这些向量

00:05:14.640 --> 00:05:16.200
这里的这些行向量

00:05:16.220 --> 00:05:18.400
它们张成了这些――

00:05:18.410 --> 00:05:21.610
或者所有的这些行向量可以被表示成

00:05:21.630 --> 00:05:24.410
主行的线性组合

00:05:24.430 --> 00:05:27.570
明显地 非主行都是0

00:05:27.580 --> 00:05:30.330
而这些是无用的

00:05:30.350 --> 00:05:32.440
但是 对于主行

00:05:32.450 --> 00:05:34.370
如果你取它们的线性组合

00:05:34.390 --> 00:05:38.070
你可以反向作行阶梯形

00:05:38.070 --> 00:05:39.370
得到这个矩阵

00:05:39.390 --> 00:05:41.010
所以 所有的这些都可以被表示成

00:05:41.020 --> 00:05:42.780
它们的线性组合

00:05:42.800 --> 00:05:46.200
而所有的这些主元由定义――好

00:05:46.210 --> 00:05:48.440
几乎由定义――

00:05:48.460 --> 00:05:49.830
它们是线性无关的 对吧？

00:05:49.850 --> 00:05:51.220
因为这里有一个1

00:05:51.230 --> 00:05:52.500
其它地方没有1

00:05:52.520 --> 00:05:55.460
所以这个不能被表示成

00:05:55.480 --> 00:05:57.340
另一个的线性组合

00:05:57.350 --> 00:06:00.000
所以为什么我要将这个练习？

00:06:00.020 --> 00:06:02.420
好 我们开始讲我们想要

00:06:02.440 --> 00:06:05.220
这个行空间的一组基

00:06:05.240 --> 00:06:07.870
我们想要某个

00:06:07.890 --> 00:06:09.870
线性无关向量的极小集

00:06:09.890 --> 00:06:12.290
它张成了所有这些能张成的的东西

00:06:12.300 --> 00:06:14.790
好 如果所有的这些东西可以被表示成

00:06:14.810 --> 00:06:16.740
这些行向量的线性组合

00:06:16.760 --> 00:06:18.220
以行简化阶梯形――

00:06:18.230 --> 00:06:22.740
或是行简化阶梯形的主行――

00:06:22.760 --> 00:06:25.060
而这些都是线性无关的

00:06:25.080 --> 00:06:26.790
那么这就是一组合理的基

00:06:26.810 --> 00:06:30.370
所有这里的这些主行 这是其中之一

00:06:30.380 --> 00:06:33.310
这是第二个 这是第三个

00:06:33.320 --> 00:06:34.650
或许只有这三个

00:06:34.670 --> 00:06:36.090
这就是这个特殊的例子

00:06:36.110 --> 00:06:38.670
这是行空间的一组合适的基

00:06:38.680 --> 00:06:40.200
那么我把它写下来

00:06:40.210 --> 00:06:51.410
矩阵A的行简化阶梯形的主行

00:06:51.430 --> 00:07:03.100
和A的行空间的一组基

00:07:03.110 --> 00:07:05.580
而A的行空间就是

00:07:05.600 --> 00:07:08.390
A转置的列空间

00:07:08.410 --> 00:07:10.590
矩阵A的行空间就是

00:07:10.610 --> 00:07:11.810
A转置的列空间

00:07:11.820 --> 00:07:12.950
我们已经看过很多次了

00:07:12.970 --> 00:07:14.740
现在 如果我们想要知道

00:07:14.750 --> 00:07:17.960
列空间的维数

00:07:17.980 --> 00:07:20.270
我们仅需数一数主行的个数

00:07:20.280 --> 00:07:22.550
那么你仅需数一数主行的个数

00:07:22.570 --> 00:07:25.320
那么行空间的维数

00:07:25.340 --> 00:07:26.430
就是

00:07:26.440 --> 00:07:28.690
A转置的列空间 就是

00:07:28.700 --> 00:07:30.800
在行简化阶梯形中的

00:07:30.820 --> 00:07:32.170
主行的个数

00:07:32.180 --> 00:07:35.590
或者 甚至更简单 是主元的个数

00:07:35.610 --> 00:07:37.340
因为每个主元都有一个主行

00:07:37.360 --> 00:07:47.160
所以我们可以写成A转置的秩等于

00:07:47.180 --> 00:07:49.820
主元的个数

00:07:49.850 --> 00:07:57.420
在A的行简化阶梯形中

00:07:57.430 --> 00:07:58.680
对吧？

00:07:58.690 --> 00:08:00.070
因为每个主元对应于一个主行

00:08:00.080 --> 00:08:01.940
这些主行就是一组合适的基

00:08:01.960 --> 00:08:04.430
对于整个行空间而言

00:08:04.440 --> 00:08:06.240
因为每一行可以被看作是

00:08:06.260 --> 00:08:07.630
这些的一个线性组合

00:08:07.650 --> 00:08:09.450
而因为所有的这些可以是

00:08:09.470 --> 00:08:11.010
那么任何这些可以构造出的东西

00:08:11.020 --> 00:08:12.600
这些就可以构造出来

00:08:12.620 --> 00:08:13.800
很简单的

00:08:13.820 --> 00:08:15.340
现在 A的秩是多少？

00:08:15.360 --> 00:08:18.060
这是A转置的秩

00:08:18.080 --> 00:08:19.340
这是我们已经处理过的问题了

00:08:19.350 --> 00:08:28.550
矩阵A的秩等于

00:08:28.570 --> 00:08:32.490
矩阵A的列空间的维数

00:08:32.510 --> 00:08:40.680
或者 你可以说是

00:08:40.700 --> 00:08:43.870
矩阵A中的列空间的基向量的个数

00:08:43.890 --> 00:08:50.030
所以如果我们取和上面算过的相同的矩阵A

00:08:50.050 --> 00:08:53.000
相反 我们将它写成一串列向量

00:08:53.020 --> 00:08:57.930
就是c1 c2 直到cn

00:08:57.950 --> 00:08:59.390
我们这里有n列

00:08:59.410 --> 00:09:03.040
列空间就是这样的子空间

00:09:03.050 --> 00:09:04.990
它是由所有的这些向量张成的

00:09:05.000 --> 00:09:07.540
对吧？是由这些列向量的每一个张成的

00:09:07.560 --> 00:09:13.330
那么A的列空间等于由c1 c2

00:09:13.360 --> 00:09:16.100
直到cn张成的空间

00:09:16.120 --> 00:09:17.430
这就是它的定义

00:09:17.450 --> 00:09:19.430
但我们想要知道基向量的个数

00:09:19.440 --> 00:09:20.790
我们已经知道了――

00:09:20.810 --> 00:09:22.080
我们已经这样作很多次了――

00:09:22.090 --> 00:09:23.810
正确的基向量是什么样子

00:09:23.830 --> 00:09:27.260
如果你将它化成行简化阶梯形

00:09:27.280 --> 00:09:30.900
并且有某个主元

00:09:30.910 --> 00:09:32.840
和它们对应的主列

00:09:32.860 --> 00:09:35.530
那么某个主元和它们对应的

00:09:35.540 --> 00:09:37.340
主列就像这样

00:09:37.350 --> 00:09:38.810
或许像这样

00:09:38.830 --> 00:09:42.240
然后或许这个不是 而这个是

00:09:42.260 --> 00:09:44.530
所以你就得到了主列的确定数量

00:09:44.550 --> 00:09:48.880
我用另一种颜色

00:09:48.900 --> 00:09:53.140
这里你将A化成行简化阶梯形

00:09:53.150 --> 00:09:54.820
我们知道了基向量

00:09:54.840 --> 00:09:57.160
或者是基列 它们形成了

00:09:57.180 --> 00:09:58.350
列空间的一组基

00:09:58.360 --> 00:10:01.270
而列对应于主列

00:10:01.280 --> 00:10:04.500
所以第一列是一个主列

00:10:04.520 --> 00:10:06.000
这个是一个基向量

00:10:06.020 --> 00:10:07.170
第二列也是

00:10:07.200 --> 00:10:08.390
所以这个是一个主向量

00:10:08.400 --> 00:10:10.320
或者可能这里的第四个也是

00:10:10.330 --> 00:10:11.640
这个也是主向量

00:10:11.660 --> 00:10:13.610
那么 一般来讲 你可以说 嘿

00:10:13.630 --> 00:10:16.600
如果你想要数一数基向量的个数――

00:10:16.620 --> 00:10:18.330
因为我们甚至不必知道

00:10:18.350 --> 00:10:19.480
它们具体都是哪些向量

00:10:19.490 --> 00:10:20.630
我们仅需知道其个数

00:10:20.650 --> 00:10:22.970
好 你说了 对于这里的每一个主列

00:10:22.990 --> 00:10:24.390
我们这里都有一个基向量

00:10:24.400 --> 00:10:26.360
所以我们可以数出主列的个数

00:10:26.390 --> 00:10:29.320
而主列的个数等于

00:10:29.330 --> 00:10:30.890
主元的个数

00:10:30.900 --> 00:10:32.800
因为每个主元都对应一个主列

00:10:32.810 --> 00:10:38.860
所以我们可以说A的秩等于

00:10:38.890 --> 00:10:43.030
主元的个数

00:10:43.040 --> 00:10:49.480
在A的行简化阶梯形中

00:10:49.500 --> 00:10:52.260
而且 你可以很清楚地明白

00:10:52.270 --> 00:10:53.690
这个和我们推导的东西一样

00:10:53.710 --> 00:10:55.690
等于A转置的秩

00:10:55.700 --> 00:11:00.050
就是A转置的列空间的维数

00:11:00.080 --> 00:11:01.870
或者是说A的行空间的维数

00:11:01.890 --> 00:11:04.510
所以现在可以写出我们的结论了

00:11:04.530 --> 00:11:09.670
矩阵A的秩就是

00:11:09.690 --> 00:11:12.850
矩阵A的转置的秩