WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:04.360
Преди няколко урока казах, че
рангът на една матрица А

00:00:04.360 --> 00:00:08.280
е равен на ранга на
нейната транспонирана матрица.

00:00:08.280 --> 00:00:09.910
Но го формулирах
малко повърхностно.

00:00:09.910 --> 00:00:12.310
Беше в края на видеото
и аз бях вече изморен.

00:00:12.310 --> 00:00:13.710
Всъщност беше в
края на деня.

00:00:13.710 --> 00:00:16.810
Затова си мисля, че
може би си заслужава

00:00:16.810 --> 00:00:17.300
да отделим малко 
повече внимание на това,

00:00:17.300 --> 00:00:18.620
защото това е едно
важно свойство.

00:00:18.620 --> 00:00:23.200
То ни помага да разберем малко
по-добре всичко, което учим.

00:00:23.200 --> 00:00:25.200
Хайде да видим...

00:00:25.200 --> 00:00:31.630
Всъщност ще започна с ранга на 
транспонираната матрица А.

00:00:31.630 --> 00:00:37.080
Рангът на транспонираната матрица А
е равен на размера на

00:00:37.080 --> 00:00:40.020
векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на АТ.

00:00:40.020 --> 00:00:42.690
Това е определението
за ранг на матрица.

00:00:42.690 --> 00:00:46.810
Размерът на векторното пространство 
на транспонираната матрица А

00:00:46.810 --> 00:00:53.950
е броят на векторите в базиса

00:00:53.950 --> 00:00:55.330
на векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на АТ.

00:00:55.330 --> 00:00:56.810
Ето това е този размер.

00:00:56.810 --> 00:00:59.900
За всяко подпространство трябва
да определим колко базисни вектори

00:00:59.900 --> 00:01:01.910
са нужни за това подпространство,
преброяваме ги

00:01:01.910 --> 00:01:02.830
и това е нашият размер.

00:01:02.830 --> 00:01:07.180
Значи това е броят на базисните
вектори на векторното пространство

00:01:07.180 --> 00:01:10.150
на транспонираната матрица А, което,
разбира се, е същото нещо –

00:01:10.150 --> 00:01:12.530
виждали сме го много пъти и като

00:01:12.530 --> 00:01:17.690
векторно пространство, определено
чрез вектор-редовете на матрицата А.

00:01:17.690 --> 00:01:17.950
Нали?

00:01:17.950 --> 00:01:20.220
Вектор-стълбовете на матрицата АТ
са еднакви с

00:01:20.220 --> 00:01:21.785
вектор-редовете на матрицата А.

00:01:21.785 --> 00:01:24.310
Това е така, защото разменяме
редовете и стълбовете.

00:01:24.310 --> 00:01:27.480
Как можем да определим
броя на базисните вектори,

00:01:27.480 --> 00:01:30.390
които са ни нужни за векторното пространство,
определено чрез вектор-стълбовете на АТ,

00:01:30.390 --> 00:01:32.040
или векторното пространство, определено
чрез вектор-редовете на матрицата А?

00:01:32.040 --> 00:01:34.160
Да помислим какво представлява
векторното пространство, определено чрез

00:01:34.160 --> 00:01:36.330
вектор-редовете на 
транспонираната матрица А.

00:01:36.330 --> 00:01:38.290
То е еквивалентно на...
да кажем, че...

00:01:38.290 --> 00:01:43.400
ще начертая матрицата А ето така.

00:01:43.400 --> 00:01:44.420
Това е някаква матрица А.

00:01:44.420 --> 00:01:47.160
Да кажем, че тя
е матрица m x n.

00:01:47.160 --> 00:01:49.210
Ще я представя като
съвкупност от вектор-редове.

00:01:49.210 --> 00:01:51.040
Мога да я запиша и като 
вектор-стълбове, но

00:01:51.040 --> 00:01:53.150
сега ще използваме
вектор-редове.

00:01:53.150 --> 00:01:55.420
Имаме първи ред.

00:01:55.420 --> 00:01:57.420
Това са транспонираните
вектор-стълбове.

00:01:57.420 --> 00:02:02.460
Това е първият ред, после
имаме втори ред,

00:02:02.460 --> 00:02:05.710
и така нататък, 
чак до ред m.

00:02:05.710 --> 00:02:06.010
Нали?

00:02:06.010 --> 00:02:06.970
Това е матрица m x n.

00:02:06.970 --> 00:02:10.289
Всеки от тези вектори принадлежи
на Rn, защото те

00:02:10.289 --> 00:02:11.690
съдържат елементи,

00:02:11.690 --> 00:02:13.800
които образуват n стълба.

00:02:13.800 --> 00:02:17.050
Значи матрицата А
ще изглежда ето така.

00:02:17.050 --> 00:02:20.660
След това в транспонираната
матрица А всички тези редове

00:02:20.660 --> 00:02:22.480
ще станат стълбове.

00:02:22.480 --> 00:02:27.670
Транспонираната матрица
ще изглежда така: r1, r2

00:02:27.670 --> 00:02:30.890
и така нататък до rm.

00:02:30.890 --> 00:02:33.880
Това ще бъде матрица n x m.

00:02:33.880 --> 00:02:35.485
Разместваме тези букви.

00:02:35.485 --> 00:02:38.670
Всички тези редове
стават стълбове.

00:02:38.670 --> 00:02:39.650
Нали?

00:02:39.650 --> 00:02:41.590
Очевидно векторното пространство,
определено чрез вектор-стълбовете –

00:02:41.590 --> 00:02:46.970
а може и да не е толкова очевидно –
векторното пространство, определено чрез 
вектор-стълбовете на АТ

00:02:46.970 --> 00:02:56.270
е равно на линейната обвивка
на r1, r2... rm.

00:02:56.270 --> 00:02:56.900
Нали?

00:02:56.900 --> 00:02:58.390
Равно е на линейната
обвивка на тези вектори.

00:02:58.390 --> 00:03:00.780
Или можеш алтернативно
да го наречеш линейната обвивка

00:03:00.780 --> 00:03:01.470
на вектор-редовете на
матрицата А.

00:03:01.470 --> 00:03:03.740
Затова се нарича векторно пространство,
определено чрез вектор-редовете.

00:03:03.740 --> 00:03:12.560
Това е равно на линейната обвивка
на вектор-редовете на матрицата А.

00:03:12.560 --> 00:03:14.530
Тези две неща са
еквивалентни.

00:03:14.530 --> 00:03:16.100
Значи това е 
линейната обвивка.

00:03:16.100 --> 00:03:18.260
Това означава, че това е някакво
подпространство, което съдържа

00:03:18.260 --> 00:03:20.700
всички линейни комбинации 
на тези вектор-стълбове,

00:03:20.700 --> 00:03:22.090
всички линейни комбинации 
на тези вектор-редове.

00:03:22.090 --> 00:03:26.030
Ако търсим базисът на това,
значи търсим минималното множество

00:03:26.030 --> 00:03:29.280
от линейно независими вектори,
които ще използваме,

00:03:29.280 --> 00:03:30.880
за да съставим някой от тези
вектор-стълбове.

00:03:30.880 --> 00:03:34.830
Или които бихме използвали, за да 
конструираме някой от тези редове ето тук.

00:03:34.830 --> 00:03:37.270
А какво се случва, когато
преобразуваме матрицата А

00:03:37.270 --> 00:03:40.070
в ешелонна форма?

00:03:40.070 --> 00:03:46.290
Извършваме поредица
от операции с редовете,

00:03:46.290 --> 00:03:48.740
за да я преобразуваме
в ешелонна форма.

00:03:48.740 --> 00:03:49.140
Нали?

00:03:49.140 --> 00:03:51.900
Извършваме операции
по редове, и евентуално

00:03:51.900 --> 00:03:53.050
получаваме нещо такова.

00:03:53.050 --> 00:03:57.410
Получаваме ешелонната
форма на матрицата А.

00:03:57.410 --> 00:03:59.610
Ешелонната форма на
матрицата А ще изглежда

00:03:59.610 --> 00:04:00.840
приблизително така.

00:04:00.840 --> 00:04:04.180
Ще имаме няколко водещи
реда, няколко реда, които

00:04:04.180 --> 00:04:05.650
съдържат водещи елементи.

00:04:05.650 --> 00:04:08.980
Да кажем, че това
е един такъв ред.

00:04:08.980 --> 00:04:11.390
Този ще има нули
чак до долу.

00:04:11.390 --> 00:04:12.770
Този ще има нули.

00:04:12.770 --> 00:04:14.760
Водещият елемент ще бъде
единственият елемент, различен от нула,

00:04:14.760 --> 00:04:16.180
в неговия стълб.

00:04:16.180 --> 00:04:18.220
Всичко друго ще бъдат нули.

00:04:18.220 --> 00:04:19.790
Да кажем, че това
е един такъв елемент.

00:04:19.790 --> 00:04:21.360
Това са няколко елемента,
които са различни от нула.

00:04:21.360 --> 00:04:22.600
Тези са нули.

00:04:22.600 --> 00:04:24.690
Тук имаме друг
водещ елемент.

00:04:24.690 --> 00:04:25.340
Всичко друго са нули.

00:04:25.340 --> 00:04:29.350
Да кажем, че всички други
елементи не са водещи.

00:04:29.350 --> 00:04:33.000
Значи преобразуваме, докато получим
някакъв брой водещи редове,

00:04:33.000 --> 00:04:35.350
или определен брой
водещи елементи, нали?

00:04:35.350 --> 00:04:37.630
И стигаме дотук, като
извършваме линейни операции

00:04:37.630 --> 00:04:38.880
с тези редове.

00:04:38.880 --> 00:04:41.670
Значи линейни операции по редове –
спомни си, взимаме

00:04:41.670 --> 00:04:44.655
3 пъти втория ред и го прибавяме
към първия ред, който след това

00:04:44.655 --> 00:04:45.790
става нашият нов втори ред.

00:04:45.790 --> 00:04:47.840
И продължаваме така, докато
получим тази форма.

00:04:47.840 --> 00:04:49.170
Значи тези тук са
линейни комбинации

00:04:49.170 --> 00:04:50.890
на тези тук.

00:04:50.890 --> 00:04:52.830
Друг начин да го направим
е да приложим наобратно

00:04:52.830 --> 00:04:53.380
тези операции по редове.

00:04:53.380 --> 00:04:56.170
Можем да започнем с тези тук.

00:04:56.170 --> 00:04:58.990
Можем също така лесно
да изпълним операциите

00:04:58.990 --> 00:05:00.420
по редове по обратния път.

00:05:00.420 --> 00:05:02.470
Всяка линейна операция можем
да я извършим наобратно.

00:05:02.470 --> 00:05:04.040
Правили сме го
много пъти.

00:05:04.040 --> 00:05:09.690
Можем да извършваме операции 
с тези редове, така че

00:05:09.690 --> 00:05:11.420
да получим всички тези редове.

00:05:11.420 --> 00:05:15.070
Друг начин да го разглеждаме, е,
че тези вектор-редове тук,

00:05:15.070 --> 00:05:20.400
тяхната линейна обвивка
са всички тези... или всички тези

00:05:20.400 --> 00:05:23.170
вектор-редове могат да бъдат
представени като линейни комбинации

00:05:23.170 --> 00:05:24.190
на нашите водещи редове
ето тук.

00:05:24.190 --> 00:05:29.280
Очевидно, неводещите редове
ще съдържат само нули.

00:05:29.280 --> 00:05:31.380
И всички те са безполезни.

00:05:31.380 --> 00:05:33.670
Но водещите редове,
ако ги комбинираме линейно,

00:05:33.670 --> 00:05:37.870
очевидно можем да "обърнем"
ешелонната форма

00:05:37.870 --> 00:05:39.190
и да получим отново
нашата матрица.

00:05:39.190 --> 00:05:41.280
Значи всички тези тук
могат да се представят

00:05:41.280 --> 00:05:42.730
като линейни комбинации
на тези.

00:05:42.730 --> 00:05:47.140
А всички тези водещи елементи
по определение –

00:05:47.140 --> 00:05:49.200
почти по определение –
те всички са линейно независими,

00:05:49.200 --> 00:05:49.900
нали?

00:05:49.900 --> 00:05:50.970
Защото тук имам 1.

00:05:50.970 --> 00:05:53.320
Никой друг ред няма тук 1.

00:05:53.320 --> 00:05:55.880
Значи този ред определено
не може да се представи като

00:05:55.880 --> 00:05:57.990
линейна комбинация
на този ред.

00:05:57.990 --> 00:06:00.710
Но защо правя всичко това?

00:06:00.710 --> 00:06:02.300
В началото казах, че искам
да определя

00:06:02.300 --> 00:06:05.470
базиса на векторното пространство,
определено чрез вектор-редовете.

00:06:05.470 --> 00:06:09.600
Търсим някакво минимално множество 
от линейно независими вектори,

00:06:09.600 --> 00:06:12.610
чиято линейна обвивка включва
линейните обвивки на всички тези вектори.

00:06:12.610 --> 00:06:14.920
Ако всички тези вектори могат
да бъдат представени като

00:06:14.920 --> 00:06:18.500
линейни комбинации на тези
вектор-редове в ешелонната форма –

00:06:18.500 --> 00:06:23.090
или тези водещи редове в
ешелонната форма –

00:06:23.090 --> 00:06:25.910
и тези вектори са линейно
независими, тогава това

00:06:25.910 --> 00:06:27.980
определено е базис.

00:06:27.980 --> 00:06:30.810
Значи тези водещи редове тук,
това е един от тях,

00:06:30.810 --> 00:06:33.750
това е вторият ред, това
е третият ред, може би

00:06:33.750 --> 00:06:34.380
те са само три.

00:06:34.380 --> 00:06:36.050
Това е нашият 
конкретен пример.

00:06:36.050 --> 00:06:38.715
Това е подходящ базис за нашето векторно 
пространство, определено чрез вектор-редовете.

00:06:38.715 --> 00:06:40.520
Ще запиша това.

00:06:40.520 --> 00:06:57.480
Водещите редове в ешелонната 
форма на матрицата А са базис

00:06:57.480 --> 00:07:03.470
за векторното пространство, определено 
чрез вектор-редовете на матрицата А.

00:07:03.470 --> 00:07:07.180
А векторното пространство, определено чрез 
вектор-редовете на матрицата А съвпада с

00:07:07.180 --> 00:07:08.230
векторното пространство, определено чрез
вектор-стълбовете на транспонираната матрица А.

00:07:08.230 --> 00:07:10.370
Векторното пространство, определено чрез 
вектор-редовете на матрицата А съвпада с

00:07:10.370 --> 00:07:11.490
векторното пространство, определено чрез
вектор-стълбовете на транспонираната матрица А.

00:07:11.490 --> 00:07:13.150
Видяхме това много пъти.

00:07:13.150 --> 00:07:16.870
Ако искам да определя размера на 
векторното пространство,

00:07:16.870 --> 00:07:20.770
просто преброявам водещите 
редове, които имам.

00:07:20.770 --> 00:07:22.530
Значи просто преброяваме
водещите редове.

00:07:22.530 --> 00:07:25.740
Значи размерът на векторното пространство,
определено чрез вектор-редовете, който е равен на

00:07:25.740 --> 00:07:28.360
векторното пространство, определено чрез
вектор-стълбовете на АТ, ще бъде равен на

00:07:28.360 --> 00:07:32.420
броя на водещите редове, които
имаме в ешелонната форма на матрицата.

00:07:32.420 --> 00:07:35.010
Даже, още по-лесно, броят
на водещите елементи, които имаме,

00:07:35.010 --> 00:07:37.430
защото на всеки водещ елемент
съответства водещ ред.

00:07:37.430 --> 00:07:46.760
Значи можем да запишем, че рангът
на транспонираната матрица А е равен

00:07:46.760 --> 00:07:57.180
на броя на водещите елементи
в ешелонната форма на матрицата А.

00:07:57.180 --> 00:07:57.490
Нали?

00:07:57.490 --> 00:07:59.950
Защото всеки водещ елемент
съответства на водещ ред.

00:07:59.950 --> 00:08:03.840
Този водещ ред е подходящ
базис за цялото векторно пространство,

00:08:03.840 --> 00:08:06.260
определено чрез вектор-редове, защото
всеки ред може да бъде линейна комбинация

00:08:06.260 --> 00:08:07.910
от тези вектор-редове.

00:08:07.910 --> 00:08:10.270
И понеже всички тези са възможни,
тогава всеки от тези вектори

00:08:10.270 --> 00:08:12.970
могат да бъдат конструирани,
тези вектори могат да бъдат конструирани.

00:08:12.970 --> 00:08:13.930
Добре.

00:08:13.930 --> 00:08:16.350
И какъв е рангът на матрицата А?

00:08:16.350 --> 00:08:20.430
Това е рангът на транспонираната
матрица А, който досега определяхме.

00:08:20.440 --> 00:08:30.350
Рангът на матрицата А е равен
на размера на

00:08:30.350 --> 00:08:32.620
векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на матрицата А.

00:08:32.620 --> 00:08:41.669
Или можем да кажем, че това
е броят на векторите в базиса

00:08:41.669 --> 00:08:44.450
на векторното пространство
на матрицата А.

00:08:44.450 --> 00:08:50.910
Да вземем същата матрица А,
която използвахме преди,

00:08:50.910 --> 00:08:57.720
но сега да я представим
като вектор-стълбове – с1, с2 до сn.

00:08:57.720 --> 00:09:00.440
Тук имаме n стълба.

00:09:00.440 --> 00:09:02.490
Векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете е подпространството,

00:09:02.490 --> 00:09:05.150
чиито базови вектори са 
всички тези вектори тук, нали?

00:09:05.150 --> 00:09:06.790
Това е линейната обвивка на
всички тези вектор-стълбове.

00:09:06.790 --> 00:09:12.950
Значи векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на А е равно на

00:09:12.950 --> 00:09:15.810
линейната обвивка на 
с1, с2... сn.

00:09:15.810 --> 00:09:17.410
Това е определението.

00:09:17.410 --> 00:09:19.280
Но ние искаме да знаем
броят на базисните вектори.

00:09:19.280 --> 00:09:23.020
И вече сме виждали –
правили сме го много пъти –

00:09:23.020 --> 00:09:25.170
кои може да са подходящите
базисни вектори.

00:09:25.170 --> 00:09:28.800
Ако преобразувам матрицата
в ешелонна форма, и ако

00:09:28.800 --> 00:09:33.480
имаме няколко водещи елемента,
съответно водещи стълбове,

00:09:33.480 --> 00:09:36.581
значи няколко водещи елементи
и съответните им водещи стълбове,

00:09:36.581 --> 00:09:37.380
ето така.

00:09:37.380 --> 00:09:41.540
Може би този тук, и после
може би този не е водещ,

00:09:41.540 --> 00:09:42.620
после този тук е водещ.

00:09:42.620 --> 00:09:47.040
Значи имаме определен
брой водещи стълбове.

00:09:47.040 --> 00:09:49.450
Ще използвам различен цвят.

00:09:49.450 --> 00:09:53.190
Когато преобразуваме матрицата А
в ешелонна форма, научихме,

00:09:53.190 --> 00:09:56.660
че базисните вектори,
или базисните вектор-стълбове, които

00:09:56.660 --> 00:09:59.090
образуват нашето векторно пространство,
са вектор-стълбовете, които

00:09:59.090 --> 00:10:02.000
съответстват на
водещите стълбове.

00:10:02.000 --> 00:10:04.750
Значи първият стълб е
водещ стълб,

00:10:04.750 --> 00:10:05.780
значи този стълб
може да бъде базисен вектор.

00:10:05.780 --> 00:10:08.010
Вторият стълб е – значи
това може да е водещ стълб.

00:10:08.010 --> 00:10:10.720
Или може би четвъртият стълб
ето тук, значи този стълб

00:10:10.720 --> 00:10:11.880
може да е водещ вектор.

00:10:11.880 --> 00:10:15.690
Значи, по принцип, просто
си казваш, че ако искаш да преброиш

00:10:15.690 --> 00:10:17.290
броя на базисните вектори –
защото дори не е задължително да знаем

00:10:17.290 --> 00:10:18.400
кои са те, за да определим 
ранга на матрицата.

00:10:18.400 --> 00:10:20.230
Трябва да знаем само
техния брой.

00:10:20.230 --> 00:10:22.960
И затова казваме, че
за всеки водещ стълб тук

00:10:22.960 --> 00:10:24.530
имаме базисен вектор тук.

00:10:24.530 --> 00:10:26.990
Можем просто да преброим
броя на водещите стълбове.

00:10:26.990 --> 00:10:29.510
Но броят на водещите стълбове
е равен просто на броя на

00:10:29.510 --> 00:10:31.510
водещите елементи, които
имаме, защото всеки водещ елемент

00:10:31.510 --> 00:10:33.200
съответства на своя
собствен стълб.

00:10:33.200 --> 00:10:42.220
Така че можем да определим, че
ранга на матрицата А е равен на

00:10:42.220 --> 00:10:49.870
броя на водещите елементи в
ешелонната форма на матрицата А.

00:10:49.870 --> 00:10:53.000
И, както ясно виждаш,
той е съвсем същият

00:10:53.000 --> 00:10:55.940
който доказахме, че е равен на ранга 
на транспонираната матрица А –

00:10:55.940 --> 00:10:58.340
размерът на векторното пространство,
определено чрез вектор-стълбовете

00:10:58.340 --> 00:10:59.720
на транспонираната матрица А.

00:10:59.720 --> 00:11:02.240
Или размерите на векторното пространство,
определен чрез вектор-редовете на матрицата А.

00:11:02.240 --> 00:11:04.450
И сега мога да запиша
нашия резултат.

00:11:04.450 --> 00:11:11.100
Рангът на матрицата А определено
е равен на ранга на

00:11:11.100 --> 00:11:13.740
транспонираната матрица А.