1
00:00:00,520 --> 00:00:04,360
Преди няколко урока казах, че
рангът на една матрица А

2
00:00:04,360 --> 00:00:08,280
е равен на ранга на
нейната транспонирана матрица.

3
00:00:08,280 --> 00:00:09,910
Но го формулирах
малко повърхностно.

4
00:00:09,910 --> 00:00:12,310
Беше в края на видеото
и аз бях вече изморен.

5
00:00:12,310 --> 00:00:13,710
Всъщност беше в
края на деня.

6
00:00:13,710 --> 00:00:16,810
Затова си мисля, че
може би си заслужава

7
00:00:16,810 --> 00:00:17,300
да отделим малко 
повече внимание на това,

8
00:00:17,300 --> 00:00:18,620
защото това е едно
важно свойство.

9
00:00:18,620 --> 00:00:23,200
То ни помага да разберем малко
по-добре всичко, което учим.

10
00:00:23,200 --> 00:00:25,200
Хайде да видим...

11
00:00:25,200 --> 00:00:31,630
Всъщност ще започна с ранга на 
транспонираната матрица А.

12
00:00:31,630 --> 00:00:37,080
Рангът на транспонираната матрица А
е равен на размера на

13
00:00:37,080 --> 00:00:40,020
векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на АТ.

14
00:00:40,020 --> 00:00:42,690
Това е определението
за ранг на матрица.

15
00:00:42,690 --> 00:00:46,810
Размерът на векторното пространство 
на транспонираната матрица А

16
00:00:46,810 --> 00:00:53,950
е броят на векторите в базиса

17
00:00:53,950 --> 00:00:55,330
на векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на АТ.

18
00:00:55,330 --> 00:00:56,810
Ето това е този размер.

19
00:00:56,810 --> 00:00:59,900
За всяко подпространство трябва
да определим колко базисни вектори

20
00:00:59,900 --> 00:01:01,910
са нужни за това подпространство,
преброяваме ги

21
00:01:01,910 --> 00:01:02,830
и това е нашият размер.

22
00:01:02,830 --> 00:01:07,180
Значи това е броят на базисните
вектори на векторното пространство

23
00:01:07,180 --> 00:01:10,150
на транспонираната матрица А, което,
разбира се, е същото нещо –

24
00:01:10,150 --> 00:01:12,530
виждали сме го много пъти и като

25
00:01:12,530 --> 00:01:17,690
векторно пространство, определено
чрез вектор-редовете на матрицата А.

26
00:01:17,690 --> 00:01:17,950
Нали?

27
00:01:17,950 --> 00:01:20,220
Вектор-стълбовете на матрицата АТ
са еднакви с

28
00:01:20,220 --> 00:01:21,785
вектор-редовете на матрицата А.

29
00:01:21,785 --> 00:01:24,310
Това е така, защото разменяме
редовете и стълбовете.

30
00:01:24,310 --> 00:01:27,480
Как можем да определим
броя на базисните вектори,

31
00:01:27,480 --> 00:01:30,390
които са ни нужни за векторното пространство,
определено чрез вектор-стълбовете на АТ,

32
00:01:30,390 --> 00:01:32,040
или векторното пространство, определено
чрез вектор-редовете на матрицата А?

33
00:01:32,040 --> 00:01:34,160
Да помислим какво представлява
векторното пространство, определено чрез

34
00:01:34,160 --> 00:01:36,330
вектор-редовете на 
транспонираната матрица А.

35
00:01:36,330 --> 00:01:38,290
То е еквивалентно на...
да кажем, че...

36
00:01:38,290 --> 00:01:43,400
ще начертая матрицата А ето така.

37
00:01:43,400 --> 00:01:44,420
Това е някаква матрица А.

38
00:01:44,420 --> 00:01:47,160
Да кажем, че тя
е матрица m x n.

39
00:01:47,160 --> 00:01:49,210
Ще я представя като
съвкупност от вектор-редове.

40
00:01:49,210 --> 00:01:51,040
Мога да я запиша и като 
вектор-стълбове, но

41
00:01:51,040 --> 00:01:53,150
сега ще използваме
вектор-редове.

42
00:01:53,150 --> 00:01:55,420
Имаме първи ред.

43
00:01:55,420 --> 00:01:57,420
Това са транспонираните
вектор-стълбове.

44
00:01:57,420 --> 00:02:02,460
Това е първият ред, после
имаме втори ред,

45
00:02:02,460 --> 00:02:05,710
и така нататък, 
чак до ред m.

46
00:02:05,710 --> 00:02:06,010
Нали?

47
00:02:06,010 --> 00:02:06,970
Това е матрица m x n.

48
00:02:06,970 --> 00:02:10,289
Всеки от тези вектори принадлежи
на Rn, защото те

49
00:02:10,289 --> 00:02:11,690
съдържат елементи,

50
00:02:11,690 --> 00:02:13,800
които образуват n стълба.

51
00:02:13,800 --> 00:02:17,050
Значи матрицата А
ще изглежда ето така.

52
00:02:17,050 --> 00:02:20,660
След това в транспонираната
матрица А всички тези редове

53
00:02:20,660 --> 00:02:22,480
ще станат стълбове.

54
00:02:22,480 --> 00:02:27,670
Транспонираната матрица
ще изглежда така: r1, r2

55
00:02:27,670 --> 00:02:30,890
и така нататък до rm.

56
00:02:30,890 --> 00:02:33,880
Това ще бъде матрица n x m.

57
00:02:33,880 --> 00:02:35,485
Разместваме тези букви.

58
00:02:35,485 --> 00:02:38,670
Всички тези редове
стават стълбове.

59
00:02:38,670 --> 00:02:39,650
Нали?

60
00:02:39,650 --> 00:02:41,590
Очевидно векторното пространство,
определено чрез вектор-стълбовете –

61
00:02:41,590 --> 00:02:46,970
а може и да не е толкова очевидно –
векторното пространство, определено чрез 
вектор-стълбовете на АТ

62
00:02:46,970 --> 00:02:56,270
е равно на линейната обвивка
на r1, r2... rm.

63
00:02:56,270 --> 00:02:56,900
Нали?

64
00:02:56,900 --> 00:02:58,390
Равно е на линейната
обвивка на тези вектори.

65
00:02:58,390 --> 00:03:00,780
Или можеш алтернативно
да го наречеш линейната обвивка

66
00:03:00,780 --> 00:03:01,470
на вектор-редовете на
матрицата А.

67
00:03:01,470 --> 00:03:03,740
Затова се нарича векторно пространство,
определено чрез вектор-редовете.

68
00:03:03,740 --> 00:03:12,560
Това е равно на линейната обвивка
на вектор-редовете на матрицата А.

69
00:03:12,560 --> 00:03:14,530
Тези две неща са
еквивалентни.

70
00:03:14,530 --> 00:03:16,100
Значи това е 
линейната обвивка.

71
00:03:16,100 --> 00:03:18,260
Това означава, че това е някакво
подпространство, което съдържа

72
00:03:18,260 --> 00:03:20,700
всички линейни комбинации 
на тези вектор-стълбове,

73
00:03:20,700 --> 00:03:22,090
всички линейни комбинации 
на тези вектор-редове.

74
00:03:22,090 --> 00:03:26,030
Ако търсим базисът на това,
значи търсим минималното множество

75
00:03:26,030 --> 00:03:29,280
от линейно независими вектори,
които ще използваме,

76
00:03:29,280 --> 00:03:30,880
за да съставим някой от тези
вектор-стълбове.

77
00:03:30,880 --> 00:03:34,830
Или които бихме използвали, за да 
конструираме някой от тези редове ето тук.

78
00:03:34,830 --> 00:03:37,270
А какво се случва, когато
преобразуваме матрицата А

79
00:03:37,270 --> 00:03:40,070
в ешелонна форма?

80
00:03:40,070 --> 00:03:46,290
Извършваме поредица
от операции с редовете,

81
00:03:46,290 --> 00:03:48,740
за да я преобразуваме
в ешелонна форма.

82
00:03:48,740 --> 00:03:49,140
Нали?

83
00:03:49,140 --> 00:03:51,900
Извършваме операции
по редове, и евентуално

84
00:03:51,900 --> 00:03:53,050
получаваме нещо такова.

85
00:03:53,050 --> 00:03:57,410
Получаваме ешелонната
форма на матрицата А.

86
00:03:57,410 --> 00:03:59,610
Ешелонната форма на
матрицата А ще изглежда

87
00:03:59,610 --> 00:04:00,840
приблизително така.

88
00:04:00,840 --> 00:04:04,180
Ще имаме няколко водещи
реда, няколко реда, които

89
00:04:04,180 --> 00:04:05,650
съдържат водещи елементи.

90
00:04:05,650 --> 00:04:08,980
Да кажем, че това
е един такъв ред.

91
00:04:08,980 --> 00:04:11,390
Този ще има нули
чак до долу.

92
00:04:11,390 --> 00:04:12,770
Този ще има нули.

93
00:04:12,770 --> 00:04:14,760
Водещият елемент ще бъде
единственият елемент, различен от нула,

94
00:04:14,760 --> 00:04:16,180
в неговия стълб.

95
00:04:16,180 --> 00:04:18,220
Всичко друго ще бъдат нули.

96
00:04:18,220 --> 00:04:19,790
Да кажем, че това
е един такъв елемент.

97
00:04:19,790 --> 00:04:21,360
Това са няколко елемента,
които са различни от нула.

98
00:04:21,360 --> 00:04:22,600
Тези са нули.

99
00:04:22,600 --> 00:04:24,690
Тук имаме друг
водещ елемент.

100
00:04:24,690 --> 00:04:25,340
Всичко друго са нули.

101
00:04:25,340 --> 00:04:29,350
Да кажем, че всички други
елементи не са водещи.

102
00:04:29,350 --> 00:04:33,000
Значи преобразуваме, докато получим
някакъв брой водещи редове,

103
00:04:33,000 --> 00:04:35,350
или определен брой
водещи елементи, нали?

104
00:04:35,350 --> 00:04:37,630
И стигаме дотук, като
извършваме линейни операции

105
00:04:37,630 --> 00:04:38,880
с тези редове.

106
00:04:38,880 --> 00:04:41,670
Значи линейни операции по редове –
спомни си, взимаме

107
00:04:41,670 --> 00:04:44,655
3 пъти втория ред и го прибавяме
към първия ред, който след това

108
00:04:44,655 --> 00:04:45,790
става нашият нов втори ред.

109
00:04:45,790 --> 00:04:47,840
И продължаваме така, докато
получим тази форма.

110
00:04:47,840 --> 00:04:49,170
Значи тези тук са
линейни комбинации

111
00:04:49,170 --> 00:04:50,890
на тези тук.

112
00:04:50,890 --> 00:04:52,830
Друг начин да го направим
е да приложим наобратно

113
00:04:52,830 --> 00:04:53,380
тези операции по редове.

114
00:04:53,380 --> 00:04:56,170
Можем да започнем с тези тук.

115
00:04:56,170 --> 00:04:58,990
Можем също така лесно
да изпълним операциите

116
00:04:58,990 --> 00:05:00,420
по редове по обратния път.

117
00:05:00,420 --> 00:05:02,470
Всяка линейна операция можем
да я извършим наобратно.

118
00:05:02,470 --> 00:05:04,040
Правили сме го
много пъти.

119
00:05:04,040 --> 00:05:09,690
Можем да извършваме операции 
с тези редове, така че

120
00:05:09,690 --> 00:05:11,420
да получим всички тези редове.

121
00:05:11,420 --> 00:05:15,070
Друг начин да го разглеждаме, е,
че тези вектор-редове тук,

122
00:05:15,070 --> 00:05:20,400
тяхната линейна обвивка
са всички тези... или всички тези

123
00:05:20,400 --> 00:05:23,170
вектор-редове могат да бъдат
представени като линейни комбинации

124
00:05:23,170 --> 00:05:24,190
на нашите водещи редове
ето тук.

125
00:05:24,190 --> 00:05:29,280
Очевидно, неводещите редове
ще съдържат само нули.

126
00:05:29,280 --> 00:05:31,380
И всички те са безполезни.

127
00:05:31,380 --> 00:05:33,670
Но водещите редове,
ако ги комбинираме линейно,

128
00:05:33,670 --> 00:05:37,870
очевидно можем да "обърнем"
ешелонната форма

129
00:05:37,870 --> 00:05:39,190
и да получим отново
нашата матрица.

130
00:05:39,190 --> 00:05:41,280
Значи всички тези тук
могат да се представят

131
00:05:41,280 --> 00:05:42,730
като линейни комбинации
на тези.

132
00:05:42,730 --> 00:05:47,140
А всички тези водещи елементи
по определение –

133
00:05:47,140 --> 00:05:49,200
почти по определение –
те всички са линейно независими,

134
00:05:49,200 --> 00:05:49,900
нали?

135
00:05:49,900 --> 00:05:50,970
Защото тук имам 1.

136
00:05:50,970 --> 00:05:53,320
Никой друг ред няма тук 1.

137
00:05:53,320 --> 00:05:55,880
Значи този ред определено
не може да се представи като

138
00:05:55,880 --> 00:05:57,990
линейна комбинация
на този ред.

139
00:05:57,990 --> 00:06:00,710
Но защо правя всичко това?

140
00:06:00,710 --> 00:06:02,300
В началото казах, че искам
да определя

141
00:06:02,300 --> 00:06:05,470
базиса на векторното пространство,
определено чрез вектор-редовете.

142
00:06:05,470 --> 00:06:09,600
Търсим някакво минимално множество 
от линейно независими вектори,

143
00:06:09,600 --> 00:06:12,610
чиято линейна обвивка включва
линейните обвивки на всички тези вектори.

144
00:06:12,610 --> 00:06:14,920
Ако всички тези вектори могат
да бъдат представени като

145
00:06:14,920 --> 00:06:18,500
линейни комбинации на тези
вектор-редове в ешелонната форма –

146
00:06:18,500 --> 00:06:23,090
или тези водещи редове в
ешелонната форма –

147
00:06:23,090 --> 00:06:25,910
и тези вектори са линейно
независими, тогава това

148
00:06:25,910 --> 00:06:27,980
определено е базис.

149
00:06:27,980 --> 00:06:30,810
Значи тези водещи редове тук,
това е един от тях,

150
00:06:30,810 --> 00:06:33,750
това е вторият ред, това
е третият ред, може би

151
00:06:33,750 --> 00:06:34,380
те са само три.

152
00:06:34,380 --> 00:06:36,050
Това е нашият 
конкретен пример.

153
00:06:36,050 --> 00:06:38,715
Това е подходящ базис за нашето векторно 
пространство, определено чрез вектор-редовете.

154
00:06:38,715 --> 00:06:40,520
Ще запиша това.

155
00:06:40,520 --> 00:06:57,480
Водещите редове в ешелонната 
форма на матрицата А са базис

156
00:06:57,480 --> 00:07:03,470
за векторното пространство, определено 
чрез вектор-редовете на матрицата А.

157
00:07:03,470 --> 00:07:07,180
А векторното пространство, определено чрез 
вектор-редовете на матрицата А съвпада с

158
00:07:07,180 --> 00:07:08,230
векторното пространство, определено чрез
вектор-стълбовете на транспонираната матрица А.

159
00:07:08,230 --> 00:07:10,370
Векторното пространство, определено чрез 
вектор-редовете на матрицата А съвпада с

160
00:07:10,370 --> 00:07:11,490
векторното пространство, определено чрез
вектор-стълбовете на транспонираната матрица А.

161
00:07:11,490 --> 00:07:13,150
Видяхме това много пъти.

162
00:07:13,150 --> 00:07:16,870
Ако искам да определя размера на 
векторното пространство,

163
00:07:16,870 --> 00:07:20,770
просто преброявам водещите 
редове, които имам.

164
00:07:20,770 --> 00:07:22,530
Значи просто преброяваме
водещите редове.

165
00:07:22,530 --> 00:07:25,740
Значи размерът на векторното пространство,
определено чрез вектор-редовете, който е равен на

166
00:07:25,740 --> 00:07:28,360
векторното пространство, определено чрез
вектор-стълбовете на АТ, ще бъде равен на

167
00:07:28,360 --> 00:07:32,420
броя на водещите редове, които
имаме в ешелонната форма на матрицата.

168
00:07:32,420 --> 00:07:35,010
Даже, още по-лесно, броят
на водещите елементи, които имаме,

169
00:07:35,010 --> 00:07:37,430
защото на всеки водещ елемент
съответства водещ ред.

170
00:07:37,430 --> 00:07:46,760
Значи можем да запишем, че рангът
на транспонираната матрица А е равен

171
00:07:46,760 --> 00:07:57,180
на броя на водещите елементи
в ешелонната форма на матрицата А.

172
00:07:57,180 --> 00:07:57,490
Нали?

173
00:07:57,490 --> 00:07:59,950
Защото всеки водещ елемент
съответства на водещ ред.

174
00:07:59,950 --> 00:08:03,840
Този водещ ред е подходящ
базис за цялото векторно пространство,

175
00:08:03,840 --> 00:08:06,260
определено чрез вектор-редове, защото
всеки ред може да бъде линейна комбинация

176
00:08:06,260 --> 00:08:07,910
от тези вектор-редове.

177
00:08:07,910 --> 00:08:10,270
И понеже всички тези са възможни,
тогава всеки от тези вектори

178
00:08:10,270 --> 00:08:12,970
могат да бъдат конструирани,
тези вектори могат да бъдат конструирани.

179
00:08:12,970 --> 00:08:13,930
Добре.

180
00:08:13,930 --> 00:08:16,350
И какъв е рангът на матрицата А?

181
00:08:16,350 --> 00:08:20,430
Това е рангът на транспонираната
матрица А, който досега определяхме.

182
00:08:20,440 --> 00:08:30,350
Рангът на матрицата А е равен
на размера на

183
00:08:30,350 --> 00:08:32,620
векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на матрицата А.

184
00:08:32,620 --> 00:08:41,669
Или можем да кажем, че това
е броят на векторите в базиса

185
00:08:41,669 --> 00:08:44,450
на векторното пространство
на матрицата А.

186
00:08:44,450 --> 00:08:50,910
Да вземем същата матрица А,
която използвахме преди,

187
00:08:50,910 --> 00:08:57,720
но сега да я представим
като вектор-стълбове – с1, с2 до сn.

188
00:08:57,720 --> 00:09:00,440
Тук имаме n стълба.

189
00:09:00,440 --> 00:09:02,490
Векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете е подпространството,

190
00:09:02,490 --> 00:09:05,150
чиито базови вектори са 
всички тези вектори тук, нали?

191
00:09:05,150 --> 00:09:06,790
Това е линейната обвивка на
всички тези вектор-стълбове.

192
00:09:06,790 --> 00:09:12,950
Значи векторното пространство, определено
чрез вектор-стълбовете на А е равно на

193
00:09:12,950 --> 00:09:15,810
линейната обвивка на 
с1, с2... сn.

194
00:09:15,810 --> 00:09:17,410
Това е определението.

195
00:09:17,410 --> 00:09:19,280
Но ние искаме да знаем
броят на базисните вектори.

196
00:09:19,280 --> 00:09:23,020
И вече сме виждали –
правили сме го много пъти –

197
00:09:23,020 --> 00:09:25,170
кои може да са подходящите
базисни вектори.

198
00:09:25,170 --> 00:09:28,800
Ако преобразувам матрицата
в ешелонна форма, и ако

199
00:09:28,800 --> 00:09:33,480
имаме няколко водещи елемента,
съответно водещи стълбове,

200
00:09:33,480 --> 00:09:36,581
значи няколко водещи елементи
и съответните им водещи стълбове,

201
00:09:36,581 --> 00:09:37,380
ето така.

202
00:09:37,380 --> 00:09:41,540
Може би този тук, и после
може би този не е водещ,

203
00:09:41,540 --> 00:09:42,620
после този тук е водещ.

204
00:09:42,620 --> 00:09:47,040
Значи имаме определен
брой водещи стълбове.

205
00:09:47,040 --> 00:09:49,450
Ще използвам различен цвят.

206
00:09:49,450 --> 00:09:53,190
Когато преобразуваме матрицата А
в ешелонна форма, научихме,

207
00:09:53,190 --> 00:09:56,660
че базисните вектори,
или базисните вектор-стълбове, които

208
00:09:56,660 --> 00:09:59,090
образуват нашето векторно пространство,
са вектор-стълбовете, които

209
00:09:59,090 --> 00:10:02,000
съответстват на
водещите стълбове.

210
00:10:02,000 --> 00:10:04,750
Значи първият стълб е
водещ стълб,

211
00:10:04,750 --> 00:10:05,780
значи този стълб
може да бъде базисен вектор.

212
00:10:05,780 --> 00:10:08,010
Вторият стълб е – значи
това може да е водещ стълб.

213
00:10:08,010 --> 00:10:10,720
Или може би четвъртият стълб
ето тук, значи този стълб

214
00:10:10,720 --> 00:10:11,880
може да е водещ вектор.

215
00:10:11,880 --> 00:10:15,690
Значи, по принцип, просто
си казваш, че ако искаш да преброиш

216
00:10:15,690 --> 00:10:17,290
броя на базисните вектори –
защото дори не е задължително да знаем

217
00:10:17,290 --> 00:10:18,400
кои са те, за да определим 
ранга на матрицата.

218
00:10:18,400 --> 00:10:20,230
Трябва да знаем само
техния брой.

219
00:10:20,230 --> 00:10:22,960
И затова казваме, че
за всеки водещ стълб тук

220
00:10:22,960 --> 00:10:24,530
имаме базисен вектор тук.

221
00:10:24,530 --> 00:10:26,990
Можем просто да преброим
броя на водещите стълбове.

222
00:10:26,990 --> 00:10:29,510
Но броят на водещите стълбове
е равен просто на броя на

223
00:10:29,510 --> 00:10:31,510
водещите елементи, които
имаме, защото всеки водещ елемент

224
00:10:31,510 --> 00:10:33,200
съответства на своя
собствен стълб.

225
00:10:33,200 --> 00:10:42,220
Така че можем да определим, че
ранга на матрицата А е равен на

226
00:10:42,220 --> 00:10:49,870
броя на водещите елементи в
ешелонната форма на матрицата А.

227
00:10:49,870 --> 00:10:53,000
И, както ясно виждаш,
той е съвсем същият

228
00:10:53,000 --> 00:10:55,940
който доказахме, че е равен на ранга 
на транспонираната матрица А –

229
00:10:55,940 --> 00:10:58,340
размерът на векторното пространство,
определено чрез вектор-стълбовете

230
00:10:58,340 --> 00:10:59,720
на транспонираната матрица А.

231
00:10:59,720 --> 00:11:02,240
Или размерите на векторното пространство,
определен чрез вектор-редовете на матрицата А.

232
00:11:02,240 --> 00:11:04,450
И сега мога да запиша
нашия резултат.

233
00:11:04,450 --> 00:11:11,100
Рангът на матрицата А определено
е равен на ранга на

234
00:11:11,100 --> 00:11:13,740
транспонираната матрица А.