ทำไมเราถึงเรียนคณิตศาสตร์กันครับ?
หลักๆ เลยก็เพราะเหตุผลสามอย่าง
การคำนวณ
การใช้ประโยชน์
และสุดท้าย ซึ่งน่าเสียดาย
ที่เราให้เวลากับมันน้อยที่สุด
ก็คือการสร้างแรงบันดาลใจ
คณิตศาสตร์คือศาสตร์ของระบบแบบแผน
เราเรียนคณิตศาสตร์เพื่อฝึกคิดอย่างมีตรรกะ
มีวิจารณญาณ และสร้างสรรค์
แต่คณิตศาสตร์ที่เราเรียนกันในโรงเรียนส่วนใหญ่
ไม่ช่วยให้เราเกิดแรงบันดาลใจเลย
เวลานักเรียนถามว่า
"ทำไมเราต้องเรียนเรื่องนี้?"
เขามักได้คำตอบว่า เขาต้องใช้มัน
ในการสอบ หรือในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงขึ้นไป
แต่จะดีกว่าไหมครับ
ถ้าบางครั้งเราจะเรียนคณิตศาสตร์
เพียงเพราะว่ามันสนุกและสวยงาม
หรือเพราะมันทำให้เราตื่นเต้น
ผมรู้ว่าหลายคนไม่เคยมีโอกาสเห็น
ว่ามันจะเกิดขึ้นได้อย่างไร
งั้นผมขอยกตัวอย่างง่ายๆ
โดยใช้ชุดตัวเลขที่ผมชอบที่สุด
เลขฟีโบนักชี (Fibonacci) (เสียงปรบมือ)
เย้ ที่นี่มีคนชอบเลขฟีโบนักชีด้วย
เยี่ยมเลย
เราสามารถชื่นชมความงามของตัวเลขชุดนี้
ได้หลายรูปแบบ
ในด้านการคำนวณ
มันเข้าใจได้ง่าย
เริ่มจาก 1 บวก 1 ได้ 2
1 บวก 2 ได้ 3
2 บวก 3 ได้ 5 3 บวก 5 ได้ 8
เป็นอย่างนี้เรื่อยไป
ที่จริง คนที่เราเรียกว่าฟีโบนักชี
มีชื่อจริงว่าลีโอนาโด แห่งเมือง พิซา (Leonardo of Pisa)
ตัวเลขพวกนี้ปรากฏในหนังสือของเขา ชื่อ "Liber Abaci"
ซึ่งสอนให้คนในโลกตะวันตก
รู้จักวิธีคิดเลขคณิตที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้
ในแง่การใช้ประโยชน์
เลขฟีโบนักชีปรากฏอยู่ในธรรมชาติ
บ่อยมากจนน่าแปลกใจ
เช่น จำนวนกลีบดอกไม้
ส่วนใหญ่เป็นเลขฟีโบนักชี
หรือวงเกสรของดอกทานตะวัน
หรือตาของสัปปะรด
ก็มักเป็นเลขฟีโบนักชีเช่นกัน
ที่จริง เลขฟีโบนักชียังมีประโยชน์ ในการใช้งานอีกหลายอย่าง
แต่ที่ผมคิดว่าน่าทึ่งมากที่สุด
คือระบบแบบแผนที่สวยงามที่เกิดจากเลขชุดนี้
ผมขอนำเสนอรูปแบบหนึ่งที่ผมชอบมาก
สมมติว่าคุณชอบคิดเลขยกกำลังสอง
เอ จริงๆ มีใครไม่ชอบเลขยกกำลังด้วยหรือครับ (เสียงหัวเราะ)
เรามาดูเลขยกกำลังสอง
ของเลขฟีโบนักชีตัวแรกๆ กัน
1 ยกกำลังสอง ได้ 1
2 ยกกำลังสอง ได้ 4 3 ยกกำลังสอง ได้ 9
5 ยกกำลังสอง ได้ 25 และเป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆ
ทีนี้ คุณคงไม่แปลกใจนัก
เมื่อคุณบวกเลขฟีโบนักชีที่อยู่ติดกัน
แล้วได้เลขฟีโบนักชีตัวถัดไป ใช่ไหมครับ
เพราะมันถูกสร้างมาแบบนั้น
แต่คุณคงไม่คาดคิดว่าจะมีอะไรพิเศษ
เกิดขึ้นเมื่อคุณบวกเลขกำลังสองเข้าด้วยกัน
แต่ลองดูนี่ครับ
1 บวก 1 ได้ 2
1 บวก 4 ได้ 5
5 บวก 9 ได้ 13
9 บวก 25 ได้ 34
และใช่ครับ มันเป็นระบบแบบแผนอย่างนี้ต่อไปเรื่อยๆ
ที่จริง มีอีกอย่างหนึ่ง
สมมติว่าคุณอยากบวกเลขกำลังสอง
ของเลขฟีโบนักชีตัวแรกๆ เข้าด้วยกัน
ดูซิว่าจะเป็นอย่างไร
1 บวก 1 บวก 4 ได้ 6
บวก 9 เข้าไปอีก ได้ 15
บวก 25 เข้าไป ได้ 40
บวก 64 เข้าไปอีก ก็ได้ 104
ทีนี้ ดูเลขพวกนี้นะครับ
มันไม่ใช่เลขฟีโบนักชี
แต่ถ้าคุณดูดีๆ
คุณจะเห็นเลขฟีโบนักชี
ซ่อนอยู่ข้างใน
เห็นไหมครับ เดี๋ยวผมบอกให้
6 คือ 2 คูณ 3 15 คือ 3 คูณ 5
40 คือ 5 คูณ 8
2, 3, 5, 8, เห็นอะไรไหมล่ะครับ
(เสียงหัวเราะ)
ฟีโบนักชีไง!
ทีนี้ นอกจากการค้นพบแบบแผนที่เป็นระบบนี้จะสนุกแล้ว
การทำความเข้าใจว่าทำไมมันจึงเป็นแบบนี้
ยิ่งสนุกเข้าไปใหญ่
เรามาดูสมการเมื่อกี้กัน
ทำไมเลขยกกำลังสองของ 1, 1, 2, 3, 5, และ 8
จึงรวมกันได้เท่ากับ 8 คูณ 13
ผมจะแสดงให้ดูด้วยภาพวาดง่ายๆ
เราเริ่มจากสี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 1 คูณ 1
แล้วเราก็วางสี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 1 คูณ 1 อีกอันลงไป
รวมกัน เราก็ได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 1 คูณ 2
ทีนี้ผมจะวางสี่เหลี่ยมขนาด 2 คูณ 2 ลงไปข้างล่าง
แล้วก็ สี่เหลี่ยมขนาด 3 คูณ 3 ไว้ข้างๆ
ต่อด้วยสี่เหลี่ยมขนาด 5 คูณ 5 ไว้ข้างล่าง
แล้วก็สี่เหลี่ยมขนาด 8 คูณ 8 ไว้ข้างๆ
จนได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ ใช่ไหมครับ
ทีนี้ ผมขอถามคำถามง่ายๆ
สี่เหลี่ยมผืนผ้านี้มีพื้นที่เท่าไหร่ครับ
จะคิดอย่างนี้ก็ได้ ว่า
มันคือผลรวมของพื้นที่
ของสี่เหลี่ยมจตุรัสที่อยู่ข้างใน
เหมือนตอนที่เราสร้างมันขึ้นมา
เราเอาเลข 1 ยกกำลังสอง บวก 1 ยกกำลังสอง
บวก 2 ยกกำลังสอง บวก 3 ยกกำลังสอง
บวก 5 ยกกำลังสอง บวก 8 ยกกำลังสอง ใช่ไหมครับ
นั่นคือพื้นที่ที่เราได้
แต่จะคิดอีกอย่างก็ได้ เพราะมันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
พื้นที่ก็เท่ากับความสูงคูณฐาน
ความสูงก็คือ 8
ส่วนฐานคือ 5 บวก 8
ซึ่งก็คือเลขฟีโบนักชีตัวถัดไป เลข 13 ใช่ไหมครับ
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ก็เลยเท่ากับ 8 คูณ 13
เพราะเราคำนวณพื้นที่อย่างถูกต้อง
ด้วยสองวิธีที่แตกต่างกัน
ตัวเลขนี้จึงตรงกัน
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมเลขยกกำลังสองของ 1, 1, 2, 3, 5, และ 8
จึงรวมกันได้เท่ากับ 8 คูณ 13
ทีนี้ ถ้าเราทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ
เราจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 13 คูณ 21
21 คูณ 34 เช่นนี้ไปเรื่อยๆ
ทีนี้ลองดูนี่นะครับ
ถ้าคุณเอา 13 ตั้ง หารด้วย 8
จะได้ 1.625
ถ้าคุณเอาเลขมากตั้ง หารด้วยเลขน้อยไปเรื่อยๆ
สัดส่วนที่ได้จะเข้าใกล้
1.618 มากขึ้นเรื่อยๆ
ซึ่งเป็นสัดส่วนที่เรียกกันว่าสัดส่วนทองคำ (Golden Ratio)
เป็นตัวเลขที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์
และศิลปินต่างพากันหลงใหลมาหลายศตวรรษ
เอาล่ะ ที่ผมแสดงตัวเลขชุดนี้ให้คุณดู
ก็เพราะ มันเหมือนกับเรื่องอื่นๆ ในคณิตศาสตร์
คือ ผมว่ามันมีด้านที่สวยงาม
ซึ่งไม่ได้รับความสนใจมากนัก
ในโรงเรียนของเรา
เราใช้เวลามากมายเรียนการคำนวณ
แต่โปรดอย่าลืมด้านการใช้ประโยชน์
รวมทั้งประโยชน์ที่อาจจะสำคัญที่สุด
นั่นคือการเรียนรู้ที่จะคิด
ถ้าผมสามารถสรุปเรื่องนี้ด้วยประโยคเดียว
ผมขอบอกว่า
คณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การแก้สมการหาค่า X
แต่มันคือการค้นหา "why" หรือเหตุผลว่า "ทำไม" ด้วย
ขอบคุณมากครับ
(เสียงปรบมือ)