Nos, miért tanulunk matematikát?
Alapvetően három oka van:
számolás,
alkalmazás,
és végül, és sajnos utolsó sorban
az erre szentelt idő tekintetében,
inspiráció.
A matematika a minták tudománya,
és azért tanuljuk, hogy megtanuljunk logikusan,
kritikusan és kreatívan gondolkozni,
de túlnyomó része az iskolában tanult
matematikának nem eléggé motiváló,
és amikor a diák megkérdezi:
"Miért tanuljuk ezt?"
akkor gyakran azt a választ kapja, hogy a következő
matek órára tudni kell, vagy a vizsgán tudni kell.
De nem lenne nagyszerű,
ha minden egyes pillanatban azért tanulnánk,
mert egyszerűen élvezetes lenne, és szép,
vagy mert izgalmas?
Tudom, sok embernek nem adatott meg
a lehetőség, hogy lássák, ez működhet,
szóval engedjék meg, hogy megmutassam egy példával,
kedvenc számsorozatommal,
a Fibonacci számokkal. (Taps)
Igeen. Máris vannak itt Fibonacci rajongók.
Nagyszerű.
Ezek a számok többféle szempontból is
figyelemre méltóak.
Számolási szempontból
olyan könnyen megérthetők,
mint hogy egy meg egy az kettő.
Aztán egy meg kettő az három,
kettő meg három az öt, három meg öt az nyolc,
és így tovább.
Egyébként, akit Fibonacci-ként ismerünk,
valójában Pisai Leonardónak hívták,
és ezek a számok a "Liber Abaci" című könyvében tűntek fel,
mely megtanította a nyugati társadalmakat arra
a számtantudományra, amit mai napig alkalmazunk.
Az alkalmazás tekintetében a Fibonacci
számok meglepően sokszor előfordulnak
a természetben.
Egy virág szirmainak száma
tipikus Fibonacci szám,
vagy a spirálok száma a napraforgón
vagy az ananászon
ugyancsak hajlamos Fibonacci szám lenni.
Valójában rengeteg megjelenési formája van a Fibonacci számoknak,
de számomra a legelgondoltatóbbak
a gyönyörű, szabályos minták, amiket ezek a számok kiadnak.
Had mutassam meg az egyik kedvencemet.
Felteszem szeretnek négyzetre emelni,
most őszintén, ki nem szeret? (Nevetés)
Nézzük az első pár Fibonacci szám
négyzetét.
Egy négyzete az egy,
Kettő négyzete az négy, három négyzete kilenc,
öt négyzete 25, és így tovább.
Abban nincs semmi meglepő, hogy ha összeadjuk
az egymás melletti Fibonacci számokat,
akkor a következő Fibonacci számot kapjuk, igaz?
Hisz így kell képezni a sort.
De nem számítanának semmi érdekesre,
ha az egymás melletti négyzeteiket adjuk össze.
De nézzék csak.
Egy meg egy kettöt ad,
és egy meg négy ötöt.
Négy meg kilenc az 13,
kilenc meg 25 az 34,
és igen, a szabály folytatódik.
Valójában, itt egy másik.
Gondolom most meg akarják nézni az első pár
Fibonacci szám négyzetösszegeit.
Lássuk, mit kapunk.
Egy meg egy meg négy az hat.
Adjuk hozzá a kilencet, az 15.
Adjuk hozzá a 25-öt, az 40.
Adjuk hozzá a 64-et, 104-et kapunk.
Most nézzük ezeket a számokat.
Ezek nem Fibonacci számok,
de ha közelebbről megnézzük öket,
akkor felfedezhetjük bennük
a Fibonacci számokat elrejtve.
Látják? Megmutatom.
Hat az kétszer három, 15 az háromszor öt.
40 az ötször nyolc,
kettő, három, öt, nyolc, na most kire gondolsz?
(Nevetès)
Fibonacci! Hát persze.
Amennyire jó móka felfedezni ezeket az ismétlődő mintákat,
még annál is jobb megérteni,
hogy ezek miért igazak.
Nézzük az utolsó egyenletet.
Miért szükségszerű, hogy az egy, egy, kettő, három, öt és kilenc négyzetösszege
pontosan 8x13 ?
Megmutatom egy egyszerű rajzocskával.
Kezdjük egy 1x1-es négyzettel
majd tegyünk mégegy 1x1-es négyzetet mellé.
Együtt egy 1x2-es téglalapot alkotnak.
Teszek alájuk egy 2x2-es négyzetet,
majd melléjük egy 3x3-as négyzetet,
majd mindezek alá egy 5x5-ös négyzetet,
majd ezután egy 8x8-as négyzet jön,
létrehozva egy nagy téglalapot, igaz?
Had tegyek fel egy egyszerű kérdést:
Mekkora a területe ennek a nagy téglalapnak?
Nos, egyfelől
az összege a kis részterületeknek,
azaz a négyzetek összege, igaz?
Ezekből raktuk össze.
Egy a négyzeten plusz egy a négyzeten
plusz kettő a négyzeten plusz három a négyzeten
plusz öt a négyzeten plusz nyolc a négyzeten, igaz?
Ez a területe.
Másfelől, mivel ez egy téglalap,
a területe egyenlő a két oldal szorzatával,
és az egyik oldal nyilván 8,
a másik oldal pedig 5 plusz 8,
ami 13, azaz a következő Fibonacci szám. Igaz?
Tehát a területet felírhatjuk úgy is, hogy 8x13.
Mivel kétféle módon felírtuk
ugyanazt a területet,
így ezek szükségképpen egyenlőek,
ezért van az, hogy az 1, 1, 2, 3, 5 és 8
négyzetösszege egyenő 8x13-mal.
Most ha folytatjuk az eljárást,
kapunk egy 13x21-es nagy téglalapot,
majd egy 21x34-es téglalapot, és így tovább.
Most ezt nézzék csak!
Ha elosztjuk 8-cal a 13-at,
1.625-öt kapunk.
És ha elosztjuk a nagyobb számot a kisebbel,
a hányados egyre közelít
az 1.618-hoz,
ami nem más, mint az aranymetszés,
a szám, mely elbűvölte a matematikusokat,
tudósokat, művészeket századokon át.
Most, ezt az egészet azért mutatom meg önöknek,
mert mint annyi másnak a matematikában,
ennek is rengeteg szépsége van,
és félek nem kap elég figyelmet
az iskolai oktatásban.
Rengeteg időt töltünk számolással,
de ne feledkezzünk meg az alkalmazásáról se,
ideértve talán a legfontosabb alkalmazását,
a gondolkodni tanítást.
Egy mondatban úgy tudnám
összefoglalni mindezt:
A matematika nem csak az, hogy mennyi az x,
hanem azt is megmondja, miért annyi.
Köszönöm szépen.
(Taps)