מדוע אנו לומדים מתמטיקה?
עקרונית, משלוש סיבות:
לחישובים,
ליישומים,
ואחרון, ולמרבה הצער, לא חביב,
מבחינת הזמן שאנו מקדישים לו,
לשם השראה.
המתמטיקה היא מדע התבניות,
ואנו חוקרים אותה כדי ללמוד לחשוב באופן לוגי,
ביקורתי ויצירתי,
אבל יותר מדי מהמתמטיקה שאנו לומדים בביה"ס
אינה נלמדת מתוך תמריץ יעיל,
וכשתלמידינו שואלים,
"מדוע אנו לומדים את זה?"
הם לעתים קרובות שומעים, שהם יזדקקו לזה
בשיעורי המתמטיקה הבאים או באיזו בחינה בעתיד.
האם לא היה נפלא
אילו מידי פעם בפעם הייו עוסקים במתמטיקה
פשוט משום שהיא כייפית או יפה,
או משום שהיא מלהיבה את המוח?
אני יודע שאנשים רבים
לא זכו להזדמנות לראות איך זה ייתכן,
אז הבה ואתן לכם דוגמה זריזה
בעזרת אוסף המספרים האהוב עלי,
מספרי פיבונאצ'י. [מחיאות כפיים]
כן! כבר יש לי כאן אוהדים של פיבונאצ'י.
מעולה!
את המספרים האלה אפשר להעריך
בדרכים רבות.
מההיבט החישובי,
הם קלים להבנה
כמו 1 ועוד 1 שזה 2,
,1+2=3
,2+3=5 ,3+5=8
וכן הלאה.
למען האמת, האדם שאנו מכנים פיבונאצ'י
שמו היה למעשה לאונרדו מפיזה,
והמספרים האלה מופיעים בספרו "ליבר אבאצ'י",
שלימד את העולם המערבי
את השיטות החשבוניות בהן אנו משתמשים כיום.
מבחינה יישומית,
מספרי פיבונאצ'י מופיעים בטבע
לעתים תכופות עד להפתיע.
מספר עלי הכותרת בפרח
הם מספר פיבונאצ'י אופייני,
או מספר הספירלות בחמניה
או באננס
נוטים גם הם להיות מספרי פיבונאצ'י.
למעשה, יש עוד יישומים רבים למספרי פיבונאצ'י,
אבל מה שבעיני הכי מעורר השראה בהם
הוא התבניות המספריות היפהפיות שהם מפגינים.
הבה ואראה לכם אחת מהאהובות עלי.
נניח שאתם אוהבים להכפיל מספרים בריבוע,
ולמען האמת, מי לא? [צחוק]
הבה נראה את החזקות השניות
של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.
אחד בריבוע הוא אחד,
שתיים בריבוע שווה ארבע, שלוש בריבוע שווה תשע,
חמש בריבוע שווה 25, וכן הלאה.
אז לא מפתיע
שכאשר מחברים מספרי פיבונאצ'י רציפים,
מקבלים את מספרי פיבונאצ'י הבאים בסדרה, נכון?
כך הם נוצרים.
אבל לא הייתם מצפים שיקרה משהו מיוחד
כשתחברו את הריבועים.
אבל תראו מה זה:
1+1=2
1+4=5
4+9=13
9+25=34
כן, הדפוס הזה נמשך.
בעצם, הנה עוד אחד.
נניח שרוצים לבדוק
את חיבור הריבועים של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.
הבה ונראה מה נקבל.
1 + 1 + 4 = 6.
תוסיפו לזה 9, ונקבל 15.
תוסיפו 25, ונקבל 40.
תוסיפו 64, ונקבל 104.
כעת הביטו במספרים האלה.
אלה אינם מספרי פיבונאצ'י,
אך אם תבחנו אותם היטב,
תגלו שמספרי פיבונאצ'י
טמונים בתוכם.
רואים אותם? הבה ואראה לכם אותם.
6 שווה 2X3, 15 שווה 3X5,
40 שווה 5X8,
"שתיים, שלוש, חמש, שמונה מי אוהב את זה כמוני?"
[צחוק]
פיבונאצ'י! כמובן.
ככל שזה כיף לגלות את התבניות האלה,
הרי שעוד יותר מספק להבין
מדוע הן אמיתיות.
נביט במשוואה האחרונה הזו.
מדוע הריבועים של 1, 1, 2, 3, 5 ו-8
מסתכמים ב8X13?
אדגים לכם בעזרת ציור פשוט.
נתחיל עם ריבוע של 1 על 1
ולידו נציב ריבוע נוסף של 1 על 1.
ביחד הם מהווים מלבן של 1 על 2.
מתחתיו אציב ריבוע של 2 על 2,
ולידו - ריבוע של 3 על 3,
מלמטה, ריבוע של 5 על 5,
ועוד ריבוע של 8 על 8,
וקיבלנו מלבן ענקי אחד, נכון?
כעת אשאל אתכם שאלה פשוטה:
מהו שטח המלבן?
מצד אחד,
זהו סכום השטחים
של הריבועים שבתוכו, נכון?
בדיוק כפי ששרטטנו אותם.
1 בריבוע ועוד 1 בריבוע
ועוד 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע
ועוד 5 בריבוע ועוד 8 בריבוע, נכון?
זהו השטח.
מצד שני, היות שזה מלבן,
השטח שווה לבסיס כפול הגובה,
והגובה הוא בבירור 8,
והבסיס הוא 5 + 8,
וזהו מספר פיבונאצ'י הבא: 13, נכון?
אז השטח הוא גם 13X8.
היות שחישבנו נכון את השטח
בשתי דרכים שונות,
מן הסתם זה צריך להיות אותו המספר,
וזו הסיבה שהריבועים של 1, 1, 2, 3, 5 ו-8,
מסתכמים ב-13X8.
כעת, אם נמשיך בתהליך זה,
נייצר מלבנים בצורת 13 על 21,
21 על 34, וכו'.
כעת הביטו בזה.
אם מחלקים 13 ב-8,
מקבלים 1.625.
ואם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן יותר,
היחסים האלה נעשים קרובים יותר ויותר
ל-1.618 בערך,
המוכר לרבים כ"חיתוך הזהב",
מספר שריתק את דמיון המתמטיקאים,
המדענים והאמנים במשך מאות בשנים.
והסיבה שאני מראה לכם את כל זה היא,
שכמו בתחומי מתמטיקה רבים,
יש לכך צד יפה
שחוששני שאינו זוכה לתשומת-לב מספקת
בבתי הספר שלנו.
אנו מקדישים המון זמן ללימוד החישוב,
אבל הבה לא נשכח את היישום,
כולל, אולי, היישום החשוב מכל,
ללמוד לחשוב.
אם אוכל לסכם זאת במשפט אחד,
הרי זה:
המתמטיקה היא לא רק לפתור כדי למצוא את "איקס"
אלא גם להבין את "וואי" (למה).
תודה רבה לכם.
[מחיאות כפיים]