1
00:00:00,613 --> 00:00:03,652
מדוע אנו לומדים מתמטיקה?

2
00:00:03,652 --> 00:00:06,200
עקרונית, משלוש סיבות:

3
00:00:06,200 --> 00:00:07,828
לחישובים,

4
00:00:07,828 --> 00:00:09,728
ליישומים,

5
00:00:09,728 --> 00:00:12,415
ואחרון, ולמרבה הצער,
לא חביב,

6
00:00:12,415 --> 00:00:14,520
מבחינת הזמן שאנו מקדישים לו,

7
00:00:14,520 --> 00:00:16,442
לשם השראה.

8
00:00:16,442 --> 00:00:18,714
המתמטיקה היא מדע התבניות,

9
00:00:18,714 --> 00:00:22,072
ואנו חוקרים אותה
כדי ללמוד לחשוב באופן לוגי,

10
00:00:22,072 --> 00:00:24,599
ביקורתי ויצירתי,

11
00:00:24,599 --> 00:00:27,525
אבל יותר מדי מהמתמטיקה
שאנו לומדים בביה"ס

12
00:00:27,525 --> 00:00:29,844
אינה נלמדת מתוך תמריץ יעיל,

13
00:00:29,844 --> 00:00:31,269
וכשתלמידינו שואלים,

14
00:00:31,269 --> 00:00:32,944
"מדוע אנו לומדים את זה?"

15
00:00:32,944 --> 00:00:34,905
הם לעתים קרובות שומעים,
שהם יזדקקו לזה

16
00:00:34,905 --> 00:00:38,170
בשיעורי המתמטיקה הבאים
או באיזו בחינה בעתיד.

17
00:00:38,170 --> 00:00:39,972
האם לא היה נפלא

18
00:00:39,972 --> 00:00:42,490
אילו מידי פעם בפעם
הייו עוסקים במתמטיקה

19
00:00:42,490 --> 00:00:45,439
פשוט משום שהיא כייפית
או יפה,

20
00:00:45,439 --> 00:00:47,529
או משום שהיא
מלהיבה את המוח?

21
00:00:47,529 --> 00:00:49,251
אני יודע שאנשים רבים

22
00:00:49,251 --> 00:00:51,570
לא זכו להזדמנות לראות
איך זה ייתכן,

23
00:00:51,570 --> 00:00:53,399
אז הבה ואתן לכם
דוגמה זריזה

24
00:00:53,399 --> 00:00:55,740
בעזרת אוסף המספרים
האהוב עלי,

25
00:00:55,740 --> 00:00:58,468
מספרי פיבונאצ'י.
[מחיאות כפיים]

26
00:00:58,468 --> 00:01:00,520
כן! כבר יש לי כאן
אוהדים של פיבונאצ'י.

27
00:01:00,520 --> 00:01:01,836
מעולה!

28
00:01:01,836 --> 00:01:03,952
את המספרים האלה
אפשר להעריך

29
00:01:03,952 --> 00:01:05,830
בדרכים רבות.

30
00:01:05,830 --> 00:01:08,539
מההיבט החישובי,

31
00:01:08,539 --> 00:01:10,216
הם קלים להבנה

32
00:01:10,216 --> 00:01:12,770
כמו 1 ועוד 1 שזה 2,

33
00:01:12,770 --> 00:01:14,773
,1+2=3

34
00:01:14,773 --> 00:01:17,787
,2+3=5
,3+5=8

35
00:01:17,787 --> 00:01:19,312
וכן הלאה.

36
00:01:19,312 --> 00:01:21,489
למען האמת,
האדם שאנו מכנים פיבונאצ'י

37
00:01:21,489 --> 00:01:24,669
שמו היה למעשה לאונרדו מפיזה,

38
00:01:24,669 --> 00:01:27,722
והמספרים האלה מופיעים בספרו
"ליבר אבאצ'י",

39
00:01:27,722 --> 00:01:29,372
שלימד את העולם המערבי

40
00:01:29,372 --> 00:01:32,199
את השיטות החשבוניות
בהן אנו משתמשים כיום.

41
00:01:32,199 --> 00:01:33,920
מבחינה יישומית,

42
00:01:33,920 --> 00:01:36,103
מספרי פיבונאצ'י מופיעים בטבע

43
00:01:36,103 --> 00:01:37,960
לעתים תכופות עד להפתיע.

44
00:01:37,960 --> 00:01:39,700
מספר עלי הכותרת בפרח

45
00:01:39,700 --> 00:01:41,562
הם מספר פיבונאצ'י אופייני,

46
00:01:41,562 --> 00:01:44,332
או מספר הספירלות בחמניה

47
00:01:44,332 --> 00:01:45,743
או באננס

48
00:01:45,743 --> 00:01:48,137
נוטים גם הם להיות
מספרי פיבונאצ'י.

49
00:01:48,137 --> 00:01:51,640
למעשה, יש עוד יישומים רבים
למספרי פיבונאצ'י,

50
00:01:51,640 --> 00:01:54,200
אבל מה שבעיני הכי
מעורר השראה בהם

51
00:01:54,200 --> 00:01:56,934
הוא התבניות המספריות
היפהפיות שהם מפגינים.

52
00:01:56,934 --> 00:01:59,128
הבה ואראה לכם
אחת מהאהובות עלי.

53
00:01:59,128 --> 00:02:01,349
נניח שאתם אוהבים
להכפיל מספרים בריבוע,

54
00:02:01,349 --> 00:02:04,024
ולמען האמת, מי לא?
[צחוק]

55
00:02:04,040 --> 00:02:06,280
הבה נראה את החזקות השניות

56
00:02:06,280 --> 00:02:08,131
של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.

57
00:02:08,131 --> 00:02:10,161
אחד בריבוע הוא אחד,

58
00:02:10,161 --> 00:02:12,478
שתיים בריבוע שווה ארבע,
שלוש בריבוע שווה תשע,

59
00:02:12,478 --> 00:02:15,651
חמש בריבוע שווה 25, וכן הלאה.

60
00:02:15,651 --> 00:02:17,552
אז לא מפתיע

61
00:02:17,552 --> 00:02:20,380
שכאשר מחברים
מספרי פיבונאצ'י רציפים,

62
00:02:20,380 --> 00:02:22,412
מקבלים את מספרי פיבונאצ'י
הבאים בסדרה, נכון?

63
00:02:22,412 --> 00:02:23,807
כך הם נוצרים.

64
00:02:23,807 --> 00:02:25,580
אבל לא הייתם מצפים
שיקרה משהו מיוחד

65
00:02:25,580 --> 00:02:28,656
כשתחברו את הריבועים.

66
00:02:28,656 --> 00:02:30,002
אבל תראו מה זה:

67
00:02:30,002 --> 00:02:32,003
1+1=2

68
00:02:32,003 --> 00:02:34,765
1+4=5

69
00:02:34,765 --> 00:02:36,960
4+9=13

70
00:02:36,960 --> 00:02:40,173
9+25=34

71
00:02:40,173 --> 00:02:42,832
כן, הדפוס הזה נמשך.

72
00:02:42,832 --> 00:02:44,453
בעצם, הנה עוד אחד.

73
00:02:44,453 --> 00:02:46,297
נניח שרוצים לבדוק

74
00:02:46,297 --> 00:02:48,795
את חיבור הריבועים
של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.

75
00:02:48,795 --> 00:02:50,403
הבה ונראה מה נקבל.

76
00:02:50,403 --> 00:02:52,542
1 + 1 + 4 = 6.

77
00:02:52,542 --> 00:02:55,547
תוסיפו לזה 9, ונקבל 15.

78
00:02:55,547 --> 00:02:57,760
תוסיפו 25, ונקבל 40.

79
00:02:57,760 --> 00:03:00,551
תוסיפו 64, ונקבל 104.

80
00:03:00,551 --> 00:03:02,203
כעת הביטו במספרים האלה.

81
00:03:02,203 --> 00:03:04,587
אלה אינם מספרי פיבונאצ'י,

82
00:03:04,587 --> 00:03:06,466
אך אם תבחנו אותם היטב,

83
00:03:06,466 --> 00:03:08,349
תגלו שמספרי פיבונאצ'י

84
00:03:08,349 --> 00:03:10,527
טמונים בתוכם.

85
00:03:10,527 --> 00:03:12,597
רואים אותם?
הבה ואראה לכם אותם.

86
00:03:12,597 --> 00:03:16,330
6 שווה 2X3,
15 שווה 3X5,

87
00:03:16,330 --> 00:03:18,389
40 שווה 5X8,

88
00:03:18,389 --> 00:03:21,317
"שתיים, שלוש, חמש, שמונה
מי אוהב את זה כמוני?"

89
00:03:21,317 --> 00:03:22,504
[צחוק]

90
00:03:22,504 --> 00:03:24,659
פיבונאצ'י! כמובן.

91
00:03:24,659 --> 00:03:28,442
ככל שזה כיף לגלות
את התבניות האלה,

92
00:03:28,442 --> 00:03:30,924
הרי שעוד יותר מספק להבין

93
00:03:30,924 --> 00:03:32,882
מדוע הן אמיתיות.

94
00:03:32,882 --> 00:03:34,771
נביט במשוואה האחרונה הזו.

95
00:03:34,771 --> 00:03:38,639
מדוע הריבועים של 1, 1,
2, 3, 5 ו-8

96
00:03:38,639 --> 00:03:41,184
מסתכמים ב8X13?

97
00:03:41,184 --> 00:03:44,145
אדגים לכם בעזרת
ציור פשוט.

98
00:03:44,145 --> 00:03:46,832
נתחיל עם ריבוע של 1 על 1

99
00:03:46,832 --> 00:03:50,997
ולידו נציב ריבוע נוסף
של 1 על 1.

100
00:03:50,997 --> 00:03:54,405
ביחד הם מהווים מלבן
של 1 על 2.

101
00:03:54,405 --> 00:03:56,954
מתחתיו אציב ריבוע
של 2 על 2,

102
00:03:56,954 --> 00:03:59,749
ולידו - ריבוע של 3 על 3,

103
00:03:59,749 --> 00:04:01,750
מלמטה, ריבוע של 5 על 5,

104
00:04:01,750 --> 00:04:03,662
ועוד ריבוע של 8 על 8,

105
00:04:03,662 --> 00:04:06,234
וקיבלנו מלבן ענקי אחד, נכון?

106
00:04:06,234 --> 00:04:08,150
כעת אשאל אתכם
שאלה פשוטה:

107
00:04:08,150 --> 00:04:11,806
מהו שטח המלבן?

108
00:04:11,806 --> 00:04:13,777
מצד אחד,

109
00:04:13,777 --> 00:04:16,307
זהו סכום השטחים

110
00:04:16,307 --> 00:04:18,173
של הריבועים שבתוכו, נכון?

111
00:04:18,173 --> 00:04:19,532
בדיוק כפי ששרטטנו אותם.

112
00:04:19,532 --> 00:04:21,704
1 בריבוע ועוד 1 בריבוע

113
00:04:21,704 --> 00:04:23,937
ועוד 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע

114
00:04:23,937 --> 00:04:26,536
ועוד 5 בריבוע
ועוד 8 בריבוע, נכון?

115
00:04:26,536 --> 00:04:28,393
זהו השטח.

116
00:04:28,393 --> 00:04:30,719
מצד שני, היות שזה מלבן,

117
00:04:30,719 --> 00:04:34,367
השטח שווה לבסיס כפול הגובה,

118
00:04:34,367 --> 00:04:36,414
והגובה הוא בבירור 8,

119
00:04:36,414 --> 00:04:39,317
והבסיס הוא 5 + 8,

120
00:04:39,317 --> 00:04:43,255
וזהו מספר פיבונאצ'י הבא:
13, נכון?

121
00:04:43,255 --> 00:04:46,618
אז השטח הוא גם 13X8.

122
00:04:46,618 --> 00:04:48,880
היות שחישבנו נכון את השטח

123
00:04:48,880 --> 00:04:50,567
בשתי דרכים שונות,

124
00:04:50,567 --> 00:04:52,739
מן הסתם זה צריך להיות
אותו המספר,

125
00:04:52,739 --> 00:04:56,130
וזו הסיבה שהריבועים של
1, 1, 2, 3, 5 ו-8,

126
00:04:56,130 --> 00:04:58,421
מסתכמים ב-13X8.

127
00:04:58,421 --> 00:05:00,795
כעת, אם נמשיך בתהליך זה,

128
00:05:00,795 --> 00:05:04,773
נייצר מלבנים בצורת 13 על 21,

129
00:05:04,773 --> 00:05:07,167
21 על 34, וכו'.

130
00:05:07,167 --> 00:05:08,576
כעת הביטו בזה.

131
00:05:08,576 --> 00:05:10,769
אם מחלקים 13 ב-8,

132
00:05:10,769 --> 00:05:12,812
מקבלים 1.625.

133
00:05:12,812 --> 00:05:16,239
ואם מחלקים את המספר הגדול
במספר הקטן יותר,

134
00:05:16,239 --> 00:05:19,112
היחסים האלה נעשים
קרובים יותר ויותר

135
00:05:19,112 --> 00:05:21,765
ל-1.618 בערך,

136
00:05:21,765 --> 00:05:25,066
המוכר לרבים כ"חיתוך הזהב",

137
00:05:25,066 --> 00:05:27,662
מספר שריתק את דמיון המתמטיקאים,

138
00:05:27,662 --> 00:05:30,908
המדענים והאמנים במשך
מאות בשנים.

139
00:05:30,908 --> 00:05:33,139
והסיבה שאני מראה לכם
את כל זה היא,

140
00:05:33,139 --> 00:05:35,164
שכמו בתחומי מתמטיקה רבים,

141
00:05:35,164 --> 00:05:37,131
יש לכך צד יפה

142
00:05:37,131 --> 00:05:39,146
שחוששני שאינו זוכה
לתשומת-לב מספקת

143
00:05:39,146 --> 00:05:40,713
בבתי הספר שלנו.

144
00:05:40,713 --> 00:05:43,546
אנו מקדישים המון זמן
ללימוד החישוב,

145
00:05:43,546 --> 00:05:46,302
אבל הבה לא נשכח
את היישום,

146
00:05:46,302 --> 00:05:49,756
כולל, אולי, היישום החשוב מכל,

147
00:05:49,756 --> 00:05:51,832
ללמוד לחשוב.

148
00:05:51,832 --> 00:05:53,789
אם אוכל לסכם זאת
במשפט אחד,

149
00:05:53,789 --> 00:05:55,250
הרי זה:

150
00:05:55,250 --> 00:05:58,610
המתמטיקה היא לא רק
לפתור כדי למצוא את "איקס"

151
00:05:58,610 --> 00:06:01,535
אלא גם להבין את "וואי" (למה).

152
00:06:01,535 --> 00:06:03,350
תודה רבה לכם.

153
00:06:03,350 --> 00:06:07,757
[מחיאות כפיים]