RKA2 - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você?
Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!
Neste vídeo, vamos conversar sobre o teorema da divergência em duas dimensões.
Para começar a conversar sobre isso,
vamos relembrar que, antes, aprendemos um pouco sobre como construir um vetor normal unitário
em qualquer ponto de uma curva.
Inclusive, foi isso que fizemos no último vídeo.
Agora eu quero começar a explorar uma expressão interessante.
Eu vou escrever aqui a integral de linha em torno de um caminho fechado
e vamos definir que a orientação positiva está no sentido anti-horário.
Nós vamos nos movimentar nesse sentido.
Aí, esta integral do produto escalar entre uma função F
com vetor normal unitário em qualquer ponto dessa curva.
Ah, e colocamos o ds aqui, também.
A primeira coisa a fazer é conceituar isto que eu estou fazendo aqui
e tentar compreender o que isso está me dizendo.
Sendo assim, vamos manipular esta expressão um pouco
para ver se podemos chegar a uma conclusão interessante.
Para isso, eu vou usar o teorema de Green
e aí vamos chegar a uma versão bidimensional do teorema da divergência,
o que parece muito complicado, mas eu espero que a gente consiga fazer isso
e que você consiga compreender.
Vamos pensar sobre isso aqui. Eu vou desenhar um plano de coordenadas.
Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.
Eu vou desenhar a curva também.
A curva pode ser mais ou menos assim.
Meu contorno está se movimentando de forma positiva no sentido anti-horário, deste jeito.
Agora temos o nosso campo vetorial.
E, apenas como um lembrete, que inclusive já vimos isso várias vezes,
o campo vetorial vai associar a um vetor com qualquer ponto no plano XY.
E ele pode ser definido como alguma função de (x, y).
Na verdade, eu vou chamar isto de P.
Alguma função de (x, y) vezes o vetor unitário i^.
Isso indica a forma da componente "i" do campo vetorial para qualquer ponto (x, y).
Também precisamos da nossa componente "j".
Então, colocamos algum fator de (x, y) que vai multiplicar a componente "j".
Ou seja, que vai multiplicar a componente vertical para qualquer ponto (x, y).
Sendo assim, temos alguma função de (x, y) vezes i^,
mais alguma outra função escalar vezes j^.
Com isso, se você me der algum ponto, qualquer ponto, há um vetor associado,
dependendo de como definimos essa função.
Mas, nesta expressão aqui, estamos calculando uma integral de linha.
Sendo assim, nos preocupamos especificamente com os pontos ao longo desta curva,
ao longo deste contorno aqui.
Sendo assim, vamos pensar sobre o que isso está nos dizendo
antes de pegar coisas infinitesimalmente pequenas.
Vamos pegar aqui o F escalar n.
E eu vou pensar sobre um ponto nesta curva.
Um ponto nesta curva que talvez seja este ponto, bem aqui.
Como vimos, associado a este ponto há um vetor. E é isso que o campo vetorial faz.
F pode se parecer com algo assim neste ponto. Este é o campo vetorial neste ponto.
Não podemos esquecer que temos um produto escalar entre F
e o vetor normal unitário naquele ponto.
Sendo assim, podemos representar aqui também o vetor normal unitário, que pode ter esta forma.
É bom relembrar aqui que, quando calculamos o produto escalar,
a gente obtém uma quantidade de escalar.
A gente, essencialmente, obtêm um número...
Inclusive, você deve se lembrar disso. Eu já jiz alguns vídeos sobre isso,
onde realizamos um detalhamento melhor.
Mas, de uma forma resumida, eu posso te dizer que esse produto escalar
nos diz quanto estes dois vetores caminham juntos.
É importante pensar nisso porque, se eles são completamente ortogonais um em relação ao outro,
isto vai ser igual a zero.
Mas, se eles estão na mesma direção e sentido,
basta você multiplicar os módulos deles dois.
Como temos um vetor unitário aqui, o que vamos fazer
é obter o quanto (em módulo) do campo vetorial F que vai na direção normal.
Então, você pode pensar dessa forma.
Sabendo isso, vamos pensar sobre a componente deste vetor que está na direção normal.
Inclusive, eu acho legal escrever isso aqui.
Isto corresponde ao módulo da componente de F que está na direção normal,
ou na mesma direção que o vetor normal unitário.
Aí, multiplicamos isso com um comprimento infinitamente pequeno do nosso contorno,
da nossa curva em torno deste ponto.
Então, vamos multiplicar com isto aqui.
Eu sei que você pode ter compreendido que eu estou dizendo,
mas como isso pode ser fisicamente relativo?
Ou de que forma podemos pensar no que esta expressão está realmente medindo?
Para pensar nisso, eu sempre visualizo tudo isto em duas dimensões.
No futuro também vamos ver isso em três dimensões,
mas, por enquanto, vamos visualizar um universo bidimensional
em que estamos estudando, por exemplo, gases.
Vamos supor que a gente tenha várias partículas em um universo bidimensional,
de forma que a gente tem apenas as coordenadas "x" e "y".
Este campo vetorial está essencialmente dizendo a você
a velocidade em qualquer ponto nesta região.
Então, isto aqui, nesse exemplo, indica a velocidade
das partículas de um gás em um determinado ponto.
Ou, como estamos falando do nosso vetor normal,
isso indica o quão rápido as partículas desse gás estão saindo neste ponto.
Com isso, ao resolver esta integral,
saberemos o quão rápido as partículas estarão saindo deste contorno.
Isso, claro tendod um valor positivo, mas a gente pode encontrar um valor negativo também.
Como estamos considerando que o vetor normal unitário está orientado para fora
e o resultado da integral está nos dizendo o quão rápido as partículas estão saindo deste contorno,
se a gente tiver um valor negativo, isso significaria dizer que existe alguma entrada de partículas.
E o resultado da integral nos diria a velocidade com a qual as partículas estão entrando nesta região.
Bem, toda esta expressão não precisa, necessariamente, ter uma representação física.
Mas, usando essa analogia do gás, isso nos diz o quão rápidas são as partículas,
o quão rápido as partículas de um gás bidimensional estão saindo do contorno.
No futuro, vamos fazer isso em três dimensões, onde teremos uma superfície.
E aí vamos terminar o quão rápido as coisas estão saindo dessa superfície.
Enfim, agora que já temos uma compreensão conceitual do que isso poderia representar,
vamos brincar com isso um pouco, principalmente porque já sabemos como definir um vetor normal.
Então vamos
reescrever essa integral usando que
sabemos sobre como construir um vetor
normal reescrevendo as em integral temos
aqui a integral sobre essa curva do
campo vetorial FC escalar o vetor normal
a gente pode escrever o vetor normal
dessa forma aqui Vimos que o vetor
normal É de Y echa em menos de XJ chapéu
e tudo isso dividido pelo módulo que
nesse caso é o DS para tornar um vetor
unitário encontramos aqui o módulo DDS
calculando a raiz quadrada de de x ao
quadrado mais de y ao quadrado que a
mesma coisa que você pequeno comprimento
aqui do nosso Contorno sendo assim vamos
dividir isso aqui por DS E aí
multiplicamos isso por DS u DS é um
instalar como temos um DS aqui um desse
aqui eu podemos cancelar um com o outro
sendo Assim ficamos apenas com o produto
escalar entre F E essa diferença entre
de y e chapéu e deixe J chapéu para
melhor visualizar isso eu vou reescrever
essa integral então eu coloco aqui a
integral de linha Lembrando que estamos
integrando no sentido anti-horário e aí
essa integral vai ser do vamos calcular
esse produto escalar que está aqui em
cima bem esse produto escalar é bem
simples A gente faz o produto das
componentes X a mente o produto dos
módulos das componentes de então teremos
aqui p de x e y vezes de y mas o produto
dos módulos das componentes Y ou das
componentes derrota ou seja teremos aqui
mais que ele dxy vezes menos de X bem só
que vai nos dar menos o que de x e y
vezes deixes portanto essa é uma
declaração interessante porque já vimos
algo parecido antes só que sem essa
diferença eu estou falando do Teorema de
Green que inclusive eu vou reescrever
isso aqui agora o teorema de Green disse
para gente que se estamos calculando a
integral de linha sobre um Contorno
inclusive Existem várias maneiras de
escrever isso mas eu vou colocar aqui da
forma que já usamos em vários vídeos OK
então podemos colocar aqui e me vezes
deixe maizena e vezes da y e essa
integral é igual a integral dupla sobre
a região que essa linha está contornando
da parcial do que está ao lado de de
Italo que nesse caso é o n então
colocamos aqui e em relação a x e disso
nós subtraímos a parcial do que quer que
esteja ao lado de DX ou seja parcial de
m em relação à Y aí poderíamos colocar
isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de
aqui é o infinitesimalmente pequeno
pedaço da área então vou escrever de
aqui enfim isso aqui apenas uma
reafirmação do Teorema de Green nós já
sabemos Gilson agora que revemos isso
como podemos aplicar o teorema de Green
a isso que vimos aqui em cima bem a
mesma coisa mesmo tendo uma diferença
aqui nós podemos aplicar o teorema de
Green da mesma forma sendo assim isso é
igual a integral dupla sobre a região
que se Contorno envolve de bem o que
queremos fazer é olhar para qualquer
coisa que está sendo multiplicado aqui
pelo de y nesse caso Essa é a função que
está sendo multiplicada pelo de y aí
calculamos a derivada parcial disso em
relação a x Então vamos ter aqui a
derivada parcial de P em relação a x E
aí isso menos a cada parcial de outubro
aquilo que está sendo multiplicado pelo
DX nesse caso vamos fazer a derivada
parcial disso aqui em relação à Y mas
temos um negativo certo então colocamos
aqui o menos a derivada parcial de que
em relação a y e aí é multiplicamos isso
aqui com da Observe que temos esses dois
negativos ou seja estamos subtraindo
algo que é negativo isso faz com que a
gente tem uma adição aqui sendo assim
Isso vai ser igual a integral dupla
sobre a região da a talvez você já
consiga saber onde isso tudo que vai dar
e até que contou com animada Animada não
era mas continuando aqui vai ser a
integral dupla da parcial de P em
relação a x mais a parcial de que em
relação a Y B A agora olha para isso
aqui é a função que estava nos dizendo o
módulo na direção x e que estava nos
dizendo o módulo na direção Y Estamos
fazendo a passear o dias em relação AX
Edilson em relação a y e aí estamos e
usando uma adição entre os resultados
isso é exatamente o divergente DF isso
não faz sentido eu aconselho que você
assista um vídeo sobre divergência Já
tem alguns aqui isso aqui é o divergente
DF é então por definição Esse é o
divergente do nosso campo vetorial F
isso é algo muito interessante Afinal
Saímos da expressão original e começamos
a estudar lá buscando determinar a
velocidade com a qual as partículas
estão saindo da superfície e agora que
entendemos isso em termos dessa
expressão vamos interpretar isso de
forma intuitiva isso aqui é igual a
integral dupla sobre essa região do
divergente DF vezes um
infinitesimalmente pequeno pedaço de
área nesse caso de ar agora porque isso
faz sentido de forma intuitiva para você
perceber porque isso faz sentido basta
você se lembrar sobre o que é a
divergência a divergência uma medida que
no juízo quanto as coisas estão se
expandindo divergindo ou quanto estão se
concentrando
é lindo se você tem aqui um ponto e ao
redor desse ponto as partículas estão
meio que se afastando mais nas outras
teremos um divergente positivo aqui por
outro lado se as partículas estiverem se
aproximando umas das outras teremos um
divergente negativo observando isso tudo
que a gente fez aqui faz sentido o que
se você pega uma área infinitesimalmente
pequena e multiplica isso com divergente
teremos um número que será somado ao
longo de toda essa região aí quanto
maior for o dever gente mas coisas estão
saindo do limite dessa região Se você
visse isso com o quão rápido as coisas
estão saindo da superfície teremos um
fluxo bidimensional ou seja se a gente
observar a rapidez das coisas saindo da
pequena área da superfície e isso vai
ser a mesma coisa que a soma de todos os
divergentes sobre essa área que o
contorno está circundando Eu espero que
você faça um pouco de sentido para você
Isso é apenas uma outra maneira de
pensar sobre o teorema de mim é isso que
acabamos de ver aqui de forma resumida
que essa expressão das divergências
sobre essa região aqui é a mesma coisa
que é fiz calar n sobre o contorno ou
seja temos aqui o teorema da divergência
de forma bidimensional eu espero que
você tenha compreendido tudo direitinho
e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima