WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.265
RKA2 - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você?

00:00:03.265 --> 00:00:07.656
Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!

00:00:07.656 --> 00:00:12.693
Neste vídeo, vamos conversar sobre o teorema da divergência em duas dimensões.

00:00:12.693 --> 00:00:14.893
Para começar a conversar sobre isso,

00:00:14.893 --> 00:00:20.317
vamos relembrar que, antes, aprendemos um pouco sobre como construir um vetor normal unitário

00:00:20.317 --> 00:00:22.349
em qualquer ponto de uma curva.

00:00:22.349 --> 00:00:25.444
Inclusive, foi isso que fizemos no último vídeo.

00:00:25.444 --> 00:00:29.258
Agora eu quero começar a explorar uma expressão interessante.

00:00:29.258 --> 00:00:33.098
Eu vou escrever aqui a integral de linha em torno de um caminho fechado

00:00:33.098 --> 00:00:38.661
e vamos definir que a orientação positiva está no sentido anti-horário.

00:00:38.661 --> 00:00:41.220
Nós vamos nos movimentar nesse sentido.

00:00:41.220 --> 00:00:45.758
Aí, esta integral do produto escalar entre uma função F

00:00:45.758 --> 00:00:49.629
com vetor normal unitário em qualquer ponto dessa curva.

00:00:49.629 --> 00:00:51.687
Ah, e colocamos o ds aqui, também.

00:00:51.687 --> 00:00:55.449
A primeira coisa a fazer é conceituar isto que eu estou fazendo aqui

00:00:55.449 --> 00:00:58.449
e tentar compreender o que isso está me dizendo.

00:00:58.449 --> 00:01:01.530
Sendo assim, vamos manipular esta expressão um pouco

00:01:01.530 --> 00:01:04.759
para ver se podemos chegar a uma conclusão interessante.

00:01:04.759 --> 00:01:07.239
Para isso, eu vou usar o teorema de Green

00:01:07.239 --> 00:01:11.483
e aí vamos chegar a uma versão bidimensional do teorema da divergência,

00:01:11.483 --> 00:01:15.157
o que parece muito complicado, mas eu espero que a gente consiga fazer isso

00:01:15.157 --> 00:01:17.131
e que você consiga compreender.

00:01:17.131 --> 00:01:21.459
Vamos pensar sobre isso aqui. Eu vou desenhar um plano de coordenadas.

00:01:21.459 --> 00:01:25.139
Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.

00:01:25.139 --> 00:01:27.179
Eu vou desenhar a curva também.

00:01:27.179 --> 00:01:30.139
A curva pode ser mais ou menos assim.

00:01:30.139 --> 00:01:36.479
Meu contorno está se movimentando de forma positiva no sentido anti-horário, deste jeito.

00:01:36.479 --> 00:01:38.760
Agora temos o nosso campo vetorial.

00:01:38.760 --> 00:01:42.640
E, apenas como um lembrete, que inclusive já vimos isso várias vezes,

00:01:42.640 --> 00:01:48.179
o campo vetorial vai associar a um vetor com qualquer ponto no plano XY.

00:01:48.179 --> 00:01:51.863
E ele pode ser definido
como alguma função de (x, y).

00:01:51.863 --> 00:01:54.143
Na verdade, eu vou chamar isto de P.

00:01:54.143 --> 00:01:59.050
Alguma função de (x, y) vezes o vetor unitário i^.

00:01:59.050 --> 00:02:04.800
Isso indica a forma da componente "i" do campo vetorial para qualquer ponto (x, y).

00:02:04.800 --> 00:02:07.800
Também precisamos da nossa componente "j".

00:02:07.800 --> 00:02:13.580
Então, colocamos algum fator de (x, y) que vai multiplicar a componente "j".

00:02:13.580 --> 00:02:19.030
Ou seja, que vai multiplicar a componente vertical para qualquer ponto (x, y).

00:02:19.030 --> 00:02:23.323
Sendo assim, temos alguma função de (x, y) vezes i^,

00:02:23.323 --> 00:02:26.930
mais alguma outra função escalar vezes j^.

00:02:26.930 --> 00:02:31.842
Com isso, se você me der algum ponto, qualquer ponto, há um vetor associado,

00:02:31.842 --> 00:02:34.455
dependendo de como definimos essa função.

00:02:34.455 --> 00:02:38.401
Mas, nesta expressão aqui, estamos calculando uma integral de linha.

00:02:38.401 --> 00:02:42.953
Sendo assim, nos preocupamos especificamente com os pontos ao longo desta curva,

00:02:42.953 --> 00:02:44.980
ao longo deste contorno aqui.

00:02:44.980 --> 00:02:47.634
Sendo assim, vamos pensar sobre o que isso está nos dizendo

00:02:47.634 --> 00:02:50.700
antes de pegar coisas infinitesimalmente pequenas.

00:02:50.700 --> 00:02:53.190
Vamos pegar aqui o F escalar n.

00:02:53.190 --> 00:02:56.080
E eu vou pensar sobre um ponto nesta curva.

00:02:56.080 --> 00:02:59.923
Um ponto nesta curva que talvez seja este ponto, bem aqui.

00:02:59.923 --> 00:03:05.200
Como vimos, associado a este ponto há um vetor. E é isso que o campo vetorial faz.

00:03:05.200 --> 00:03:10.580
F pode se parecer com algo assim neste ponto. Este é o campo vetorial neste ponto.

00:03:10.580 --> 00:03:14.403
Não podemos esquecer que temos um produto escalar entre F

00:03:14.403 --> 00:03:17.527
e o vetor normal unitário naquele ponto.

00:03:17.527 --> 00:03:23.230
Sendo assim, podemos representar aqui também o vetor normal unitário, que pode ter esta forma.

00:03:23.230 --> 00:03:26.790
É bom relembrar aqui que, quando calculamos o produto escalar,

00:03:26.790 --> 00:03:29.126
a gente obtém uma quantidade de escalar.

00:03:29.126 --> 00:03:31.800
A gente, essencialmente, obtêm um número...

00:03:31.800 --> 00:03:36.230
Inclusive, você deve se lembrar disso. Eu já jiz alguns vídeos sobre isso,

00:03:36.230 --> 00:03:38.667
onde realizamos um detalhamento melhor.

00:03:38.667 --> 00:03:42.740
Mas, de uma forma resumida, eu posso te dizer que esse produto escalar

00:03:42.740 --> 00:03:46.550
nos diz quanto estes dois vetores caminham juntos.

00:03:46.550 --> 00:03:52.259
É importante pensar nisso porque, se eles são completamente ortogonais um em relação ao outro,

00:03:52.259 --> 00:03:53.901
isto vai ser igual a zero.

00:03:53.901 --> 00:03:56.620
Mas, se eles estão na mesma direção e sentido,

00:03:56.620 --> 00:03:59.571
basta você multiplicar os módulos deles dois.

00:03:59.571 --> 00:04:02.939
Como temos um vetor unitário aqui, o que vamos fazer

00:04:02.939 --> 00:04:08.907
é obter o quanto (em módulo) do campo vetorial F que vai na direção normal.

00:04:08.907 --> 00:04:11.060
Então, você pode pensar dessa forma.

00:04:11.060 --> 00:04:16.866
Sabendo isso, vamos pensar sobre a componente deste vetor que está na direção normal.

00:04:16.866 --> 00:04:19.469
Inclusive, eu acho legal escrever isso aqui.

00:04:19.469 --> 00:04:24.370
Isto corresponde ao módulo da componente de F que está na direção normal,

00:04:24.370 --> 00:04:27.340
ou na mesma direção que o vetor normal unitário.

00:04:27.340 --> 00:04:32.310
Aí, multiplicamos isso com um comprimento infinitamente pequeno do nosso contorno,

00:04:32.310 --> 00:04:34.990
da nossa curva em torno deste ponto.

00:04:34.990 --> 00:04:36.919
Então, vamos multiplicar com isto aqui.

00:04:36.919 --> 00:04:40.080
Eu sei que você pode ter compreendido que eu estou dizendo,

00:04:40.080 --> 00:04:42.970
mas como isso pode ser fisicamente relativo?

00:04:42.970 --> 00:04:47.520
Ou de que forma podemos pensar no que esta expressão está realmente medindo?

00:04:47.520 --> 00:04:52.050
Para pensar nisso, eu sempre visualizo tudo isto em duas dimensões.

00:04:52.050 --> 00:04:54.598
No futuro também vamos ver isso em três dimensões,

00:04:54.598 --> 00:04:57.960
mas, por enquanto, vamos visualizar um universo bidimensional

00:04:57.960 --> 00:05:01.069
em que estamos estudando, por exemplo, gases.

00:05:01.069 --> 00:05:05.420
Vamos supor que a gente tenha várias partículas em um universo bidimensional,

00:05:05.420 --> 00:05:08.460
de forma que a gente tem apenas as coordenadas "x" e "y".

00:05:08.460 --> 00:05:12.210
Este campo vetorial está essencialmente dizendo a você

00:05:12.210 --> 00:05:15.120
a velocidade em qualquer ponto nesta região.

00:05:15.120 --> 00:05:17.742
Então, isto aqui, nesse exemplo, indica a velocidade

00:05:17.742 --> 00:05:20.635
das partículas de um gás em um determinado ponto.

00:05:20.635 --> 00:05:23.589
Ou, como estamos falando do nosso vetor normal,

00:05:23.589 --> 00:05:28.779
isso indica o quão rápido as partículas desse gás estão saindo neste ponto.

00:05:28.779 --> 00:05:31.119
Com isso, ao resolver esta integral,

00:05:31.119 --> 00:05:35.340
saberemos o quão rápido as partículas estarão saindo deste contorno.

00:05:35.340 --> 00:05:40.222
Isso, claro tendod um valor positivo, mas a gente pode encontrar um valor negativo também.

00:05:40.222 --> 00:05:44.960
Como estamos considerando que o vetor normal unitário está orientado para fora

00:05:44.960 --> 00:05:50.620
e o resultado da integral está nos dizendo o quão rápido as partículas estão saindo deste contorno,

00:05:50.620 --> 00:05:57.030
se a gente tiver um valor negativo, isso significaria dizer que existe alguma entrada de partículas.

00:05:57.030 --> 00:06:03.410
E o resultado da integral nos diria a velocidade com a qual as partículas estão entrando nesta região.

00:06:03.410 --> 00:06:08.260
Bem, toda esta expressão não precisa, necessariamente, ter uma representação física.

00:06:08.260 --> 00:06:13.560
Mas, usando essa analogia do gás, isso nos diz o quão rápidas são as partículas,

00:06:13.560 --> 00:06:19.360
o quão rápido as partículas de um gás bidimensional estão saindo do contorno.

00:06:19.360 --> 00:06:23.820
No futuro, vamos fazer isso em três dimensões, onde teremos uma superfície.

00:06:23.820 --> 00:06:29.100
E aí vamos terminar o quão rápido as coisas estão saindo dessa superfície.

00:06:29.100 --> 00:06:34.280
Enfim, agora que já temos uma compreensão conceitual do que isso poderia representar,

00:06:34.280 --> 00:06:39.800
vamos brincar com isso um pouco, principalmente porque já sabemos como definir um vetor normal.

00:06:39.800 --> 00:06:40.980
Então vamos

00:06:40.980 --> 00:06:42.750
reescrever essa integral usando que

00:06:42.750 --> 00:06:45.000
sabemos sobre como construir um vetor

00:06:45.000 --> 00:06:47.760
normal reescrevendo as em integral temos

00:06:47.760 --> 00:06:50.670
aqui a integral sobre essa curva do

00:06:50.670 --> 00:06:53.550
campo vetorial FC escalar o vetor normal

00:06:53.550 --> 00:06:55.710
a gente pode escrever o vetor normal

00:06:55.710 --> 00:06:58.080
dessa forma aqui Vimos que o vetor

00:06:58.080 --> 00:07:02.650
normal É de Y echa em menos de XJ chapéu

00:07:02.650 --> 00:07:04.900
e tudo isso dividido pelo módulo que

00:07:04.900 --> 00:07:07.449
nesse caso é o DS para tornar um vetor

00:07:07.449 --> 00:07:10.389
unitário encontramos aqui o módulo DDS

00:07:10.389 --> 00:07:13.330
calculando a raiz quadrada de de x ao

00:07:13.330 --> 00:07:16.270
quadrado mais de y ao quadrado que a

00:07:16.270 --> 00:07:18.129
mesma coisa que você pequeno comprimento

00:07:18.129 --> 00:07:20.589
aqui do nosso Contorno sendo assim vamos

00:07:20.589 --> 00:07:23.080
dividir isso aqui por DS E aí

00:07:23.080 --> 00:07:26.139
multiplicamos isso por DS u DS é um

00:07:26.139 --> 00:07:28.960
instalar como temos um DS aqui um desse

00:07:28.960 --> 00:07:31.029
aqui eu podemos cancelar um com o outro

00:07:31.029 --> 00:07:34.059
sendo Assim ficamos apenas com o produto

00:07:34.059 --> 00:07:37.240
escalar entre F E essa diferença entre

00:07:37.240 --> 00:07:40.360
de y e chapéu e deixe J chapéu para

00:07:40.360 --> 00:07:42.099
melhor visualizar isso eu vou reescrever

00:07:42.099 --> 00:07:44.680
essa integral então eu coloco aqui a

00:07:44.680 --> 00:07:46.779
integral de linha Lembrando que estamos

00:07:46.779 --> 00:07:49.509
integrando no sentido anti-horário e aí

00:07:49.509 --> 00:07:52.539
essa integral vai ser do vamos calcular

00:07:52.539 --> 00:07:54.189
esse produto escalar que está aqui em

00:07:54.189 --> 00:07:56.740
cima bem esse produto escalar é bem

00:07:56.740 --> 00:07:58.779
simples A gente faz o produto das

00:07:58.779 --> 00:08:01.550
componentes X a mente o produto dos

00:08:01.550 --> 00:08:04.160
módulos das componentes de então teremos

00:08:04.160 --> 00:08:08.479
aqui p de x e y vezes de y mas o produto

00:08:08.479 --> 00:08:10.819
dos módulos das componentes Y ou das

00:08:10.819 --> 00:08:13.520
componentes derrota ou seja teremos aqui

00:08:13.520 --> 00:08:17.449
mais que ele dxy vezes menos de X bem só

00:08:17.449 --> 00:08:19.699
que vai nos dar menos o que de x e y

00:08:19.699 --> 00:08:22.099
vezes deixes portanto essa é uma

00:08:22.099 --> 00:08:24.289
declaração interessante porque já vimos

00:08:24.289 --> 00:08:26.569
algo parecido antes só que sem essa

00:08:26.569 --> 00:08:29.000
diferença eu estou falando do Teorema de

00:08:29.000 --> 00:08:30.710
Green que inclusive eu vou reescrever

00:08:30.710 --> 00:08:33.380
isso aqui agora o teorema de Green disse

00:08:33.380 --> 00:08:35.240
para gente que se estamos calculando a

00:08:35.240 --> 00:08:37.159
integral de linha sobre um Contorno

00:08:37.159 --> 00:08:38.930
inclusive Existem várias maneiras de

00:08:38.930 --> 00:08:40.969
escrever isso mas eu vou colocar aqui da

00:08:40.969 --> 00:08:43.190
forma que já usamos em vários vídeos OK

00:08:43.190 --> 00:08:45.829
então podemos colocar aqui e me vezes

00:08:45.829 --> 00:08:48.740
deixe maizena e vezes da y e essa

00:08:48.740 --> 00:08:52.100
integral é igual a integral dupla sobre

00:08:52.100 --> 00:08:54.140
a região que essa linha está contornando

00:08:54.140 --> 00:08:56.959
da parcial do que está ao lado de de

00:08:56.959 --> 00:08:59.209
Italo que nesse caso é o n então

00:08:59.209 --> 00:09:03.270
colocamos aqui e em relação a x e disso

00:09:03.270 --> 00:09:05.280
nós subtraímos a parcial do que quer que

00:09:05.280 --> 00:09:08.070
esteja ao lado de DX ou seja parcial de

00:09:08.070 --> 00:09:11.130
m em relação à Y aí poderíamos colocar

00:09:11.130 --> 00:09:14.310
isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de

00:09:14.310 --> 00:09:16.260
aqui é o infinitesimalmente pequeno

00:09:16.260 --> 00:09:18.810
pedaço da área então vou escrever de

00:09:18.810 --> 00:09:21.030
aqui enfim isso aqui apenas uma

00:09:21.030 --> 00:09:23.190
reafirmação do Teorema de Green nós já

00:09:23.190 --> 00:09:25.650
sabemos Gilson agora que revemos isso

00:09:25.650 --> 00:09:27.630
como podemos aplicar o teorema de Green

00:09:27.630 --> 00:09:29.790
a isso que vimos aqui em cima bem a

00:09:29.790 --> 00:09:31.890
mesma coisa mesmo tendo uma diferença

00:09:31.890 --> 00:09:33.930
aqui nós podemos aplicar o teorema de

00:09:33.930 --> 00:09:36.360
Green da mesma forma sendo assim isso é

00:09:36.360 --> 00:09:38.580
igual a integral dupla sobre a região

00:09:38.580 --> 00:09:41.160
que se Contorno envolve de bem o que

00:09:41.160 --> 00:09:42.990
queremos fazer é olhar para qualquer

00:09:42.990 --> 00:09:45.690
coisa que está sendo multiplicado aqui

00:09:45.690 --> 00:09:48.600
pelo de y nesse caso Essa é a função que

00:09:48.600 --> 00:09:51.000
está sendo multiplicada pelo de y aí

00:09:51.000 --> 00:09:53.550
calculamos a derivada parcial disso em

00:09:53.550 --> 00:09:55.590
relação a x Então vamos ter aqui a

00:09:55.590 --> 00:09:58.620
derivada parcial de P em relação a x E

00:09:58.620 --> 00:10:01.660
aí isso menos a cada parcial de outubro

00:10:01.660 --> 00:10:03.460
aquilo que está sendo multiplicado pelo

00:10:03.460 --> 00:10:06.070
DX nesse caso vamos fazer a derivada

00:10:06.070 --> 00:10:09.490
parcial disso aqui em relação à Y mas

00:10:09.490 --> 00:10:11.830
temos um negativo certo então colocamos

00:10:11.830 --> 00:10:14.470
aqui o menos a derivada parcial de que

00:10:14.470 --> 00:10:17.800
em relação a y e aí é multiplicamos isso

00:10:17.800 --> 00:10:19.990
aqui com da Observe que temos esses dois

00:10:19.990 --> 00:10:22.390
negativos ou seja estamos subtraindo

00:10:22.390 --> 00:10:24.670
algo que é negativo isso faz com que a

00:10:24.670 --> 00:10:27.130
gente tem uma adição aqui sendo assim

00:10:27.130 --> 00:10:29.590
Isso vai ser igual a integral dupla

00:10:29.590 --> 00:10:32.050
sobre a região da a talvez você já

00:10:32.050 --> 00:10:34.600
consiga saber onde isso tudo que vai dar

00:10:34.600 --> 00:10:36.730
e até que contou com animada Animada não

00:10:36.730 --> 00:10:39.010
era mas continuando aqui vai ser a

00:10:39.010 --> 00:10:41.710
integral dupla da parcial de P em

00:10:41.710 --> 00:10:44.230
relação a x mais a parcial de que em

00:10:44.230 --> 00:10:47.170
relação a Y B A agora olha para isso

00:10:47.170 --> 00:10:49.750
aqui é a função que estava nos dizendo o

00:10:49.750 --> 00:10:52.450
módulo na direção x e que estava nos

00:10:52.450 --> 00:10:54.880
dizendo o módulo na direção Y Estamos

00:10:54.880 --> 00:10:57.070
fazendo a passear o dias em relação AX

00:10:57.070 --> 00:11:00.019
Edilson em relação a y e aí estamos e

00:11:00.019 --> 00:11:02.559
usando uma adição entre os resultados

00:11:02.559 --> 00:11:06.529
isso é exatamente o divergente DF isso

00:11:06.529 --> 00:11:08.809
não faz sentido eu aconselho que você

00:11:08.809 --> 00:11:11.089
assista um vídeo sobre divergência Já

00:11:11.089 --> 00:11:13.850
tem alguns aqui isso aqui é o divergente

00:11:13.850 --> 00:11:16.549
DF é então por definição Esse é o

00:11:16.549 --> 00:11:18.799
divergente do nosso campo vetorial F

00:11:18.799 --> 00:11:21.290
isso é algo muito interessante Afinal

00:11:21.290 --> 00:11:23.749
Saímos da expressão original e começamos

00:11:23.749 --> 00:11:25.999
a estudar lá buscando determinar a

00:11:25.999 --> 00:11:27.649
velocidade com a qual as partículas

00:11:27.649 --> 00:11:30.470
estão saindo da superfície e agora que

00:11:30.470 --> 00:11:31.939
entendemos isso em termos dessa

00:11:31.939 --> 00:11:33.949
expressão vamos interpretar isso de

00:11:33.949 --> 00:11:36.619
forma intuitiva isso aqui é igual a

00:11:36.619 --> 00:11:38.509
integral dupla sobre essa região do

00:11:38.509 --> 00:11:40.399
divergente DF vezes um

00:11:40.399 --> 00:11:42.319
infinitesimalmente pequeno pedaço de

00:11:42.319 --> 00:11:44.540
área nesse caso de ar agora porque isso

00:11:44.540 --> 00:11:47.420
faz sentido de forma intuitiva para você

00:11:47.420 --> 00:11:49.939
perceber porque isso faz sentido basta

00:11:49.939 --> 00:11:51.559
você se lembrar sobre o que é a

00:11:51.559 --> 00:11:54.049
divergência a divergência uma medida que

00:11:54.049 --> 00:11:55.939
no juízo quanto as coisas estão se

00:11:55.939 --> 00:11:58.970
expandindo divergindo ou quanto estão se

00:11:58.970 --> 00:12:00.030
concentrando

00:12:00.030 --> 00:12:03.150
é lindo se você tem aqui um ponto e ao

00:12:03.150 --> 00:12:05.520
redor desse ponto as partículas estão

00:12:05.520 --> 00:12:07.290
meio que se afastando mais nas outras

00:12:07.290 --> 00:12:10.260
teremos um divergente positivo aqui por

00:12:10.260 --> 00:12:12.540
outro lado se as partículas estiverem se

00:12:12.540 --> 00:12:15.060
aproximando umas das outras teremos um

00:12:15.060 --> 00:12:18.060
divergente negativo observando isso tudo

00:12:18.060 --> 00:12:20.220
que a gente fez aqui faz sentido o que

00:12:20.220 --> 00:12:22.350
se você pega uma área infinitesimalmente

00:12:22.350 --> 00:12:25.380
pequena e multiplica isso com divergente

00:12:25.380 --> 00:12:27.720
teremos um número que será somado ao

00:12:27.720 --> 00:12:30.030
longo de toda essa região aí quanto

00:12:30.030 --> 00:12:32.730
maior for o dever gente mas coisas estão

00:12:32.730 --> 00:12:35.490
saindo do limite dessa região Se você

00:12:35.490 --> 00:12:37.950
visse isso com o quão rápido as coisas

00:12:37.950 --> 00:12:40.680
estão saindo da superfície teremos um

00:12:40.680 --> 00:12:43.110
fluxo bidimensional ou seja se a gente

00:12:43.110 --> 00:12:45.630
observar a rapidez das coisas saindo da

00:12:45.630 --> 00:12:48.300
pequena área da superfície e isso vai

00:12:48.300 --> 00:12:50.640
ser a mesma coisa que a soma de todos os

00:12:50.640 --> 00:12:52.500
divergentes sobre essa área que o

00:12:52.500 --> 00:12:54.900
contorno está circundando Eu espero que

00:12:54.900 --> 00:12:56.610
você faça um pouco de sentido para você

00:12:56.610 --> 00:12:58.470
Isso é apenas uma outra maneira de

00:12:58.470 --> 00:13:00.850
pensar sobre o teorema de mim é isso que

00:13:00.850 --> 00:13:02.710
acabamos de ver aqui de forma resumida

00:13:02.710 --> 00:13:04.960
que essa expressão das divergências

00:13:04.960 --> 00:13:07.390
sobre essa região aqui é a mesma coisa

00:13:07.390 --> 00:13:10.150
que é fiz calar n sobre o contorno ou

00:13:10.150 --> 00:13:12.190
seja temos aqui o teorema da divergência

00:13:12.190 --> 00:13:15.250
de forma bidimensional eu espero que

00:13:15.250 --> 00:13:17.200
você tenha compreendido tudo direitinho

00:13:17.200 --> 00:13:19.030
e mais uma vez eu quero deixar para você

00:13:19.030 --> 00:13:23.280
um grande abraço e até a próxima