RKA2 - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você?
você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a
mais um vídeo daqui na casa de me Brasil
e nesse vídeo vamos conversar sobre o
teorema da divergência em duas dimensões
para começar a conversar sobre isso
vamos relembrar que antes aprendemos um
pouco sobre como construir um vetor
normal unitário em qualquer ponto de uma
curva e inclusive foi isso que fizemos
no último vídeo agora eu quero começar a
explorar uma expressão interessante eu
vou escrever aqui a integral de linha em
torno de um caminho fechado e Vamos
definir aqui que a orientação positiva
está no sentido anti-horário nós vamos
nos movimentar nesse sentido aí essa
integral do produto escalar entre uma
função f com vetor normal unitário em
qualquer ponto dessa curva aí colocamos
o DS aqui também a primeira coisa faz
ele é conceituar isso que eu estou
fazendo aqui e tentar compreender o que
isso está me dizendo sendo assim vamos o
lar essa expressão aqui um pouco para
ver se podemos chegar a uma conclusão
interessante para isso eu vou usar o
teorema de Green E aí vamos chegar a uma
versão bidimensional do teorema da
divergência o que parece muito
complicado mas eu espero que a gente
consiga fazer isso que você consiga
compreender Vamos pensar sobre isso aqui
eu vou desenhar um plano de coordenadas
aqui está o nosso eixo Y e aqui está o
nosso eixo X eu vou desenhar a minha
curva também então me a curva pode ser
mais ou menos assim meu Contorno está se
movimentando de forma positiva no
sentido anti-horário desse jeito agora
temos o nosso campo vetorial e apenas
como um lembrete que inclusive já vimos
isso várias vezes o meu campo vetorial
vai associar um vetor com qualquer ponto
no plano XY e ele pode ser definido como
alguma função de x e y Na verdade eu vou
chamar isso aqui DP alguma função de x e
y vezes o vetor unitário e chapéu isso
hein a forma da componente Rio do Campo
vetorial para qualquer Ponto X e Y aí
também precisamos da nossa componente J
então colocamos algum fator de x e y que
vai multiplicar a componente j ou seja
que vai multiplicar a componente
vertical para qualquer Ponto X e Y sendo
assim temos alguma função de x e y vezes
e chapéu mais alguma outra função de
calar vezes J chapéu com isso se você me
der algum ponto Qualquer ponto a um
vetor associado dependendo de como
definir mas essa função mas nessa
expressão Aqui estamos calculando uma
integral de linha sendo assim nos
preocupamos especificamente com os
pontos ao longo dessa curva ao longo
desse Contorno aqui sendo assim vamos
pensar sobre o que isso estamos dizendo
antes de pegar coisas infinitamente
pequenas vamos pegar aqui o f escalar n
e eu vou pensar sobre um ponto nessa
curva um ponto nessa curva que talvez
seja esse ponto bem e como vimos
associado a esse ponto é um vetor e é
isso que o campo vetorial faz f pode ser
parecer com algo assim nesse ponto Esse
é o campo vetorial nesse ponto aí não
podemos esquecer que temos um produto
escalar entre f e o vetor normal
unitário naquele ponto sendo assim
podemos representar aqui também o vetor
normal unitário que pode ter essa forma
é bom relembrar aqui que quando
calculamos o produto escalar a gente
obtém uma quantidade de escalar a gente
isso inicialmente obtêm o número
inclusive você deve se lembrar disso Eu
Já Fiz alguns vídeos sobre isso Onde
realizamos um detalhamento melhor mas de
uma forma resumida eu posso te dizer que
esse produto escalar nos diz quanto
esses dois vetores caminham juntos é
importante é pensar nisso porque se
eleição completamente ortogonais um em
relação ao outro e isso vai ser igual a
zero mas se eles estão na mesma direção
e sentido basta você multiplicar os
módulos deles dois nós temos um vetor
unitário aqui o que vamos fazer é obter
o quanto em módulo do campo vetorial efe
que vai na direção normal então você
pode pensar dessa forma sabendo isso
vamos pensar sobre a componente desse
vetor que está na direção normal
Inclusive eu acho legal escrever isso
aqui isso aqui corresponde ao módulo da
componente DF que está na direção normal
ou na mesma direção que o vetor normal
unitário aí multiplicamos isso com
comprimento infinitamente pequeno do
nosso Contorno da nossa curva em torno
desse ponto Então vamos multiplicar com
isso aqui eu sei que você pode ter
compreendido que eu estou dizendo mas
como isso pode ser fisicamente relativo
ou de que forma podemos pensar no que
essa expressão está realmente medindo
para pensar News eu sempre visualizo
tudo isso aqui em duas dimensões no
futuro também vamos ver isso em três
dimensões mas por enquanto vamos
visualizar o universo bidimensional e
que estamos estudando por e os gases
vamos supor que a gente tem a várias
partículas em Universo bidimensional de
forma que a gente tem apenas as
coordenadas x e y esse campo vetorial
está essencialmente dizendo a você a
velocidade em qualquer ponto nessa
região então isso aqui nesse exemplo
indica a velocidade das partículas de um
gás em um determinado. Ou como estamos
falando do nosso vetor normal isso
indica o quão rápido as partículas desse
gás estão saindo nesse ponto com isso ao
resolver essa integral saberemos o quão
rápido as partículas estarão saindo
desse Contorno isso claro tem um valor
positivo Mas a gente pode encontrar um
valor negativo também como estamos
considerando que o vetor normal unitário
está orientado para fora e o resultado
da integral estamos dizendo o quão
rápido as partículas estão saindo desse
Contorno se a gente tiver um valor
negativo isso significaria dizer que
existe alguma entrada de partículas e o
resultado da integral nos diria vê-lo é
uma qual as partículas estão entrando
nessa região bem toda essa expressão não
precisa necessariamente ter uma
representação física mas usando essa
analogia do gás isso nos diz o quão
rápido eles são as partículas o quão
rápido as as partículas de um gás
bidimensional estão saindo do Contorno
no futuro vamos fazer isso em três
dimensões Onde teremos uma superfície e
aí vamos terminar o cão rápidas as
coisas estão saindo dessa superfície
enfim agora que já temos uma compreensão
conceitual do que isso poderia
representar vamos brincar com isso um
pouco principalmente porque já sabemos
como definir um vetor normal Então vamos
reescrever essa integral usando que
sabemos sobre como construir um vetor
normal reescrevendo as em integral temos
aqui a integral sobre essa curva do
campo vetorial FC escalar o vetor normal
a gente pode escrever o vetor normal
dessa forma aqui Vimos que o vetor
normal É de Y echa em menos de XJ chapéu
e tudo isso dividido pelo módulo que
nesse caso é o DS para tornar um vetor
unitário encontramos aqui o módulo DDS
calculando a raiz quadrada de de x ao
quadrado mais de y ao quadrado que a
mesma coisa que você pequeno comprimento
aqui do nosso Contorno sendo assim vamos
dividir isso aqui por DS E aí
multiplicamos isso por DS u DS é um
instalar como temos um DS aqui um desse
aqui eu podemos cancelar um com o outro
sendo Assim ficamos apenas com o produto
escalar entre F E essa diferença entre
de y e chapéu e deixe J chapéu para
melhor visualizar isso eu vou reescrever
essa integral então eu coloco aqui a
integral de linha Lembrando que estamos
integrando no sentido anti-horário e aí
essa integral vai ser do vamos calcular
esse produto escalar que está aqui em
cima bem esse produto escalar é bem
simples A gente faz o produto das
componentes X a mente o produto dos
módulos das componentes de então teremos
aqui p de x e y vezes de y mas o produto
dos módulos das componentes Y ou das
componentes derrota ou seja teremos aqui
mais que ele dxy vezes menos de X bem só
que vai nos dar menos o que de x e y
vezes deixes portanto essa é uma
declaração interessante porque já vimos
algo parecido antes só que sem essa
diferença eu estou falando do Teorema de
Green que inclusive eu vou reescrever
isso aqui agora o teorema de Green disse
para gente que se estamos calculando a
integral de linha sobre um Contorno
inclusive Existem várias maneiras de
escrever isso mas eu vou colocar aqui da
forma que já usamos em vários vídeos OK
então podemos colocar aqui e me vezes
deixe maizena e vezes da y e essa
integral é igual a integral dupla sobre
a região que essa linha está contornando
da parcial do que está ao lado de de
Italo que nesse caso é o n então
colocamos aqui e em relação a x e disso
nós subtraímos a parcial do que quer que
esteja ao lado de DX ou seja parcial de
m em relação à Y aí poderíamos colocar
isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de
aqui é o infinitesimalmente pequeno
pedaço da área então vou escrever de
aqui enfim isso aqui apenas uma
reafirmação do Teorema de Green nós já
sabemos Gilson agora que revemos isso
como podemos aplicar o teorema de Green
a isso que vimos aqui em cima bem a
mesma coisa mesmo tendo uma diferença
aqui nós podemos aplicar o teorema de
Green da mesma forma sendo assim isso é
igual a integral dupla sobre a região
que se Contorno envolve de bem o que
queremos fazer é olhar para qualquer
coisa que está sendo multiplicado aqui
pelo de y nesse caso Essa é a função que
está sendo multiplicada pelo de y aí
calculamos a derivada parcial disso em
relação a x Então vamos ter aqui a
derivada parcial de P em relação a x E
aí isso menos a cada parcial de outubro
aquilo que está sendo multiplicado pelo
DX nesse caso vamos fazer a derivada
parcial disso aqui em relação à Y mas
temos um negativo certo então colocamos
aqui o menos a derivada parcial de que
em relação a y e aí é multiplicamos isso
aqui com da Observe que temos esses dois
negativos ou seja estamos subtraindo
algo que é negativo isso faz com que a
gente tem uma adição aqui sendo assim
Isso vai ser igual a integral dupla
sobre a região da a talvez você já
consiga saber onde isso tudo que vai dar
e até que contou com animada Animada não
era mas continuando aqui vai ser a
integral dupla da parcial de P em
relação a x mais a parcial de que em
relação a Y B A agora olha para isso
aqui é a função que estava nos dizendo o
módulo na direção x e que estava nos
dizendo o módulo na direção Y Estamos
fazendo a passear o dias em relação AX
Edilson em relação a y e aí estamos e
usando uma adição entre os resultados
isso é exatamente o divergente DF isso
não faz sentido eu aconselho que você
assista um vídeo sobre divergência Já
tem alguns aqui isso aqui é o divergente
DF é então por definição Esse é o
divergente do nosso campo vetorial F
isso é algo muito interessante Afinal
Saímos da expressão original e começamos
a estudar lá buscando determinar a
velocidade com a qual as partículas
estão saindo da superfície e agora que
entendemos isso em termos dessa
expressão vamos interpretar isso de
forma intuitiva isso aqui é igual a
integral dupla sobre essa região do
divergente DF vezes um
infinitesimalmente pequeno pedaço de
área nesse caso de ar agora porque isso
faz sentido de forma intuitiva para você
perceber porque isso faz sentido basta
você se lembrar sobre o que é a
divergência a divergência uma medida que
no juízo quanto as coisas estão se
expandindo divergindo ou quanto estão se
concentrando
é lindo se você tem aqui um ponto e ao
redor desse ponto as partículas estão
meio que se afastando mais nas outras
teremos um divergente positivo aqui por
outro lado se as partículas estiverem se
aproximando umas das outras teremos um
divergente negativo observando isso tudo
que a gente fez aqui faz sentido o que
se você pega uma área infinitesimalmente
pequena e multiplica isso com divergente
teremos um número que será somado ao
longo de toda essa região aí quanto
maior for o dever gente mas coisas estão
saindo do limite dessa região Se você
visse isso com o quão rápido as coisas
estão saindo da superfície teremos um
fluxo bidimensional ou seja se a gente
observar a rapidez das coisas saindo da
pequena área da superfície e isso vai
ser a mesma coisa que a soma de todos os
divergentes sobre essa área que o
contorno está circundando Eu espero que
você faça um pouco de sentido para você
Isso é apenas uma outra maneira de
pensar sobre o teorema de mim é isso que
acabamos de ver aqui de forma resumida
que essa expressão das divergências
sobre essa região aqui é a mesma coisa
que é fiz calar n sobre o contorno ou
seja temos aqui o teorema da divergência
de forma bidimensional eu espero que
você tenha compreendido tudo direitinho
e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima