0:00:00.526,0:00:01.573
大家好。

0:00:01.573,0:00:03.683
我这里想做的是描述一下

0:00:03.683,0:00:06.220
如何考虑三维图像。

0:00:06.220,0:00:08.858
三维图像是我们表达

0:00:08.858,0:00:10.255
某种多元函数的一种方式，

0:00:10.255,0:00:12.156
那种函数有两个输入，

0:00:12.156,0:00:14.539
或者一个二维输入，

0:00:14.539,0:00:17.003
然后某种一维的输出。

0:00:17.003,0:00:19.302
那么我这里画的是

0:00:19.302,0:00:23.733
f(x,y)等于x的平方加上y平方。

0:00:23.733,0:00:26.618
在我们讨论这个图像前，

0:00:26.618,0:00:28.463
我认为用比喻会有用，

0:00:28.463,0:00:30.380
我们看一看二维图像以及

0:00:30.380,0:00:32.580
稍微提醒一下我们自己那些是怎么运作的，

0:00:32.580,0:00:36.562
我们做的是什么，因为，它和

0:00:36.562,0:00:38.876
三维的是一样的，

0:00:38.876,0:00:41.148
但是它需要稍微多一点视觉化。

0:00:41.148,0:00:43.365
那么二维图像，

0:00:43.365,0:00:45.559
你知道它们有某种函数，

0:00:45.559,0:00:49.726
让我们看一看你有f(x)等于x的平方，

0:00:51.086,0:00:54.000
你视觉化一个函数的任何时候，你尝试

0:00:54.000,0:00:55.554
理解输入和输出

0:00:55.554,0:00:57.154
之间的关系。

0:00:57.154,0:00:59.032
这里那两个都只是数字，

0:00:59.032,0:01:00.873
那么你知道你输入一个数字，比如说2，

0:01:00.873,0:01:03.646
而它会输出4，

0:01:03.646,0:01:07.351
你知道你输入-1而它会输出1。

0:01:07.351,0:01:09.638
你现在试着理解所有可能的

0:01:09.638,0:01:11.506
输入-输入对。

0:01:11.506,0:01:13.089
事实是我们可以做这个，

0:01:13.089,0:01:17.571
我们可以对所有可能的

0:01:17.571,0:01:21.376
输入输出对有很好的直观感受，

0:01:21.376,0:01:24.476
我们用图像做到这一步的方法是

0:01:24.476,0:01:26.492
你想成我们就画出这些实际的对，是吧？

0:01:26.492,0:01:30.189
所以你要画这个点，比方说我们要

0:01:30.189,0:01:34.306
画点(2,4)，那么我们可能标记一下我们的图像，

0:01:34.306,0:01:36.973
这里是2，1，2，3，4，

0:01:39.221,0:01:43.261
那么你要在某个位置标记(2,4)，

0:01:43.261,0:01:45.862
而它代表一对输入-输出。

0:01:45.862,0:01:48.300
而如果你用-1，1做，

0:01:48.300,0:01:50.383
-1，1。

0:01:51.586,0:01:55.302
当你对每对输入-输出这样做的话，

0:01:55.302,0:01:59.159
最后你得到的，我可能画的不是很好，

0:01:59.159,0:02:01.491
是某种光滑的曲线。

0:02:01.491,0:02:04.232
这样做的暗示是我们很典型地想象

0:02:04.232,0:02:07.406
x轴上的东西是输入的位置，

0:02:07.406,0:02:09.813
你知道的，它会是，我们想成输入1，

0:02:09.813,0:02:13.018
这个是输入2，这样继续下去，

0:02:13.018,0:02:17.185
然后你把输出想成

0:02:18.828,0:02:21.554
这个图像在每个点上的高。

0:02:21.554,0:02:23.272
但是这是某种我们

0:02:23.272,0:02:26.078
在这里列出所有对的结果。

0:02:26.078,0:02:29.149
现在如果我们走向多变量函数的世界，

0:02:29.149,0:02:31.905
现在我不会给你们看图像，

0:02:31.905,0:02:34.122
让我们就想一想我们有一个三维空间

0:02:34.122,0:02:37.106
可以做我们想做的事。

0:02:37.106,0:02:39.010
我们仍旧想理解

0:02:39.010,0:02:42.653
输入和输出之间的关系，但是这个情况下，

0:02:42.653,0:02:46.820
输入是某些我们认为是配对点的东西，

0:02:47.914,0:02:51.391
我们可能有一对点像(1，2)，

0:02:51.391,0:02:53.654
输出是

0:02:53.654,0:02:57.821
1的平方加上2的平方，而它等于5。

0:03:02.573,0:03:05.328
那么我们怎么视觉化？

0:03:05.328,0:03:08.053
那么如果我们想要把这些配对在一起，

0:03:08.053,0:03:10.813
一个自然的方法是想成三胞胎。

0:03:10.813,0:03:14.980


0:03:17.268,0:03:19.932


0:03:19.932,0:03:23.157


0:03:23.157,0:03:25.938


0:03:25.938,0:03:28.276


0:03:28.276,0:03:31.700


0:03:31.700,0:03:34.610


0:03:34.610,0:03:37.442


0:03:37.442,0:03:40.120


0:03:40.120,0:03:41.489


0:03:41.489,0:03:44.043


0:03:44.043,0:03:45.807


0:03:45.807,0:03:48.571


0:03:48.571,0:03:51.183


0:03:51.183,0:03:54.014


0:03:54.014,0:03:56.244


0:03:56.244,0:03:58.926


0:03:58.926,0:04:02.042


0:04:02.042,0:04:04.567


0:04:04.567,0:04:07.289


0:04:07.289,0:04:11.892


0:04:11.892,0:04:14.952


0:04:14.952,0:04:17.215


0:04:17.215,0:04:19.038


0:04:19.038,0:04:21.331


0:04:21.331,0:04:25.498


0:04:27.177,0:04:29.301


0:04:29.301,0:04:31.658


0:04:31.658,0:04:33.818


0:04:33.818,0:04:37.463


0:04:37.463,0:04:39.564


0:04:39.564,0:04:42.084


0:04:42.084,0:04:44.417


0:04:44.417,0:04:45.936


0:04:45.936,0:04:49.283


0:04:49.283,0:04:52.522


0:04:52.522,0:04:56.690


0:04:56.690,0:05:00.857


0:05:02.178,0:05:06.452


0:05:06.452,0:05:09.227


0:05:09.227,0:05:13.394


0:05:14.286,0:05:15.919


0:05:15.919,0:05:19.645


0:05:19.645,0:05:21.392


0:05:21.392,0:05:23.420


0:05:23.420,0:05:27.181


0:05:27.181,0:05:29.386


0:05:29.386,0:05:31.531


0:05:31.531,0:05:33.442


0:05:33.442,0:05:35.823


0:05:35.823,0:05:38.725


0:05:38.725,0:05:42.558


0:05:43.440,0:05:45.017


0:05:45.017,0:05:49.259


0:05:49.259,0:05:51.443


0:05:51.443,0:05:54.909


0:05:54.909,0:05:57.287


0:05:57.287,0:05:59.563


0:05:59.563,0:06:01.520


0:06:01.520,0:06:03.687


0:06:03.687,0:06:06.726


0:06:06.726,0:06:09.781


0:06:09.781,0:06:12.734


0:06:12.734,0:06:15.376


0:06:15.376,0:06:17.515


0:06:17.515,0:06:19.926


0:06:19.926,0:06:23.281


0:06:23.281,0:06:25.104


0:06:25.104,0:06:27.044


0:06:27.044,0:06:29.156


0:06:29.156,0:06:31.420


0:06:31.420,0:06:33.899


0:06:33.899,0:06:35.586


0:06:35.586,0:06:37.883


0:06:37.883,0:06:39.752


0:06:39.752,0:06:42.940


0:06:42.940,0:06:44.613


0:06:44.613,0:06:46.709


0:06:46.709,0:06:50.093


0:06:50.093,0:06:52.194


0:06:52.194,0:06:54.216


0:06:54.216,0:06:55.616


0:06:55.616,0:06:59.210


0:06:59.210,0:07:00.770


0:07:00.770,0:07:03.301


0:07:03.301,0:07:05.409