WEBVTT

00:00:00.526 --> 00:00:01.573
Привет!

00:00:01.573 --> 00:00:03.683
В този видео урок бих искал да опиша

00:00:03.683 --> 00:00:06.220
каква представляват тримерните графики.

00:00:06.220 --> 00:00:08.858
Тримерните графики са начин
да представим

00:00:08.858 --> 00:00:10.255
определен вид функции на много променливи,

00:00:10.255 --> 00:00:12.156
в които аргументите са два,

00:00:12.156 --> 00:00:14.539
или имаме двумерен аргумент,

00:00:14.539 --> 00:00:17.003
и след това получаваме някакъв едномерна
стойност на функцията.

00:00:17.003 --> 00:00:19.302
Функцията, която виждаме тук,

00:00:19.302 --> 00:00:23.733
е f(x,y) равно на х на квадрат
плюс у на квадрат.

00:00:23.733 --> 00:00:26.618
Преди да разгледаме самата графика,

00:00:26.618 --> 00:00:28.463
мисля, че ще ни бъде полезно
за сравнение

00:00:28.463 --> 00:00:30.380
да разгледаме двумерни графики,

00:00:30.380 --> 00:00:32.580
и да си припомним 
как стоят нещата при тях,

00:00:32.580 --> 00:00:36.562
какво точно изобразяваме,
което е почти същото

00:00:36.562 --> 00:00:38.876
и когато имаме три измерения,

00:00:38.876 --> 00:00:41.148
но е нужно малко повече
усилие за визуализацията.

00:00:41.148 --> 00:00:43.365
При графиките в две измерения

00:00:43.365 --> 00:00:45.559
разглеждаме някаква функция –

00:00:45.559 --> 00:00:51.086
например може да е f от х
равно на х на квадрат,

00:00:51.086 --> 00:00:54.000
и винаги, когато построяваме
графиката на функция, опитваме

00:00:54.000 --> 00:00:57.154
да покажем зависимостта между
аргументите и стойностите на функцията.

00:00:57.154 --> 00:00:59.032
Тук и двете са просто числа,

00:00:59.032 --> 00:01:00.873
ако аргументът е 2, например,

00:01:00.873 --> 00:01:03.646
тогава стойността на
функцията е 4.

00:01:03.646 --> 00:01:07.351
Ако аргументът е минус 1,
стойността на функцията е 1.

00:01:07.351 --> 00:01:09.638
Опитваме се да видим
всички възможни двойки

00:01:09.638 --> 00:01:11.506
аргумент - стойност на функцията.

00:01:11.506 --> 00:01:13.089
Фактът, че можем да направим
такава връзка,

00:01:13.089 --> 00:01:17.571
че е толкова логично
да можем да определим

00:01:17.571 --> 00:01:21.376
всяка възможна двойка аргумент-
стойност на функцията, е невероятен.

00:01:21.376 --> 00:01:24.476
Начинът, по който построяваме
графиката на функцията, е

00:01:24.476 --> 00:01:26.492
просто да нанесем тези
действителни двойки, нали?

00:01:26.492 --> 00:01:30.189
Нанасяме точката, например,

00:01:30.189 --> 00:01:34.306
нека да нанесем точката (2;4),
един вид да я поставим на графиката,

00:01:34.306 --> 00:01:39.221
две е тук – едно, две, три, четири.

00:01:39.221 --> 00:01:43.261
Ще нанесем някъде тук
точката (2;4), която

00:01:43.261 --> 00:01:45.862
представлява една наредена двойка
аргумент-стойност на функцията.

00:01:45.862 --> 00:01:48.300
Ако вземем например
точката (-1; 1),

00:01:48.300 --> 00:01:50.383
ето тук е минус 1, тук е 1.

00:01:51.586 --> 00:01:55.302
Когато направим това за всяка възможна 
двойка аргумент-стойност на функцията

00:01:55.302 --> 00:01:59.159
накрая ще получим –
може би не го чертая идеално,

00:01:59.159 --> 00:02:01.491
но ще получим една
гладка крива.

00:02:01.491 --> 00:02:04.232
Когато построяваме графиката 
на функцията, обикновено

00:02:04.232 --> 00:02:07.406
поставяме на оста х
аргументите,

00:02:07.406 --> 00:02:09.813
за тази точка ето тук
аргументът е едно,

00:02:09.813 --> 00:02:13.018
а тук аргументът е 2, и така нататък,

00:02:13.018 --> 00:02:18.175
а после разглеждаме стойността
на функцията като височината

00:02:18.548 --> 00:02:21.554
на графиката за всяка точка.

00:02:21.554 --> 00:02:23.272
Но това е един вид следствие от факта,

00:02:23.272 --> 00:02:26.078
че тук ние просто изреждаме
всички такива наредени двойки.

00:02:26.078 --> 00:02:29.149
Ако сега се пренесем в света на
функциите на много променливи –

00:02:29.149 --> 00:02:31.905
няма веднага да ти покажа графиката –

00:02:31.905 --> 00:02:34.122
просто да си представим, че
имаме тримерно пространство,

00:02:34.122 --> 00:02:37.106
с което можем да правим всичко,
което си поискаме.

00:02:37.106 --> 00:02:39.010
Все още искаме да разберем 
връзката между

00:02:39.010 --> 00:02:42.653
аргументите и стойностите на
функцията, но в този случай

00:02:42.653 --> 00:02:47.914
можем да си представим аргументите
като наредени двойки или точки,

00:02:47.914 --> 00:02:51.391
например наредена двойка
е точката (1;2),

00:02:51.391 --> 00:02:53.654
а стойността на функцията ще бъде

00:02:53.654 --> 00:03:01.751
1 на квадрат плюс 2 на квадрат,
което е равно на 5.

00:03:02.573 --> 00:03:05.328
Как да изобразим това на графиката?

00:03:05.328 --> 00:03:08.053
Ако искаме да свържем тези
стойности, съвсем логично е

00:03:08.053 --> 00:03:10.813
да си представим някакъв
вид наредена тройка.

00:03:10.813 --> 00:03:16.560
В този случай това ще бъде
наредената тройка (1;2;5),

00:03:17.088 --> 00:03:19.932
и за да я нанесем на графиката,
когато имаме три измерения,

00:03:19.932 --> 00:03:23.157
да погледнем ето тук –
имаме едно спрямо оста х,

00:03:23.157 --> 00:03:25.938
тази ос ето тук е оста х,

00:03:25.938 --> 00:03:28.276
така че се преместваме
с една единица спрямо нея,

00:03:28.276 --> 00:03:31.700
след това се преместваме
2 спрямо оста у,

00:03:31.700 --> 00:03:34.610
един вид изминаваме
разстояние две ето тук,

00:03:34.610 --> 00:03:37.442
и после отиваме 5 единици нагоре,

00:03:37.442 --> 00:03:40.120
което ни дава някаква точка, нали?

00:03:40.120 --> 00:03:41.489
Това е една точка в пространството,

00:03:41.489 --> 00:03:44.043
това е една дадена наредена тройка.

00:03:44.043 --> 00:03:45.807
Можем да направим същото 
за много други точки,

00:03:45.807 --> 00:03:48.571
за няколко различни точки,
които ще получим,

00:03:48.571 --> 00:03:51.183
ако започнем да чертаем
различни точки,

00:03:51.183 --> 00:03:54.014
тогава ще изглежда по ето този начин,
като, разбира се, съществуват

00:03:54.014 --> 00:03:56.244
безкрайно много точки, които
можеш да нанесеш, и ще отнеме цяла вечност,

00:03:56.244 --> 00:03:58.926
ако се опиташ да начертаеш 
всяка от тях в три измерения.

00:03:58.926 --> 00:04:02.042
Това, което е наистина хубаво
в този случай, е...

00:04:02.042 --> 00:04:04.567
ще премахна тези линии –
ако си представиш,

00:04:04.567 --> 00:04:07.289
че нанасяш безкрайно много
наредени тройки,

00:04:07.289 --> 00:04:11.892
които може да съществуват,
тогава ще получиш една повърхност.

00:04:11.892 --> 00:04:14.952
В този случай тази повърхност
ще изглежда като

00:04:14.952 --> 00:04:17.215
тримерна парабола,
което не е съвпадение,

00:04:17.215 --> 00:04:19.038
защото това е резултат
от факта, че използваме функцията

00:04:19.038 --> 00:04:21.331
х на квадрат плюс у на квадрат.

00:04:21.331 --> 00:04:26.648
За аргументите като (1; 2)
можем да си представим, че

00:04:26.648 --> 00:04:29.301
лежат в равнината ху, нали?

00:04:29.301 --> 00:04:31.658
Можем да си представим, че
адресът на аргументите е тук,

00:04:31.658 --> 00:04:33.818
а това, което съответства на
тази стойност на функцията, е

00:04:33.818 --> 00:04:37.463
височината на дадена точка
над графиката в тази равнина, нали?

00:04:37.463 --> 00:04:39.564
Така че това е много подобно
на това, което се случва при две измерения,

00:04:39.564 --> 00:04:42.084
където разглеждаме аргументите
спрямо едната ос,

00:04:42.084 --> 00:04:44.417
а височината над нея ни дава
стойността на функцията.

00:04:44.417 --> 00:04:45.936
И ще ти дам един пример

00:04:45.936 --> 00:04:49.283
какви са последствията от това,
като искам да помислиш

00:04:49.283 --> 00:04:52.522
какво може да се случи, ако променим 
нашата функция на много променливи,

00:04:52.522 --> 00:04:56.690
например, ако умножим 
навсякъде по една втора?

00:04:56.690 --> 00:05:02.178
Ще чертая в червено,
да видим – имаме една функция,

00:05:02.178 --> 00:05:05.582
ще променя първоначалната
функция, така че тя да стане

00:05:05.582 --> 00:05:09.227
една втора по (х на квадрат
плюс у на квадрат).

00:05:09.227 --> 00:05:13.634
Как ще изглежда графиката
на тази нова функция?

00:05:13.634 --> 00:05:15.919
В този случай
височината на всяка точка

00:05:15.919 --> 00:05:19.645
над равнината ху сега
ще бъде наполовина.

00:05:19.645 --> 00:05:21.392
Така че това просто е
една модификация

00:05:21.392 --> 00:05:23.420
на първоначалната ни графика,
където всичко един вид

00:05:23.420 --> 00:05:27.181
се премества надолу на половината 
от първоначалната височина.

00:05:27.181 --> 00:05:29.386
В този случай ето тук,
вместо височината да е пет,

00:05:29.386 --> 00:05:31.531
тя ще бъде 2,5.

00:05:31.531 --> 00:05:33.442
Вероятно се досещаш, че
вместо тук да имаме 1/2,

00:05:33.442 --> 00:05:35.823
може да е нещо много по-екстремно,
вместо една втора

00:05:35.823 --> 00:05:38.725
може да е една дванайста,

00:05:38.725 --> 00:05:43.440
ще използвам същия цвят –
това ще е 1/12,

00:05:43.440 --> 00:05:45.017
което означава, че всички точки –
досещаш се –

00:05:45.017 --> 00:05:49.259
всичко това става много по-плоско 
и се приближава до равнината ху.

00:05:49.259 --> 00:05:51.443
Значи графиката ще бъде
много близко до равнината ху,

00:05:51.443 --> 00:05:54.909
тъй като на тези аргументи съответстват 
много малки изходни стойности.

00:05:54.909 --> 00:05:57.287
Искам да те предупредя за нещо –

00:05:57.287 --> 00:05:59.563
много е изкушаващо човек
да си представи

00:05:59.563 --> 00:06:01.520
всяка функция на много променливи
като графика,

00:06:01.520 --> 00:06:03.687
защото сме свикнали с графиките
в две измерения,

00:06:03.687 --> 00:06:06.726
свикнали сме да търсим
аналогии между

00:06:06.726 --> 00:06:09.781
две измерения и три измерения,

00:06:09.781 --> 00:06:12.734
но единствената причина, 
поради която това работи, е защото

00:06:12.734 --> 00:06:15.376
ако вземеш броя измерения
в аргумента,

00:06:15.376 --> 00:06:17.515
две измерения, а после
вземеш броя измерения

00:06:17.515 --> 00:06:19.926
в стойността на функцията, едно
измерение, изглежда логично

00:06:19.926 --> 00:06:23.281
да ги напаснеш към три измерения,
което можем да направим.

00:06:23.281 --> 00:06:25.104
Но си представи, че
имаш функция на много променливи,

00:06:25.104 --> 00:06:27.044
в която да имаме, например,
тримерен аргумент

00:06:27.044 --> 00:06:29.156
и двумерна стойност на изхода
на функцията – тогава

00:06:29.156 --> 00:06:31.420
графиката следва да е в пет измерения,
но ние не сме в състояние

00:06:31.420 --> 00:06:33.899
да визуализираме пет
измерения.

00:06:33.899 --> 00:06:35.586
Съществуват много други методи,

00:06:35.586 --> 00:06:37.883
като бих казал, че е
важно да бъдеш отворен към това

00:06:37.883 --> 00:06:39.752
какви може да са тези неща.

00:06:39.752 --> 00:06:42.940
По-точно, друг метод, който
много скоро ще разгледаме –

00:06:42.940 --> 00:06:44.613
да си представим, че имаме
тримерна графика, но

00:06:44.613 --> 00:06:46.709
тя е в двумерна координатна
система, и ние просто

00:06:46.709 --> 00:06:50.093
ще разгледаме пространството
на аргументите, което се нарича контурна карта.

00:06:50.093 --> 00:06:52.194
При някои други, например
при параметричните функции,

00:06:52.194 --> 00:06:54.216
просто разглеждаме пространството
на стойностите на функцията;

00:06:54.216 --> 00:06:55.616
например векторно пространство,

00:06:55.616 --> 00:06:59.210
един вид разглеждаме пространството на аргументите, 
но получаваме всички стойности на функцията.

00:06:59.210 --> 00:07:03.150
Има много различни начини, които 
ще разгледаме в следващите няколко урока.

00:07:03.150 --> 00:07:05.409
А днес се запознахме с
тримерните графики.