1
00:00:00,526 --> 00:00:01,573
Привет!

2
00:00:01,573 --> 00:00:03,683
В този видео урок бих искал да опиша

3
00:00:03,683 --> 00:00:06,220
каква представляват тримерните графики.

4
00:00:06,220 --> 00:00:08,858
Тримерните графики са начин
да представим

5
00:00:08,858 --> 00:00:10,255
определен вид функции на много променливи,

6
00:00:10,255 --> 00:00:12,156
в които аргументите са два,

7
00:00:12,156 --> 00:00:14,539
или имаме двумерен аргумент,

8
00:00:14,539 --> 00:00:17,003
и след това получаваме някакъв едномерна
стойност на функцията.

9
00:00:17,003 --> 00:00:19,302
Функцията, която виждаме тук,

10
00:00:19,302 --> 00:00:23,733
е f(x,y) равно на х на квадрат
плюс у на квадрат.

11
00:00:23,733 --> 00:00:26,618
Преди да разгледаме самата графика,

12
00:00:26,618 --> 00:00:28,463
мисля, че ще ни бъде полезно
за сравнение

13
00:00:28,463 --> 00:00:30,380
да разгледаме двумерни графики,

14
00:00:30,380 --> 00:00:32,580
и да си припомним 
как стоят нещата при тях,

15
00:00:32,580 --> 00:00:36,562
какво точно изобразяваме,
което е почти същото

16
00:00:36,562 --> 00:00:38,876
и когато имаме три измерения,

17
00:00:38,876 --> 00:00:41,148
но е нужно малко повече
усилие за визуализацията.

18
00:00:41,148 --> 00:00:43,365
При графиките в две измерения

19
00:00:43,365 --> 00:00:45,559
разглеждаме някаква функция –

20
00:00:45,559 --> 00:00:51,086
например може да е f от х
равно на х на квадрат,

21
00:00:51,086 --> 00:00:54,000
и винаги, когато построяваме
графиката на функция, опитваме

22
00:00:54,000 --> 00:00:57,154
да покажем зависимостта между
аргументите и стойностите на функцията.

23
00:00:57,154 --> 00:00:59,032
Тук и двете са просто числа,

24
00:00:59,032 --> 00:01:00,873
ако аргументът е 2, например,

25
00:01:00,873 --> 00:01:03,646
тогава стойността на
функцията е 4.

26
00:01:03,646 --> 00:01:07,351
Ако аргументът е минус 1,
стойността на функцията е 1.

27
00:01:07,351 --> 00:01:09,638
Опитваме се да видим
всички възможни двойки

28
00:01:09,638 --> 00:01:11,506
аргумент - стойност на функцията.

29
00:01:11,506 --> 00:01:13,089
Фактът, че можем да направим
такава връзка,

30
00:01:13,089 --> 00:01:17,571
че е толкова логично
да можем да определим

31
00:01:17,571 --> 00:01:21,376
всяка възможна двойка аргумент-
стойност на функцията, е невероятен.

32
00:01:21,376 --> 00:01:24,476
Начинът, по който построяваме
графиката на функцията, е

33
00:01:24,476 --> 00:01:26,492
просто да нанесем тези
действителни двойки, нали?

34
00:01:26,492 --> 00:01:30,189
Нанасяме точката, например,

35
00:01:30,189 --> 00:01:34,306
нека да нанесем точката (2;4),
един вид да я поставим на графиката,

36
00:01:34,306 --> 00:01:39,221
две е тук – едно, две, три, четири.

37
00:01:39,221 --> 00:01:43,261
Ще нанесем някъде тук
точката (2;4), която

38
00:01:43,261 --> 00:01:45,862
представлява една наредена двойка
аргумент-стойност на функцията.

39
00:01:45,862 --> 00:01:48,300
Ако вземем например
точката (-1; 1),

40
00:01:48,300 --> 00:01:50,383
ето тук е минус 1, тук е 1.

41
00:01:51,586 --> 00:01:55,302
Когато направим това за всяка възможна 
двойка аргумент-стойност на функцията

42
00:01:55,302 --> 00:01:59,159
накрая ще получим –
може би не го чертая идеално,

43
00:01:59,159 --> 00:02:01,491
но ще получим една
гладка крива.

44
00:02:01,491 --> 00:02:04,232
Когато построяваме графиката 
на функцията, обикновено

45
00:02:04,232 --> 00:02:07,406
поставяме на оста х
аргументите,

46
00:02:07,406 --> 00:02:09,813
за тази точка ето тук
аргументът е едно,

47
00:02:09,813 --> 00:02:13,018
а тук аргументът е 2, и така нататък,

48
00:02:13,018 --> 00:02:18,175
а после разглеждаме стойността
на функцията като височината

49
00:02:18,548 --> 00:02:21,554
на графиката за всяка точка.

50
00:02:21,554 --> 00:02:23,272
Но това е един вид следствие от факта,

51
00:02:23,272 --> 00:02:26,078
че тук ние просто изреждаме
всички такива наредени двойки.

52
00:02:26,078 --> 00:02:29,149
Ако сега се пренесем в света на
функциите на много променливи –

53
00:02:29,149 --> 00:02:31,905
няма веднага да ти покажа графиката –

54
00:02:31,905 --> 00:02:34,122
просто да си представим, че
имаме тримерно пространство,

55
00:02:34,122 --> 00:02:37,106
с което можем да правим всичко,
което си поискаме.

56
00:02:37,106 --> 00:02:39,010
Все още искаме да разберем 
връзката между

57
00:02:39,010 --> 00:02:42,653
аргументите и стойностите на
функцията, но в този случай

58
00:02:42,653 --> 00:02:47,914
можем да си представим аргументите
като наредени двойки или точки,

59
00:02:47,914 --> 00:02:51,391
например наредена двойка
е точката (1;2),

60
00:02:51,391 --> 00:02:53,654
а стойността на функцията ще бъде

61
00:02:53,654 --> 00:03:01,751
1 на квадрат плюс 2 на квадрат,
което е равно на 5.

62
00:03:02,573 --> 00:03:05,328
Как да изобразим това на графиката?

63
00:03:05,328 --> 00:03:08,053
Ако искаме да свържем тези
стойности, съвсем логично е

64
00:03:08,053 --> 00:03:10,813
да си представим някакъв
вид наредена тройка.

65
00:03:10,813 --> 00:03:16,560
В този случай това ще бъде
наредената тройка (1;2;5),

66
00:03:17,088 --> 00:03:19,932
и за да я нанесем на графиката,
когато имаме три измерения,

67
00:03:19,932 --> 00:03:23,157
да погледнем ето тук –
имаме едно спрямо оста х,

68
00:03:23,157 --> 00:03:25,938
тази ос ето тук е оста х,

69
00:03:25,938 --> 00:03:28,276
така че се преместваме
с една единица спрямо нея,

70
00:03:28,276 --> 00:03:31,700
след това се преместваме
2 спрямо оста у,

71
00:03:31,700 --> 00:03:34,610
един вид изминаваме
разстояние две ето тук,

72
00:03:34,610 --> 00:03:37,442
и после отиваме 5 единици нагоре,

73
00:03:37,442 --> 00:03:40,120
което ни дава някаква точка, нали?

74
00:03:40,120 --> 00:03:41,489
Това е една точка в пространството,

75
00:03:41,489 --> 00:03:44,043
това е една дадена наредена тройка.

76
00:03:44,043 --> 00:03:45,807
Можем да направим същото 
за много други точки,

77
00:03:45,807 --> 00:03:48,571
за няколко различни точки,
които ще получим,

78
00:03:48,571 --> 00:03:51,183
ако започнем да чертаем
различни точки,

79
00:03:51,183 --> 00:03:54,014
тогава ще изглежда по ето този начин,
като, разбира се, съществуват

80
00:03:54,014 --> 00:03:56,244
безкрайно много точки, които
можеш да нанесеш, и ще отнеме цяла вечност,

81
00:03:56,244 --> 00:03:58,926
ако се опиташ да начертаеш 
всяка от тях в три измерения.

82
00:03:58,926 --> 00:04:02,042
Това, което е наистина хубаво
в този случай, е...

83
00:04:02,042 --> 00:04:04,567
ще премахна тези линии –
ако си представиш,

84
00:04:04,567 --> 00:04:07,289
че нанасяш безкрайно много
наредени тройки,

85
00:04:07,289 --> 00:04:11,892
които може да съществуват,
тогава ще получиш една повърхност.

86
00:04:11,892 --> 00:04:14,952
В този случай тази повърхност
ще изглежда като

87
00:04:14,952 --> 00:04:17,215
тримерна парабола,
което не е съвпадение,

88
00:04:17,215 --> 00:04:19,038
защото това е резултат
от факта, че използваме функцията

89
00:04:19,038 --> 00:04:21,331
х на квадрат плюс у на квадрат.

90
00:04:21,331 --> 00:04:26,648
За аргументите като (1; 2)
можем да си представим, че

91
00:04:26,648 --> 00:04:29,301
лежат в равнината ху, нали?

92
00:04:29,301 --> 00:04:31,658
Можем да си представим, че
адресът на аргументите е тук,

93
00:04:31,658 --> 00:04:33,818
а това, което съответства на
тази стойност на функцията, е

94
00:04:33,818 --> 00:04:37,463
височината на дадена точка
над графиката в тази равнина, нали?

95
00:04:37,463 --> 00:04:39,564
Така че това е много подобно
на това, което се случва при две измерения,

96
00:04:39,564 --> 00:04:42,084
където разглеждаме аргументите
спрямо едната ос,

97
00:04:42,084 --> 00:04:44,417
а височината над нея ни дава
стойността на функцията.

98
00:04:44,417 --> 00:04:45,936
И ще ти дам един пример

99
00:04:45,936 --> 00:04:49,283
какви са последствията от това,
като искам да помислиш

100
00:04:49,283 --> 00:04:52,522
какво може да се случи, ако променим 
нашата функция на много променливи,

101
00:04:52,522 --> 00:04:56,690
например, ако умножим 
навсякъде по една втора?

102
00:04:56,690 --> 00:05:02,178
Ще чертая в червено,
да видим – имаме една функция,

103
00:05:02,178 --> 00:05:05,582
ще променя първоначалната
функция, така че тя да стане

104
00:05:05,582 --> 00:05:09,227
една втора по (х на квадрат
плюс у на квадрат).

105
00:05:09,227 --> 00:05:13,634
Как ще изглежда графиката
на тази нова функция?

106
00:05:13,634 --> 00:05:15,919
В този случай
височината на всяка точка

107
00:05:15,919 --> 00:05:19,645
над равнината ху сега
ще бъде наполовина.

108
00:05:19,645 --> 00:05:21,392
Така че това просто е
една модификация

109
00:05:21,392 --> 00:05:23,420
на първоначалната ни графика,
където всичко един вид

110
00:05:23,420 --> 00:05:27,181
се премества надолу на половината 
от първоначалната височина.

111
00:05:27,181 --> 00:05:29,386
В този случай ето тук,
вместо височината да е пет,

112
00:05:29,386 --> 00:05:31,531
тя ще бъде 2,5.

113
00:05:31,531 --> 00:05:33,442
Вероятно се досещаш, че
вместо тук да имаме 1/2,

114
00:05:33,442 --> 00:05:35,823
може да е нещо много по-екстремно,
вместо една втора

115
00:05:35,823 --> 00:05:38,725
може да е една дванайста,

116
00:05:38,725 --> 00:05:43,440
ще използвам същия цвят –
това ще е 1/12,

117
00:05:43,440 --> 00:05:45,017
което означава, че всички точки –
досещаш се –

118
00:05:45,017 --> 00:05:49,259
всичко това става много по-плоско 
и се приближава до равнината ху.

119
00:05:49,259 --> 00:05:51,443
Значи графиката ще бъде
много близко до равнината ху,

120
00:05:51,443 --> 00:05:54,909
тъй като на тези аргументи съответстват 
много малки изходни стойности.

121
00:05:54,909 --> 00:05:57,287
Искам да те предупредя за нещо –

122
00:05:57,287 --> 00:05:59,563
много е изкушаващо човек
да си представи

123
00:05:59,563 --> 00:06:01,520
всяка функция на много променливи
като графика,

124
00:06:01,520 --> 00:06:03,687
защото сме свикнали с графиките
в две измерения,

125
00:06:03,687 --> 00:06:06,726
свикнали сме да търсим
аналогии между

126
00:06:06,726 --> 00:06:09,781
две измерения и три измерения,

127
00:06:09,781 --> 00:06:12,734
но единствената причина, 
поради която това работи, е защото

128
00:06:12,734 --> 00:06:15,376
ако вземеш броя измерения
в аргумента,

129
00:06:15,376 --> 00:06:17,515
две измерения, а после
вземеш броя измерения

130
00:06:17,515 --> 00:06:19,926
в стойността на функцията, едно
измерение, изглежда логично

131
00:06:19,926 --> 00:06:23,281
да ги напаснеш към три измерения,
което можем да направим.

132
00:06:23,281 --> 00:06:25,104
Но си представи, че
имаш функция на много променливи,

133
00:06:25,104 --> 00:06:27,044
в която да имаме, например,
тримерен аргумент

134
00:06:27,044 --> 00:06:29,156
и двумерна стойност на изхода
на функцията – тогава

135
00:06:29,156 --> 00:06:31,420
графиката следва да е в пет измерения,
но ние не сме в състояние

136
00:06:31,420 --> 00:06:33,899
да визуализираме пет
измерения.

137
00:06:33,899 --> 00:06:35,586
Съществуват много други методи,

138
00:06:35,586 --> 00:06:37,883
като бих казал, че е
важно да бъдеш отворен към това

139
00:06:37,883 --> 00:06:39,752
какви може да са тези неща.

140
00:06:39,752 --> 00:06:42,940
По-точно, друг метод, който
много скоро ще разгледаме –

141
00:06:42,940 --> 00:06:44,613
да си представим, че имаме
тримерна графика, но

142
00:06:44,613 --> 00:06:46,709
тя е в двумерна координатна
система, и ние просто

143
00:06:46,709 --> 00:06:50,093
ще разгледаме пространството
на аргументите, което се нарича контурна карта.

144
00:06:50,093 --> 00:06:52,194
При някои други, например
при параметричните функции,

145
00:06:52,194 --> 00:06:54,216
просто разглеждаме пространството
на стойностите на функцията;

146
00:06:54,216 --> 00:06:55,616
например векторно пространство,

147
00:06:55,616 --> 00:06:59,210
един вид разглеждаме пространството на аргументите, 
но получаваме всички стойности на функцията.

148
00:06:59,210 --> 00:07:03,150
Има много различни начини, които 
ще разгледаме в следващите няколко урока.

149
00:07:03,150 --> 00:07:05,409
А днес се запознахме с
тримерните графики.