大家好。
我想要告訴你的是， 你對於自己所擁有的潛能的認知
已經改變了你所學會的東西， 並且會持續地改變，
持續地改變你的學習方式和你的經歷。
這裡有多少人── 大家舉手示意一下，
有多少人曾被認為不擅長數學，
或被認為無法在數學領域裡 進入到下一個階段，
他們的大腦就是不適合學習數學？
讓我看看有多少人舉手。
嗯，還蠻多人的。
我在這裡要告訴你的是， 這種想法完全錯誤。
它已被腦科學所推翻。
導致這種思想的迷思 在我們的社會裡出現，
且非常強大和危險。
這迷思說的是人們相信 有人天生就有數學頭腦，
要麼是與生俱來的， 要麼你天生就沒有這天份。
我們對於其他科目並不認同這種說法。
我們從不認為自己天生就有 歷史頭腦或物理頭腦。
我們認為這些東西是需要去學習的。
但對於數學，大家和學生都認為 這需要與生俱來的天賦，
老師這麼認為，家長也這麼認為。
直到我們改變這種迷思之前，
進度落後的普及現象 將會一直在這個國家延續下去。
卡羅爾·德維克在思維上的研究顯示，
如果你相信自己的潛能無限，
你將會在數學和生活上 獲得更高的成就。
一份關於錯誤的驚人研究 很好地詮釋了這種說法。
傑森·莫澤和他的同事們 在磁力共振掃描中發現，
當你在數學題上出錯的時候， 你的大腦會成長。
太棒了。
當你出錯的時候，大腦會激發突觸 （神經原的神經性連接）。
事實上，在他們的磁力共振掃描中
他們發現當人們出錯時， 大腦就會激發突觸。
當人們回答正確的時候， 大腦會較少激發突觸。
所以犯錯是件好事。
我們希望學生們知道這一點。
但他們發現了 另一些令人難以置信的東西。
這幅圖顯示著人類的腦電圖。
在圖中你會發現相信自己 有無限潛能的成長型思維的人，
他們可以學習任何東西，
當他們犯了一個錯誤的時候，
他們的大腦會比那些不相信自己 可以學習的人增長得多。
因此，這向我們表明了 一些腦科學家早已知道的事情：
我們的認知和我們所學到的東西，
與我們的信念和感受有關。
不僅是對那坐在數學教室裡的孩子們， 這對我們所有人來說都很重要。
如果你遇到困難， 或者是面對一個充滿挑戰的情況，
你對自己說： 「我可以做到。我會去執行它。」
然後你搞砸了或者失敗了，
你的大腦會成長得更多， 且會有不同的反應
比起你在困境中想： 「我不認為我可以做到這一點。」
所以改變孩子在教室裡 接收的信息是很重要的。
我們知道任何人的大腦都能成長，
且大腦是很有可塑性的， 它能夠學習任何程度的數學。
我們必須讓孩子們知道這件事情。
他們需要知道犯錯是件好事。
但數學教室需要多方面的改變。
這不僅是改變 我們對孩子們傳遞的訊息。
我們需要從根本 去改變教室裡所發生的事情。
我們想讓孩子們擁有成長型思維，
去相信他們可以成長， 可以學習任何東西。
但要在數學上擁有成長型思維 是非常困難的。
如果你經常被問及一些只需要 回答是與非的簡短、封閉式問題，
那些問題本身 就傳遞著數學的固定概念，
要麼做得到，要麼做不了。
因此，我們需要開放式的數學問題，
讓學生有空間去思考和學習。
我想舉個例子。
我想請你和我一起思考一些數學題。
這是一道在學校裡相當典型的數學題。
我希望你從不同角度去思考這個問題。
這裡有三個由正方形組成的圖形。
圖形 2 的正方形數量比圖形 1 多，
而圖形 3 的正方形的數量則更多。
通常我們會這麼問：
「到圖形 100 或者圖形 n 時， 會有多少個正方形呢？」
我希望你思考出另一種問法。
我希望你往與數字 或代數無關的方向去思考。
我想要你完全從視覺上去思考，
我想要你思考 你從額外的正方形看到了什麼？
如果圖形 2 的正方形數量 比圖形 1 多，它們在哪裡？
如果我們此刻在教室裡， 我會給你更長的思考時間。
但因為時間的關係，我會跟你們 分享人們對此的一些不同看法，
我曾經用這道題目問過不同的人，
我想這是我在史丹佛大學的 大學生告訴我的答案──
其中一個同學告訴我：
「噢，我覺得它就像雨點一樣， 落在正方形的上方。
所以它們就像一層外層， 每次都添上新的一層。」
我的另一個大學生這麼說：
「不是的，我覺得它像一個保齡球場。
你得到額外的一排，
就像一排球瓶從最底層添上來。」
這是從一個非常不同的角度 去看正方形的增長。
我記得是一位老師告訴我 它就像一座火山：
「從中心位置上升， 然後岩漿就流了出來。」
（笑聲）
另一位老師說： 「不是的，這就像紅海的分離。
那些正方形分開了， 而新的中心會重複地加進來。
我記得這是── 對不起，這個也一樣。
有些人將其視為三角形。
他們認為這是一個往外成長的三角形。
然後一位新墨西哥州的老師對我說：
「哦，這就像電影《反鬥智多星》中， 『天堂的階梯，禁止進入』。
（笑聲）
然後我們也可以用這種方式看它，
如果你移動了方塊， 你隨時都可以這麼做，
然後你稍微重新排列這個形狀，
你會發現它其實以正方形的形式增長。
因此，我想用這個問題來說明這一點：
「當它在數學課上被提出的時候， 這並不是最糟糕的問題，
問題會以這種方式提出： 「一共有多少？」
然後孩子們就開始計數。 所以他們會說：
「在第一個圖形裡有 4 個， 在第二個圖形裡有 9 個。」
他們可能盯著那個數字欄很久， 然後說：
「如果你每次都將對應的圖形數目 加 1，然後進行平方計算，
你就會得到正方形的總數。」
但當我們把它交給學生和高中教師時，
他們做完之後我會問他們：
「那為什麼計算平方數呢？ 你是怎麼看出來要用平方公式的呢？」
他們會答：「不知道。」
所以，這就是它用平方的原因， 這個函數以正方形的方式增長。
你從代數中可以看出來是平方。
所以當我們向學生提出這些問題時， 我們會向他們提出這些直觀問題。
我們會問：「他們怎麼看出來的？」
他們會進行非常深入的討論，
也對這數學來說非常重要的部分 有了更深入的理解。
其實我們在數學教室裡需要一次變革。
我們需要改變很多事情。
我們需要這大改革的部分原因是
數學教學和學習的研究 並沒有真的進入學校和教室。
我將和你們分享一個很好的例子。
這真的非常有趣。
當我們在計算的時候── 即使是成年人在計算的時候，
「看到」手指的腦區會被點亮，
我們沒使用手指，
但看到手指的腦區卻亮起了。
所以我們使用手指和我們看到手指時 會在不同的腦區產生反應。
這證明了看到手指這個活動 對大腦來說是非常重要的。
事實上，手指感知是──
科學家通過要求他們將手 放在桌子下方來測試手指感知──
他們看不到他們正觸摸著手指，
然後看看你是否知道 哪根手指被觸摸過。
那些具有良好手指感知的大學生
能夠預測他們的計算分數。
一年級學生所擁有的手指感知數量
比考試分數能夠更好地預測 他們上了二年級的數學成績。
就是這麼重要。
但在學校和教室裡發生了什麼事？
學生被告知他們不准使用手指來計算。
他們被告知這是幼稚的。 他們被引導對此感到反感。
當我們阻止小孩運用手指學習數字時，
這等同於中止了 他們在數學認知上的發展。
而科學家們已經知道這個事實 很長一段時間了。
而且神經科學家總結出
手指應該被學生用來學習數字和算術。
如果我們還沒有發表──
上週，我們在《大西洋》雜誌的 一篇論文中發表了這篇文章。
我認識的教育工作者中 沒有任何一個知道這個事實。
這在教育界引起了巨大的連鎖反應。
還有許多其他研究是教師 和學校都不知道的。
我們也知道，當你開始進行計算時，
大腦中的各個區域之間 會產生複雜而動態的交流，
包括視覺皮層。
然而，數學課並不屬於視覺系的， 它們是數字化且抽象的。
我想跟你們分享一下
我們在去年夏天帶了 81 名學生 到大學的時候發生的事情，
我們以不同的教學方式教導他們。
我們教導了他們關於大腦的成長。
我們教導了他們關於心態和錯誤。
但我們也教導了他們 創意、視覺性，且動人的數學。
他們跟著我們上了 18 堂課。
在他們來參與我們的課程之前， 他們已經參加了地區性的標準化考試。
我們在他們上了 18 堂課之後 也給了他們相同的考試，
他們的成績平均提高了50％。
有著不同數學水平的 81 名學生，
在第一天都告訴我們： 「我不擅長數學。」
他們都可以說出他們班上 那個擅長數學的同學的名字。
我們改變了他們的觀念。
這片段擷取自我們以這些孩子為素材 所製作、較長一些的音樂視頻。
（視頻播放）
但我們一直在討論，
停不下來，我們不會停止解決問題，
好像有什麼東西在成長，
每當我們再嘗試， 就會在我們腦海中浮現。
憎恨者還是一樣只會繼續討厭，
我們都會犯錯，
我們只要甩一甩，
把它甩掉！把它甩掉！
我們的方法會突破，
這並不是小菜一碟，
我們只要甩一甩，
把它甩掉！把它甩掉！
我們把東西都視覺化，
在課堂上清晰地呈現出來，
這樣他們就可以看到，
這樣他們就可以看到。
我們知道，我們的大腦能夠成長，
我們才不在乎我們走得有多快，
真正了解我們所展示的內容，
真正了解我們所展示的內容。
所以我們不斷嘗試，
突觸一直被激發，
這些問題太令人興奮了，
這很酷，我想向全世界 展示我們的進步！
（視頻結束）
所以，
（掌聲）
我們需要讓老師們知道研究成果。 我們需要數學教學的革命。
如果你不相信我， 請聽聽這個孩子怎麼說。
他是一名中學生， 我們曾與他的老師合作，
將數學練習簿轉向開放式思維 和心態相關的數學題。
這是他對那次轉變後的反思。
（視頻）去年的數學課只有 各種筆記和講義，
和你自己的小框框── 你只能夠躲在這小框框裡。
你感到孤獨，每個人只顧著自己。
但現在，今年變得開放了，
我們都在一個很大的── 這就像一座城市──
我們都在一起努力創造 這個新的美麗世界。
我覺得，擺在我面前的挑戰和未來，
如果我繼續前進，
如果我堅持下去，總有一天我會成功。
（視頻結束）
我們已專注於數學教育那麼長時間，
研究教學分數的正確方式，
以及那一直存在爭議的課堂標準，
然而，我們卻完全忽略了 學生掌握自身潛能應有的信念。
現在，是時候全力以赴地
讓這件事情曝光，喚醒眾人的重視。
我們都必須相信自己，
才能夠激發我們無限的潛能。
謝謝。
（掌聲）